《数学热点-立体几何综合问题（核心考点十大题型）（原卷版） (1).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学热点-立体几何综合问题（核心考点十大题型）（原卷版） (1).pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 热点热点 1-111-11 立体几何综合问题（核心考点十大题型）（原卷版）立体几何综合问题（核心考点十大题型）（原卷版）【考情透析】【考情透析】立体几何综合问题的是高考必考题型，涉及线面平行、垂直、空间角和距离等基本知识点，同时折叠问、探究和新定义问题也是近几年常考题型。【考题归纳】【考题归纳】核心考点题型一核心考点题型一 线面平行线面平行【例题例题 1】
2、（】（2024.陕西榆林高三模拟）陕西榆林高三模拟）如图，在三棱柱中，侧面底面，且，为中点.(1)求证平面(2)在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点 E 的位置.【例题例题 2】（】（2024.山东济南高三第一次模拟）山东济南高三第一次模拟）在三棱柱中，(1)若 分别是的中点，求证：平面平面.(2)若点分别是上的点，且平面平面，试求的值 【变式变式 1-1】（】（2024.云南昆明高三第一次模拟）云南昆明高三第一次模拟）如图，四边形中，分别在，上，现将四边形沿折起，使 111ABCABC11AAC C ABC112ACACAA ABBCABBCOACAC 1AOB1B
3、CEOE1A AB111ABCABC,E F G H1111,AB AC AB AC1/EFABCHG1,D D11,AC AC1/BC D11AB DADDCABCDABAD/ADBC6AD 24BCABEFBCAD/EF ABABCDEFBEECword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 (1)若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.(2)求三棱锥的体积
4、的最大值，并求出此时点到平面的距离.【变式变式 1-2】（2024.河北保定高三第一次模拟河北保定高三第一次模拟）已知正方体中，分别为对角线上的点，且 （1）求证：平面；（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明 【变式变式 1-3】（2024.河南安阳高三第一次模拟河南安阳高三第一次模拟）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，BAD90，AB4，AD2，DC3，点 E 在 CD 上，且 DE2，将ADE 沿 AE 折起，使得平面 ADE平面 ABCE，G 为 AE 中点.1BE ADP/CPABEFAPPDACDFFACD1111ABCDABC DPQBD1CD123CQB
5、PQDPD/PQ11AD DARABARAB/PQR11AD DAword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 (1)求证：DG平面 ABCE；(2)求四棱锥 D-ABCE 的体积；(3)在线段 BD 上是否存在点 P，使得 CP平面 ADE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.核心考点题型二核心考点题型二 线面垂直线面垂直【例题例题 1】（2024江苏镇江一模江苏镇江一模）如图，在棱长为 2 的正
6、方体中，为的中点，点满足，则（）A当时，平面 B任意，三棱锥的体积是定值 C存在，使得与平面所成的角为 D当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 BPBD1111ABCDABC DE1AAF11101AFAB 01AC BDF0,1FBDE0,1ACBDF323BDF5619word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495【例题例题 2】（2024.四川成都高三模拟四川成都高三模拟）已知正方体的棱长
7、为，、分别是、的中点 (1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；(3)求到平面的距离 【例题例题 3】（】（2024.辽宁抚顺高三第一次模拟）辽宁抚顺高三第一次模拟）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，PAABBC，ADCD1，ADC120，点 M 是 AC 与 BD 的交点，点 N在线段 PB 上，且 PNPB.(1)证明：MN平面 PDC；(2)在线段 BC 上是否存在一点 Q，使得平面 MNQ平面 PAD，若存在，求出点 Q 的位置；若不存在，请说明理由.【变式变式 2-1】（2024.陕西汉中高三第一次模拟陕西汉中高三
