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1、12023 RulerThe essence of mathematics lies in its freedom!2024高考数学必背公式与知识点过关检测2024高考数学必背公式与知识点过关检测第一部分：集合与常用逻辑用语第一部分：集合与常用逻辑用语1.子集个数：含n个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集，有 个非空真子集2.常见数集：自然数集：正整数集：或 整数集：有理数集：实数集.3.空集：是任何集合的，是任何非空集合的.4.元素特点：、.5.集合的的运算：集运算、集运算、集运算6.主要性质和运算律：重要结论：AA=A，A=A=；AA=A，A=A=A；UA=A，UA=U包含
2、关系：AA，A，AU，CUAU；AB，BCAC；ABA，ABB，ABA，ABB。等价关系：ABAB=AAB=BCUACUBACUB=CUAB=U；集合的运算律：交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；分配律：A(BC)=(AB)(AC)=(AB)(AC)；求补律：ACUA=，ACUA=U，CU(CUA)=A；反演律：CU(AB)=CUACUB，CU(AB)=CUACUB。2Ruler2022The essence of mathematics lies in its freedom!7.四种命题：原命题：若p，则q；逆命题：若，则；否命题：若，则
3、；逆否命题：若，则；原命题与逆命题，否命题与逆否命题互；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为.互为逆否的命题.8.充要条件的判断：pq，p是q的条件；pq，q是 p的条件；pq，p,q互为条件；注意区分：“甲是乙的充分条件(甲乙)”与“甲的充分条件是乙(乙甲)”；建立与p、q相应的集合，即p：A=x|p(x)成立，q：B=x|q(x)成立。(1)若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q成立的充分不必要条件；(2)若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q成立的必要不充分条件；(3)若A=B，则p是q成立的充要条件；(4)若AB且BA，则p是q成立的既不
4、充分也不必要条件。9.逻辑联结词：或命题：pq，p,q有一为真即为，p,q均为假时才为；且命题：pq，p,q均为真时才为，p,q有一为假即为；非命题：p和p为一真一假两个互为对立的命题10.全称量词与存在量词：（1）全称量词-“所有的”、“任意一个”等，用表示；全称命题p：xM,p(x)；全称命题p的否定p：；（2）存在量词-“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；特称命题p：xM,p(x)；特称命题p的否定p：；32023 RulerThe essence of mathematics lies in its freedom!第二部分：函数与导数及其应用第二部分：函数与导数及其应用1.函数的
5、定义域：分母0；偶次被开方数0；0次幂的底数0；对数函数的真数0；指数与对数函数的底数0且1y=sinx、y=cosx的定义域为；y=tanx的定义域为x,kz；实际问题应考虑实际限制。2.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论；分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的、值域是各段值域的.3.函数的单调性：设x1，x2a,b，且x1x2，那么：(1)(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x1)-f(x2)x1-x20 f(x)在 a,b上是函数；(2)(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x1)-f(x2)x1-x20，则 f(x)为函数；f(x)0且a1(
6、1)f(x)=axax；(2)f(x)=xn(n为奇数)；(3)f(x)=sinx；(4)f(x)=tanx；(5)f(x)=axaxax+ax=a2x1a2x+1，f(x)=ax+axaxax=a2x+1a2x1；(6)f(x)=1ax1+ax，f(x)=1+ax1ax；(6)f(x)=loga1x1+x，f(x)=loga1+x1x；(7)f(x)=loga(x2+1+x)，f(x)=loga(x2+1 x)，f(x)=loga(bx)2+1+bx)，bR。8.常见的偶函数：(1)f(x)=ax+ax；(2)f(x)=|x|；(3)f(x)=xn(n为偶数)；(4)f(x)=cosx。9.
