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1、18多元函数的极值及其求法 第 课课题多元函数的极值及其求法课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）理解多元函数极值和条件极值的概念（2）掌握多元函数极值存在的必要条件和充分条件（3）掌握求二元函数的极值和用拉格郎日乘数法求条件极值的方法（4）学会求解多元函数的最大值和最小值，以及用它们解决一些简单的实际问题思政育人目标：通过讲解多元函数的极值及其求法，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：多元函数极值和条件极值的概念，多元函数极值存在的必要条件和充分条件教学难点：用多元函数的
2、最大值和最小值解决实际问题教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）知识讲解（33 min）课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）问题讨论（10min）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）n 【教师】讲解极大值、极小值的概念定义1 设函数在点的某邻域内有定义如果对于该邻域内异于点的任一点，都有，则
3、称函数在点处有极大值；如果对于该邻域内异于点的任一点，都有，则称函数在点处有极小值极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点以上关于二元函数的极值概念，可推广到元函数设元函数在点的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于的点，都有（或），则称函数在点有极大值（或极小值）例1 函数在点处有极小值因为对于点的任一邻域内异于的点，对应的函数值都为正，即有，所以函数在点处有极小值如图10-8所示，从几何上看，点是位于平面上方的开口向上的旋转抛物面的顶点图10-8n 【学生】掌握极大值、极小值的概念n 【教师】讲解多元函数取得极值的条件定理1（必要条件） 设函数在点处的偏导数存在，且在点处
4、取得极值，则，证明 如果取，则函数是的一元函数因为在处，是的极值，所以根据一元函数极值存在的必要条件，有同理可证与一元函数类似，使同时成立的点称为函数的驻点由定理1可知，在偏导数存在的条件下，函数的极值点必定是驻点，反过来，同一元函数类似，函数的驻点不一定是极值点，因为极值点也可能是使偏导数不存在的点定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续且具有一阶及二阶连续偏导数，又，记，则（1）当时，函数在点处取得极值，且当时有极小值，当时有极大值；（2）当时，函数在点处没有极值；（3）当时，函数在点处可能有极值，也可能没有极值n 【学生】掌握多元函数取得极值的条件n 【教师】通过例题讲解多元函数极值
5、的求法例2 求函数的极值解 （1）解方程组求得驻点为（2）求函数的二阶偏导数得，（3）在点处：，且，所以，函数在点处有极大值；在点处：， ，所以函数在点处没有极值；在点处：， ，所以函数在点处没有极值；在点处：且，所以，函数在点处有极小值例3 求函数在椭圆域上的最大值和最小值解 解方程组得驻点，驻点处的函数值为在区域的边界上，由于，所以原函数变为一元函数，即，由，得驻点值为计算函数在处的函数值，得因此，在的边界上的最大值是3，最小值是将在的边界上的最大值、最小值及驻点的函数值进行比较，得函数在上的最大值是3，最小值是（例4例6详见教材）n 【学生】掌握多元函数极值的求法学习多元函数极值与最值的
6、相关知识。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（20 min）n 【教师】讲解条件极值、拉格朗日乘数法，并通过例题介绍其应用前面讨论的极值问题，除了限制自变量在其定义域内以外，并无其他条件，这种极值问题称为无条件极值但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题，称为条件极值求函数的条件极值，有时可以将
7、附加条件代入目标函数而化为无条件极值但在很多情况下，将条件极值化为无条件极值并不简单，甚至是不可能的因此需要寻求直接求条件极值的方法，这就是下面介绍的拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法：设在区域内有二阶连续偏导数，求在内满足条件的极值该条件极值可以转化为求拉格朗日函数的无条件极值实际上，的极值一定是在下的极值因为，若在点取得极大值，则由极值的必要条件可知且在的某一邻域内，有，即因此，在条件下，考虑到，有，即在处取得条件下的极大值同理，若在点取得极小值，则在处取得条件下的极小值另外，在下可能的极值点一定含在的可能极值点中，并且在条件下的极大（小）值点一定是的极大（小）值点上述通过构造拉格朗日函数求极值
8、的方法称为拉格朗日乘数法其中，称为拉格朗日函数，参数称为拉格朗日乘数（乘子）应用拉格朗日乘数法求在条件下的极值的步骤如下（1）构造拉格朗日函数（2）求的驻点坐标，即求解方程组解出（3）判别在处取何种极值在实际问题中，常常由实际意义来判断拉格朗日乘数法还可以推广到多个附加条件的情形例如，求目标函数在附加条件下可能的极值点可构造拉格朗日函数，其中为参数，对关于求一阶偏导数并使之为零，再与联立起来求解，得到的点就是函数在附加条件下可能的极值点例7 在经过点的所有平面中，哪一个平面与坐标平面在第一卦限所围成立体的体积最小，并求出最小值解 设所求平面的方程为，因为平面过点，所以它满足条件设所求立体的体积
9、为，则于是原问题转化为求在附加条件下的最小值作拉格朗日函数，解方程组得这是唯一可能的极值点，由于实际问题的最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点取得故平面与坐标平面在第一卦限所围立体的体积最小，最小体积为（例8例10详见教材）n 【学生】掌握条件极值、拉格朗日乘数法及其应用n 【教师】讲解最小二乘法，及其应用*例11 为测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次刀具厚度的方式，得到如表10-1所示的实测数据试根据这组实测数据建立变量和之间的经验公式解 观察表中的数值，易发现所求函数可近似看作线性函数，即随时间增加，呈线性下降趋势，因此可设，其中和是待定常数因为各数据点并不严格在同一条直线
10、上，因此就要使偏差都很小为了保证每个偏差都很小，在选取常数时，要使最小这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数的方法称为最小二乘法那么如何选取常数，才能使最小呢？若我们把看成自变量和的一个二元函数，则这个问题就可归结为求函数在哪些点处取得最小值令 即整理得 （10-14）计算得，代入式（10-14），得解得于是，所求经验公式为根据上式计算出的与实测的有一定的偏差，具体如表10-2所示表10-2注：偏差的平方和为，其平方根为我们把称为均方误差，它的大小在一定程度上反映了用经验公式近似表达原来函数关系的近似程度的好坏n 【学生】了解最小二乘法及其应用学习条件极值、拉格朗日乘数法、最小二乘法的相关
11、知识及应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论（10 min）n 【教师】组织学生讨论以下问题1多元函数的条件极值在什么情况下可转化为无条件的多元函数求极值？2用拉格朗日乘数法求函数在附加条件下的极值能否保证所求出的点确为函数的极值点并满足上述两个附加条件？n 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识
12、的印象课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课介绍了多元函数极值和条件极值的概念，多元函数极值存在的必要条件和充分条件，求二元函数的极值和用拉格郎日乘数法求条件极值的方法、步骤，求解多元函数的最大值和最小值，以及用它们解决一些简单的应用问题。课后要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：习题10.9总结知识点，巩固印象教学反思本节课效果不错，学生积极提问与老师交流。在课堂教学中，教师的作用是不能忽视的，教师主动由“站在讲台上”，变为“走到学生中去”，使自己成为学生中的一员，与学生共同探讨学习中的问题，以交流、合作、商讨的口气与学生交流心得、体会，这样学生会亲其师，信其道。遇到什么问题都愿意与老师讲11目 录