8、第一次模拟）如图，在四棱锥 SABCD 中，四边形 ABCD1111ABCDABC D2EFG1AA11AB11AD/EF1BC DBDHEH 1BC DBHEF1BC D314/word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 是边长为 2 的菱形，ABC60，SAD 为正三角形侧面 SAD底面 ABCD，E，F 分别为棱 AD，SB 的中点 (1)求证：AF平面 SEC；(2)求证：平面 ASB平面
9、CSB；(3)在棱 SB 上是否存在一点 M，使得 BD平面 MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 【变式变式 2-2】（2024.江苏无锡高三第一次模拟江苏无锡高三第一次模拟）如图（1），点 E 是直角梯形 ABCD 底边 CD上的一点，ABC90，BCCE1，ABDE2，将沿 AE 折起，使得 DAEB成直二面角，连接 CD 和 BD，如图（2）(1)求证：平面平面 BCD；(2)在线段 BD 上确定一点 F，使得平面 ADE.核心考点题型三核心考点题型三 空间角空间角【例题例题 1 1】（20242024山西太原高三模拟预测山西太原高三模拟预测）如图，圆柱的轴截面为矩形，点，BM
10、BSDAEABD CFABCDMNword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 分别在上、下底面圆上，则异面直线与所成角的余弦值为（）A B C D【例【例题题 2】（20242024河北秦皇岛高三模拟预测河北秦皇岛高三模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，(1)求证：；(2)求二面角的余弦值 【例【例题题 3】（20242024河南开封高三模拟河南开封高三模拟）如图，矩形中，点，在边，上，且.将矩形
11、沿折起至，使得，分别为，的中点.(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.2NBAN2CMMD2AB 3BC AMCN3 301034353 3020PABCPAC ABC2PAPCPBABBC23APCACPBAPCBABCD4AB 6BC EFBCAD2CEDFCDFEEFC D FE 60C EBMNABC DEN MNFENC AEword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 【例【例题
12、题 4】（20242024山东烟台高三模拟）山东烟台高三模拟）如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，.(1)证明：平面平面；(2)是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由.【变式变式 3-13-1】（20232023江苏连云港统考模拟预测江苏连云港统考模拟预测）已知正四面体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（）A B C D【变式变式 3-2】（2024山东青岛高三模拟山东青岛高三模拟）正方形的边长为 2，点是的中点，点是的中点，点是的中点，将正方形沿折起，如图所示，二面角的大小为，则下列说法正确的是（）PABCPA ABCEPCFBC112P
13、AACBC6PB AEF PBCFAEFABC3CFABCD12AMMC NBCMNBCD2 1473 1474 1475 147ABCDEADFBCGEFEFAEFDword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 A当时，与所成角的余弦值为 B当时，三棱锥外接球的体积为 C若，则 D当时，与平面所成角的正弦值为【变式变式 3-3】（20232023云南昆明高三模拟云南昆明高三模拟）已知一圆形纸片的圆心
14、为，直径，圆周上有两点.如图，点是上的动点.沿将纸片折为直二面角，并连接.(1)当平面时，求的长；(2)若，求二面角的余弦值.【变式变式 3-43-4】（20242024甘肃兰州高三校联考开学考试）甘肃兰州高三校联考开学考试）如图，四边形ABCD为菱形，平面ABCD，设，连接AC，BD交于点M，连接EM，FM 2ACEF332CABG82352ACEF233ACABFE1510O2AB,C D,6OCABAODPBDAB,PO PD PC CD/ABPCDPDOPODOPDC120ADCED FBEDABED01FBEDword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word
15、群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 （1）试问是否存在实数，使得平面AFC？若存在，请求出的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由；（2）当时，求异面直线EM与FC所成角的余弦值 【变式变式 3-53-5】（20242024江西抚州高三校联考模拟）江西抚州高三校联考模拟）如图，在几何体中，已知平面平面，平面平面，平面ABC，ADDE （1）证明：平面；（2）若，设为棱上的点，且满足，求当几何体的体积取最大值时，与所成角的余弦值 核心考点题型四核心考点题型四 非常