7、函数的周期性：周期有关的结论：(约定a0)(1)f(x)=f(x+a)，则 f(x)的周期T=；若T是周期的(nZ且n0)也是周期；(2)f(x+a)=f(x)，或 f(x+a)=1f(x)(f(x)0)，则 f(x)的周期T=；(3)f(x+a)=f(xa)的周期为.10.函数的对称性：y=f(x)的图象关于直线对称 f(a+x)=f(a-x)f(2a-x)=f(x)；y=f(x)的图象关于直线对称 f(a+x)=f(b-x)f(a+b-x)=f(x)；f(x)关于点A(a，b)对称的充要条件是：f(x)+f(2ax)=2b，即 f(ax)+f(a+x)=2b52023 RulerThe e
8、ssence of mathematics lies in its freedom!11.对数运算规律：(1)对数式与指数式的互化：(2)对数恒等式：loga1=，logaa=，logaab=lg2+lg5=，lne=(3)对数的运算性质：加法：logaM+logaN=减法：=logaMN数乘：=logaMn(nR)恒等式：alogaN=logambn=换底公式：logaN=，12.二次函数：二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的对称轴方程是，顶点坐标是判别式；0时，图像与x轴有个交点；=0时，图像与x轴有个交点；f(0)=0时，图像与bi=kai轴没有交点；13.韦达定理：若x1,x2
9、是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，则：x1+x2=，x1x2=.14.幂函数定义：一般地，形如y=xk(k为常数，kQ)叫做幂函数，需要注意：(1)系数为；(2)指数是有理数并且为常数；(3)后面不加任何项；如：y=3x,y=xx+2,y=x2+2都不是幂函数.2、幂函数在(0，+)(第一象限内)性质1)所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图像都经过定点，2)当k0时，则幂函数图像过原点，并且在区间(0，+)为；3)当k0,a1)函数叫做指数函数，其中x是自变量.需要注意:(1)系数为1；(2)自变量在指数位置上；(3)函数的底数必须大于0且不等于1；图象a10a0且a1)
10、的函数叫做对数函数.需要注意:(1)系数为1；(2)自变量在指数位置上；(3)函数的底数必须大于0且不等于1；图象a10alogag(x)a1f(x)0g(x)0f(x)g(x)或0a0g(x)0f(x)ag(x)a1f(x)g(x)或0a1f(x)0,t1),换元法(2)解对数方程同底的对数方程：logaf(x)=logag(x)，等价转化为：f(x)0g(x)0f(x)=g(x)特别地，logaf(x)=b，等价为：f(x)0f(x)=ab 不同底的指数形式：化为同底，f(logaf(x)=0型：换元法19.反函数：(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.(2)若点(a,b)在原
11、函数的图像上，则点(b,a)必在反函数图像上，反之亦然；(3)原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.92023 RulerThe essence of mathematics lies in its freedom!20.函数的图象作函数图象的两种方法：(1)描点法：列表；描点；连点成线(2)象变换法包括：平移变换、伸缩变换、对称变换平移变换：(1)y=f x的图象向左平移a a0个单位得到函数y=f(x+a)的图象(2)y=f(x-b)b0的图象可由y=f x的图象向右平移b个单位对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减而对于上、下平移，相比较则容易掌握
12、，原则是上加下减这里要注意的是加、减指的是在 f x整体上对称变换：(1)y=f(-x)与y=f x的图象关于y轴对称；(2)y=-f x与y=f x的图象关于x轴对称；(3)y=-f(-x)与y=f x的图象关于原点对称；(4)y=f|x|的图象：可先作出y=f x，当x0时的图象，再利用偶函数的图象关于 y轴对称，作出y=f xx0的图象21.零点定理：若y=f(x)在a,b上满足,则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点22.常见函数的导数公式：(C)=；(xn)=；(nx)=(sinx)=；(cosx)=；(ex)=；(ax)=；(lnx)=；(logx)=.23.导数运算法则：(1
13、)f(x)g(x)=；(2)f xg x=；(3)f xg x=特别提示：C f(x)=C f(x)，即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数。10Ruler2022The essence of mathematics lies in its freedom!24.曲线的切线方程：函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0)处的切线的斜率为 f(x0)，相应的切线方程是.25.函数的单调性：在某个区间(a，b)内，如果 f(x)，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增。在某个区间(a，b)内，如果 f(x)，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减若函数单调递
