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1、函数的单调性与凹凸性 第 课12课题函数的单调性与凹凸性课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握函数单调性的判断（2）掌握曲线凹凸性、凹凸区间和拐点的判定。思政育人目标：通过观察图形得出函数单调性和凹凸性的判定定理，使学生养成通过仔细观察、总结规律、得出结论来解决问题的习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。学重难点教学重点：函数单调性定理，凹凸性和拐点的定义教学难点：函数单调性的判断教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）知识讲解（33 min）课
2、堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）问题讨论（10 min）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）n 【教师】讲解函数单调性的判别法，并通过例题介绍其应用如果函数在上单调增加或单调减少，那么它的图形是沿着x轴正向上升或下降的曲线这时曲线上各点的切线斜率是非负的或非正的，即，如图3-4（a）所示，或，如图3-4（b）所示由此可见，函数的单调性与导数的符号有密切的联系 （a） （
3、b）图3-4定理1 设函数在上连续，在内可导，则下列结论成立：（1）若在内，则在上单调递增；（2）若在内，则在上单调递减例1 判定函数在的单调性解 因为在上，所以在上是单调递增的函数的图像如图3-5所示例2 讨论函数的单调性解 函数定义域为当时，；当时，函数导数不存在由于在内，在内，所以在内是单调递减的，在上是单调递增的函数的图像如图3-6所示图3-5 图3-6由例1、例2可以看出，函数单调区间发生改变的分界点一般为导数为0的点或导数不存在的点因此，讨论函数的单调性，只要求出函数导数为0的点和导数不存在的点，利用这些点把函数的定义域分成几个区间，就可在每个区间上判断函数的单调性例3 确定函数的
4、单调区间解 函数定义域为，令，有，得或，把函数定义域分成三个区间，且在区间内，在区间内，在区间内因此，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增函数的图像如图3-7所示图3-7例4 确定函数的单调区间解 函数的定义域为由于，所以时，函数的导数为0；时，函数导数不存在函数导数为0点与导数不存在的点将函数的定义域分成三个区间，且当时，；当时，；当时，因此，在上单调减少，在上单调减少，在上单调递增函数的图像如图3-8所示图3-8结论 一般地，如果函数在某区间的有限个点导数为0或导数不存在，在其余点的导数均为正（或负），则在该区间上仍是单调递增（或递减）的利用函数的单调性，还可证明一些不等式例5
5、 证明不等式证明 设，则在上连续且可导，因此在单调递增，故，即，所以n 【学生】掌握函数单调性的判别法学习函数单调性的判别法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（20 min）n 【教师】讲解函数的凹凸性与拐点，并通过例题讲解介绍其应用函数的单调性反映了函数曲线在区间上的递增或递减情况，但它不能反映函数曲线在这一区
6、间上的弯曲方向如图3-9所示，函数曲线，在上都是递增的，但弯曲方向不同，曲线是“上凸”的，曲线是“下凹”的，下面给出描述曲线弯曲方向的曲线凹凸性定义图3-9定义1 设函数在区间上连续，若对，恒有 ，那么称在区间上的图形是凹的；若恒有 ，那么称在区间上图形是凸的定义1的实际意义是：在区间上函数曲线任意两点间的部分，若位于这两点连线下方，则曲线是凹的；若位于这两点连线上方，则曲线是凸的关于函数曲线的凹凸性，有如下判定定理：定理2 设函数在上连续，在内具有二阶导数，若在内，则在上的图形是凹的；若在内，则在上的图形是凸的证明 若在区间内，我们证函数曲线在上的凹性对，不妨设，要证，只要证事实上，由于在区
7、间和上应用微分中值定理，使得，所以将在上应用微分中值定理，存在，使得，所以，因为，所以，即，这就证明了曲线在上是凹的例6 判定曲线的凹凸性解 的定义域为因，在内，故曲线在内是凸的例7 判定曲线的凹凸性解 的定义域是因，当时，当时，所以曲线在上是凸的，在内曲线是凹的例7中函数在点凹凸性发生改变 定义2 若曲线经过点时凹凸性发生改变，那么称点为曲线的拐点从上面的定理可知，由的符号可以判定曲线的凹凸性，进一步地，如果在左右两侧异号，那么就是曲线的一个拐点函数曲线的拐点一般出现在函数二阶导数为0的点和二阶导数不存在的点例8 求曲线的拐点及凹凸区间解 函数的定义域为，且，令，得，它把定义域分成两部分，现
8、做如下讨论，如表3-1所示表3-10凸凹因此，是函数曲线的凸区间，是函数曲线的凹区间，点是函数曲线的拐点例9 求曲线的拐点及凹凸区间解 函数的定义域为，且，令，得，它们把定义域分成三部分，现列表做如下讨论，如表3-2所示表3-2000凹1凸凹因此，曲线的凹区间为，凸区间为，拐点为和例10 求曲线的拐点解 函数的定义域为，且时，当时，都不存在，所以把定义域分成两部分，现列表做如下讨论，如表3-3所示表3-30不存在凹0凸因此，曲线的拐点为例11 曲线是否有拐点？解 函数的定义域为，且，令，得，但时，恒大于零，曲线是凹的，不存在凹凸性的临界点，所以该曲线没有拐点n 【学生】掌握曲线凹凸性、凹凸区间
9、和拐点的判定学习函数的凹凸性与拐点。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论（10 min）n 【教师】组织学生讨论以下问题1举例说明函数导数为0的点和不可导点不一定是函数单调性发生改变的分界点2举例说明二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点，不一定是函数曲线的拐点n 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了函数单调性的判别法和函数的凹凸性与拐点的方法。课后大家要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：习题3.4总结知识点，巩固印象教学反思本节课效果不错，学生都很积极地参与到教学活动中。在教学过程中，通过对例题的分析，使学生理解到数学活动是一种积极的思维活动和探索行为，是同化，是探索，是发现，是再创造，是与实际应用紧密联系的科学。9目 录