14、增，则 f(x)，；若函数单调递减，则 f(x)，；26.函数的极值：设函数 f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有 f(x)f(x0)，那么 f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值=f(x0)。极大值与极小值统称为极值。函数的最值：将函数y=f(x)在a，b内的各极值与端点处的函数值 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。27.三次函数 f x=ax3+bx2+cx+d的图象关于点-b3a，f-b3a中心对称28.常用于求或恒成立、或有解、或无解命题中的参数取值范围：设函数 f(x)的值域为(a，b)或a，b或(a，b或a，b)中之一种，
15、则若 f(x)恒成立(即 f(x)无解)，则 f xmin；若 f(x)有解(即存在x使得 f(x)成立)，则 f xmin；若 f(x)有解(即存在x使得 f(x)成立)，则 f xmax；若=f(x)有解(即 f(x)无解)，则y y=f x；若=f(x)无解(即 f(x)有解)，则Uy y=f x11Ruler2023The essence of mathematics lies in its freedom!第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形1.角度制与弧度制互化：360=rad，180=rad，1=rad，1rad=2.若扇形的圆心角
16、为 为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l=，C=，S=3.三角函数定义式：sin=，cos=，tan=4.同角三角函数的基本关系：1平方关系：2商数关系：tan=5.三角函数的诱导公式：口诀：.1sin 2k+=sin，(kZ)(2)，tan+=tan(3)，tan-=-tan(4)，,tan-=-tan5sin2-=cos，(6)，cos2+=-sin6.特殊角的三角函数值：角030456090120135150180270弧度SinCostan12Ruler2023The essence of mathematics lies in its freedom!7.三角函数的
17、图像与性质：y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域值域周期奇偶性单调性对称性8.几个常见三角函数的周期：与的周期为.或()的周期为.的周期为.的周期为.13Ruler2023The essence of mathematics lies in its freedom!9.两角和与差的正弦、余弦和正切公式：(1)cos-=；(2)cos+=；(3)sin-=；(4)sin+=；(5)tan-=;(6)tan+=.10.二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin2=cos2=降次公式：cos2=，sin2=,sincos=tan2=11.引入辅助角公式：asin+bcos=.(其中,辅助角所在象
18、限由点(a,b)所在的象限决定,tan=ba).12.正弦定理：.(R是ABC外接圆直径)注：a:b:c=sinA:sinB:sinC；a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC13.余弦定理：.(变式)(以A角和其对边来表示)14.三角形面积公式：SABC=(用边与角的正弦值来表示)三角形面积导出公式：SABC=(r为ABC内切圆半径)=(R外接圆半径)15.三角形内切圆半径r=外接圆直径2R=16.射影定理：a=bcosC+ccosB，b=，c=；17.角的变换在 ABC 中，A+B+C=，则 sin(A
19、+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC；sinA+B2=cosC2，cosA+B2=sinC2；14Ruler2023The essence of mathematics lies in its freedom!第四部分：平面向量、数列与不等式第四部分：平面向量、数列与不等式1.平面向量的基本运算，设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)；(b0):(1)a+b=；a-b=；(2)ab=(定义公式)=(坐标公式)(3)a在b方向上的投影为.=(坐标公式)(4)ab(一般表示)(坐标表示)(5)ab(一般表示)(坐标表示)(6)夹角公式：cos=(坐标公式).(
20、7)三角形不等式：|a|b|ab|a|+|b|(8)重要结论：若|a+b|=|ab|，则ab(9)向量的模：|a|=aa=x2+y2；(10)(a+b)(ab)=|a|2|b|2=a2b2；(a+b)2=|a+b|2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2；(ab)2=|ab|2=a22ab+b2=|a|22ab+|b|2。2.定比分点坐标公式：若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，为实数，且P1P=PP2，则点P坐标为，我们称为点P分P1P2 所成的比。3.若G为ABC的重心，则=0；且G点坐标为 (，)4.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线 OP=xOA+yOB 且=15
21、.三角形的四心重心：三角形三条交点.外心：三角形三边相交于一点.内心：三角形三相交于一点.垂心：三角形三边上的相交于一点.15Ruler2023The essence of mathematics lies in its freedom!6.数列an中an与Sn的关系an=7.等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列定义公式1an=2Sn=1an=2Sn=性质1a,b,c成等差数列 称b为a与c的等差中项2若m+n=p+q,则1a,b,c成等比数列 称b为a与c的等比中项2若m+n=p+q,则8.常见数列的和：1+2+3+n=12+22+32+n2=13+23+33+n3=9.数列单调性的
22、判定及其应用：an+1anan+1an0an+1an1，an0或an+1an1，an0单调增数列an+1anan+1an0an+1an0或an+1an1，an0时为递增数列，且当a10时前n项和Sn有最小值。d0时前n项和Sn有最大值。(5)等差数列an的首项是a1，公差为d。若其前n项之和可以写成Sn=An2+Bn，则A=d2，B=a1d2，当d0时它表示二次函数，数列an的前n项和Sn=An2+Bn是an成等差数列的充要条件。12.对等差数列前项和的最值问题有三种方法：(1)利用an：当a10，d0，前n项和有最大值，可由an0且an+10，求得n的值；当a10，前n项和有最小值，可由an
23、0且an+10，求得n的值。注意：求Sn的最值时，当an=0时n取两个值。(2)利用Sn：由Sn=d2n2+a1d2n利用二次函数配方法求得最值时n的值。(3)利用函数的单调性17Ruler2023The essence of mathematics lies in its freedom!13.等比数列的判定与证明方法(1)定义法：若an+1an=q(nN+，q0)或anan1=q(n2，nN+，q0)，则an是等比数列。(2)等比中项法：若数列an中，an0且a2n+1=anan+2(nN+)，则an是等比数列。(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=cqn(c0，q0，nN+)，则a
24、n是等比数列。14.等比数列的性质(1)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项。即G=ab(a、b同号)。如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，则Ga=bGG2=abG=ab；反之，若G2=ab，则Ga=bG，即a、G、b成等比数列，a、G、b成等比数列G2=abb(ab0)。(2)等比中项的性质：a2n=an1an+1(n2)；a2n=ankan+k(nk0)；若m+n=p+k，则aman=apak。(3)数列an首项是a1，公比为q1，数列bn首项为b1，公比为q2，则数列anbn是首项为a1b1，公比为q1q2的等
25、比数列，同理数列anbn 是首项为a1b1，公比为q1q2的等比数列。(4)在公比为q的等比数列an中，数列am、am+k、am+2k、am+3k仍是等比数列。(5)公比为qk；数列Sk、S2kSk、S3kS2k、仍是等比数列(此时q1)。a1+a2+a3+akSk+ak+1+a2kS2kSk +a2k+1+a3kS3kS2k S3k 18Ruler2022The essence of mathematics lies in its freedom!15.递推数列的类型以及求通项方法总结：(1)定义法：等差数列的通项公式：an=a1+(n1)d或an=am+(nm)d。等比数列的通项公式：an
26、=a1qn1(a1q0)或an=amqnm(nm)(2)做差法：由an与Sn(即a1+a2+an=f(n)的关系求an，an=S1,n=1SnSn1,n2。(3)累加法：由an+1an=f(n)求an，an=(anan1)+(an1an2)+(a2a1)+a1(n2)。(4)累乘法：已知an+1an=f(n)求通项an，an=anan1an1an2a2a1a1(n2)。(5)已知递推关系求an，用构造法(构造等差、等比数列)：形如an+1=pan+f(n)，只需构造数列bn，消去 f(n)带来的差异，f(n)的形式有：f(n)为常数，即递推公式为an+1=pan+q(其中p、q均为常数且pq(
27、p1)0)。解法：先设参转化为an+1+=p(an+)，其中=qp1，再利用换元法转化为等比数列求解。f(n)为一次多项式，即递推公式为an+1=pan+rn+s。f(n)为n的二次式，则可设bn=an+An2+Bn+C。递推公式为an+1=pan+qn(其中p、q为常数且pq(p1)(q1)0)或an+1=pan+rqn(其中p、q、r为常数)。解法：一般地要先在原递推公式两边同除以qn+1，得：an+1qn+1=pqanqn+1q，引入辅助数列bn(其中bn=anqn)，得：bn+1=pqbn+1q，再应用类型(1)的方法解决。递推公式为an+2=pan+1+qan(其中p、q均为常数)。
28、解法：先把原递推公式转化为an+2san+1=t(an+1san)，其中s、t满足s+t=pst=q，解出s、t，于是 an+1san是公比为t的等比数列，就转化为前面的类型。19Ruler2022The essence of mathematics lies in its freedom!形如an=an1kan1+b或an1ban=kanan1的递推数列都可以用倒数法求通项。形如an+1=parn型，该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求通项。两边取对数lgan+1=lg(parn)=lgp+rlgan，设bn=lgan，原等式变为bn+1=rbn+
29、lgp即变为基本型。16.数列常用求和方法(1)等差数列求和：Sn=(a1+an)n2=(am+an(m1)n2=na1+n(n1)d2；Sm+n=Sm+Sn+mnd。(2)等比数列求和：Sn=na1(q=1)a1(1qn)1q=a1anq1q(q1)；Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm。(3)分组求和法：把数列的每一项分成几项使其转化为几个等差、等比数列，再求和。对于求|an|的前n项和的问题一般都是分类讨论。(4)倒序求和法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求出，这样的数列可用倒序相加法求和。(5)裂项相消法：就是把数列的各项分裂成两项之差
30、，相邻的两项彼此相消，只余有限几项，就可以化简后求和。适用条件：canan+1 其中an是各项不为0的等差数列，c为常数，可拆解为canan+1=cd1an1an+1；部分无理数列can+an+1=cd(an+1an)。(6)一些常用的裂项公式：1n(n+1)=1n1n+1；14n21=1(2n1)(2n+1)=1212n112n+1；1n(n+2)=121n1n+2；1n+1+n=n+1 n；20Ruler2022The essence of mathematics lies in its freedom!1n(n+k)=1k1n1n+k；1n(n+1)(n+2)=121n(n+1)1(n+
31、1)(n+2)。(7)常见放缩公式：2(n+1 n)=2n+1+n1n2n+n1=2(n n1)；1k21k21=121k11k+1；1k1k+1=1k(k+1)1k2bbb，bcac性质3(可加性)aba+cb+c推论1：a+bcacb推论2：ab，cda+cb+d性质4(可乘性)ab，c0acbcab，c0acb0，cd0acbd推论2：ab0anbn(nN+)推论3：ab0na nb(nN+)18.实数比较大小的依据：ab0ab；ab=0a=b；ab00=00)的图象ax2+bx+c=0(a0)的根ax2+bx+c0(a0)的解集ax2+bx+c0)的解集20.线性目标函数的最优解问题(
32、1)z=(xa)2+(yb)2型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)距离的平方，特别地，z=x2+y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方(2)z=ybxa型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)连线的斜率(3)z=|Ax+By+C|可转化为点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离的A2+B2倍21.均值不等式：若a0，b0，则；条件：“一正，二定，三相等”22.重要不等式：23.极值定理：已知x,y都是正数，则有：(1)如果积xy是定值p，那么当x=y时和x+y有最小值；(2)如果和x+y是定值s，那么当x=y时积xy有最大值.22Ruler2022The esse
33、nce of mathematics lies in its freedom!24.两个著名不等式：(1)不等式链：如果a,b都是正数，那么(当仅当a=b时取等号)即：平方平均算术平均几何平均调和平均(a、b为正数)特别地，aba+b22a2+b22(当a=b时，a+b22=a2+b22=ab)幂平均不等式：(2)柯西不等式：.(当且仅当ad=bc时取等号)25.分式不等式的解法：(1)f(x)g(x)0 f(x)g(x)0；f(x)g(x)0 f(x)g(x)0，且g(x)0；(2)f(x)g(x)0 f(x)g(x)0；f(x)g(x)0 f(x)g(x)0，且g(x)026.绝对值不等式
34、(1)三角不等式：|a|b|ab|a|b|(2)绝对值不等式的解法：1.|ax+b|0)cax+bc(c0)ax+bc；3.|xa|+|xb|0）的解法：先求出使每个绝对值符号内的数学式子等于0的未知数的值，再将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，最后讨论每个绝对值符号内的式子在每个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去求解，这种方法叫零点分段法4.|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2；|f(x)|0)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)f(x)g(x)；23Ruler2022The essence of mathematics lies in
35、its freedom!第五部分：立体几何与解析几何第五部分：立体几何与解析几何1.三视图与直观图：原图形与直观图面积之比为2.常见几何体表面积公式：圆柱的表面积 S=圆锥的表面积S=圆台的表面积 S=球的表面积 S=3.常见几何体体积公式：柱体的体积 V=锥体的体积 V=台体的体积 V=球体的体积 V=4.常见空间几何体的有关结论：棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则体对角线长为，全面积为，体
36、积V=正方体的棱长为a，则体对角线长为,全面积为，体积V=球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径=长方体的长.球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的,正方体的棱切球的直径=正方体的长,正方体的外接球的直径=正方体的体长.正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的：高：；对棱间距离：；内切球半径：；外接球半径：24Ruler2022The essence of mathematics lies in its freedom!5.直线、平面平行的判定及其性质：1直线与平面平行的判定定理文字语言平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行线面平行图形语
37、言符号语言作用证明直线与平面平行2直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行线线平行图形语言符号语言作用作为证明线线平行的依据作为画一条直线与已知直线平行的依据.25Ruler2022The essence of mathematics lies in its freedom!3平面与平面平行的判定定理文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.简记为：线面平行面面平行图形语言符号语言作用证明两个平面平行4平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平
38、行.简记为：面面平行线线平行图形语言符号语言作用证明线线平行26Ruler2022The essence of mathematics lies in its freedom!6.直线、平面垂直的判定及其性质1直线与平面垂直的定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直.记作：l.图形表示如下：2直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直线面垂直图形语言符号语言作用判断直线与平面垂直3直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直线线平行图形语言符号语言作用证明两
39、直线平行；构造平行线.27Ruler2022The essence of mathematics lies in its freedom!4平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直平面 与平面 垂直，记作.图形表示如下：5平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直面面垂直图形语言符号语言作用判断两平面垂直6平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简记为：面面垂直线线平行图形语言符号语言作用证明直线与平面垂直28Ruler2022The esse
40、nce of mathematics lies in its freedom!7.空间向量与立体几何1空间直角坐标系定义以空间一点O为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，建立了一个空间直角坐标系O-xyz坐标原点点O坐标轴x轴、y轴、z轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴的正方向，食指指向 y轴的正方向，如果中指指向 z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.2空间一点M的坐标(1)空间一点 M 的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，记作 M(x,y,z)，其中 x 叫做点 M 的横坐标，y叫做点M
41、的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.(2)建立了空间直角坐标系，空间中的点M与有序实数组(x,y,z)可建立一一对应关系3空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式设点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)为空间两点，则A,B两点间的距离：|AB|=.设点P(x,y,z)，则点P(x,y,z)与坐标原点O之间的距离为|OP|=x2+y2+z2.(2)中点公式：设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)的中点，则x=x1+x22y=y1+y22z=z1+z22.29Ruler2022The essence of mathematics lies in its f
42、reedom!8.利用空间向量表示空间线面平行、垂直：设直线l,m的方向向量分别为l,m，平面,的法向量分别为,.(1)线线平行：若lm，则lml=m(R)；线面平行：若l，则ll=0；面面平行：若，则=.(2)线线垂直：若lm，则lmlm=0；线面垂直：若l，则ll=(R)；面面垂直：若，则=0.平面法向量的求法：设平面的法向量为=(x,y,z).在平面内找出(或求出)两个不共线的向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)，根据定义建立方程组，得到a=0b=0，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.9.各种角的范围 1.异面直线所成的角的取值范围是：0900,902.直线与平
43、面所成的角的取值范围是：0900,903.斜线与平面所成的角的取值范围是：00k=0k=tan0)32Ruler2022The essence of mathematics lies in its freedom!19.直线与圆的位置关系：判断圆心到直线的距离d与半径R的大小关系(1)当时，直线和圆(有两个交点)；(2)当时，直线和圆(有且仅有一个交点)；(3)当时，直线和圆(无交点)；20.圆与圆的位置关系：判断圆心距d与两圆半径和R1+R2，半径差R1-R2(R1R2)的大小关系：(1)当时，两圆，有4条公切线；(2)当时，两圆，有3条公切线；(3)当时，两圆，有2条公切线；(4)当时，两
44、圆，有1条公切线；(5)当时，两圆，没有公切线；21.直线与圆相交所得弦长|AB|=(d为直线的距离r为半径)22.圆与圆位置关系的应用：设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，；圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则有一条公共弦，由-，得(D1D2)x+(E1E2)y+(F1F2)=0，方程表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程。(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程。(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心。(3)求公
45、共弦长时，几何法比代数法简单易求。33Ruler2022The essence of mathematics lies in its freedom!23.椭圆的定义：(1)第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距.(a2=b2+c2)(2)标准方程：焦点在x轴上：；焦点在y轴上：.24.椭圆的方程及图像性质：定义方程(x+c)2+y2+(xc)2+y2=2ax2+(y+c)2+x2+(yc)2=2a标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)一般方程mx2+ny2=1(m0，n0，mn)推导
46、方程y2=b2a2x2+b2(ab0)x2=a2b2x2+a2(ab0)范围xa，a，yb，bxb，b，ya，a图形焦点坐标对称性对称轴：对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心)顶点轴长轴A1A2的长为：(a为长半轴)短轴B1B2的长为：(b为短半轴)离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率e=ca，e(0，1)，e越大越扁，e越小越圆焦距：a2=b2+c234Ruler2022The essence of mathematics lies in its freedom!25.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的图像中线段的几何特征(如图)：(1)|PF1|+|PF2|=，PF1P
47、M1=PF2PM2=，|PM1|+|PM2|=；(2)|BF1|=|BF2|=，|OF1|=|OF2|=，|A1B|+|A2B|=a2+b2；(3)|A1F1|=|A2F2|=，|A1F2|=|A2F1|=26.椭圆中的焦点三角形：若F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一动点，则PF1F2称为椭圆的焦点三角形，其周长为。相关性质：(1)当点P从A点逆时针运动，F1PF2由锐角逐渐增大，到B点时达到最大，过了y轴之后又逐渐减小。(2)设F1PF2=，则cos12e2。(当且仅当动点为短轴端点时取等号)(3)设F1PF2=，则焦点三角形的面积SF1PF2=。(4)
48、过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。(5)b2c2PF1PF2 b2，最大值与最小值之差一定是c2。2、解与焦点三角形PF1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题(1)与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式SF1PF2=12|PF1|PF2|sinF1PF2相结合的方法进行计算解题。(2)将有关线段|PF1|、|PF2|、|F1F2|，有关角F1PF2(F1PF2F1BF2)结合起来，建立|PF1|+|PF2|和|PF1|PF2|之间的关系。35Ruler2022The essence of mathematics
49、 lies in its freedom!27.直线与椭圆1、由方程组Ax+By+C=0 x2a2+y2b2=1，消去y导成px2+qx+n=0(p0)，判断=q24pn0方程组有两解两个交点相交=0方程组有一解一个交点相切b0)上，则过P0的椭圆的切线方程是x0 xa2+y0yb2=1。3、弦长公式：若直线y=kx+f与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|叫做弦长。|AB|=(x1x2)2+(y1y2)2=1+k2(x1x2)2=1+k2(x1+x2)24x1x2=1+k2|p|(韦达定理)=1+1k2(y1y2)2=1+1k2|y1y2
50、|。说明：与|p|分别是直线与曲线方程联立方程组消去y后的根的判别式及x2项的系数。4、焦点弦公式：椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，半焦距为c0，焦点F1(c，0)、F2(c，0)，设过F1的直线l的倾斜角为，l交椭圆于两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，求弦长|AB|。解：连结F2A、F2B，设|F1A|=x、|F1B|=y，由椭圆定义得|F2A|=2ax、|F2B|=2ay，由余弦定理得x2+(2c)22x2ccos=(2ax)2，整理可得x=b2accos，同理可求y=b2a+ccos，则 AB=x+y=b2accos+b2a+ccos=2ab2a2c2cos2；同理可求