16、规空间几何体非常规空间几何体【例题例题 1】（2024.江苏常州高三第一次模拟）江苏常州高三第一次模拟）如图，P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M 是 PB 的中点，四边形 OBCH 为正方形 EM 12ABCDE,ABBC ABBCABCACDABCBCE/DEDEACD22ACCDMBE2BMMEABCDEAMCD4AB 2 2PH word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群56229
17、8495 （1）设平面平面，证明：；（2）设 D 为 OH 的中点，N 是线段 CD 上的一个点，当 MN 与平面 PAB 所成角最大时，求 MN 的长 【例题例题 2】（2024.河南洛阳高三第一次模拟）河南洛阳高三第一次模拟）如图所示，圆锥的底面半径为 4，侧面积为，线段 AB 为圆锥底面的直径，在线段 AB 上，且，点是以 BC 为直径的圆上一动点；（1）当时，证明：平面平面（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值 【变式变式 4-1】（2024.云南曲靖高三二模云南曲靖高三二模）如图，圆锥 PO 的母线长为，是的内接三角形，平面 PAC平面 PBC，POH PBCllBC16 2O
18、C3BCCADCDCOPAD PODPBCDBPDA6ABCO2 3BC 60ABCword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 （1）证明：；（2）设点 Q 满足，其中，且二面角的大小为，求的值 【变式变式4-2】（2024.湖北武汉高三一模湖北武汉高三一模）如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆周上一点，四边形为矩形，点在上，且平面 （1）请判断点的位置并说明理由；（2）平面将
19、多面体分成两部分，求体积较大部分几何体的体积 核心考点题型五核心考点题型五 折叠问题折叠问题【例题例题 1】（2023云南师大附中模拟试题）云南师大附中模拟试题）如图，在菱形中，将沿着翻折，形成三棱锥.PAPCOQOP 0,1OQBC60DOABC2DAACBCDOAEFBC/DFEACFDFODBCAEABCD2AB 60DABBCDBDABCDword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 (1)当
20、时，证明：；(2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值.【例题例题 2】（2024重庆渝中重庆渝中高三重庆巴蜀中学模拟预测高三重庆巴蜀中学模拟预测）已知如图甲所示，直角三角形 SAB中，C，D 分别为 SB，SA 的中点，现在将沿着 CD 进行翻折，使得翻折后 S 点在底面 ABCD 的投影 H 在线段 BC 上，且 SC 与平面 ABCD 所成角为，M 为折叠后 SA 的中点，如图乙所示.(1)证明：平面 SBC；(2)求平面 ADS 与平面 SBC 所成锐二面角的余弦值.【变式变式 5-1】（2024山西太原高三模拟预测）山西太原高三模拟预测）如图 1 所示，四边形 ABCD 中，M
21、为 AD 的中点，N 为 BC 上一点，且现将四边形 ABNM 沿 MN 翻折，使得 AB 与 EF 重合，得到如图 2 所示的几何体 MDCNFE，其中 2AC ADBCABD BDCBCACD90ABS6ABBSSCD3/DM/AD BC1AB 2AD 3BC 2ABC/MN AB3FD word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 (1)证明：平面 FND；(2)若 P 为 FC 的中点，求二面
22、角的正弦值 【变式变式 5-2】（2024河南开封高三模拟河南开封高三模拟）在（图 1）中，为边上的高，且满足，现将沿翻折得到三棱锥（图 2），使得二面角为.(1)证明：平面；(2)在三棱锥中，为棱的中点，点在棱上，且，若点到平面的距离为，求的值.核心考点题型六核心考点题型六 立体几何建系问题立体几何建系问题 （一）（一）斜棱柱垂面法建系斜棱柱垂面法建系【例题例题 1】（2024四川成都四川成都校联考模拟预测校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面 ABC，CD FNDPABC3,45,BCCADBC2DCBD ABDADABCDBADC60BCABDABCDMCDPAC102APAC CP
23、BM3 1313111ABCABC-11AAC C 11120AAC14ACCC3tan2BACword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495，(1)求证：B，D，E，四点共面；(2)求二面角的余弦值 【变式变式 6-1】（】（2023湖南长沙高三模拟预测）湖南长沙高三模拟预测）如图，在斜三棱柱中，的中点为，的中点为.(1)证明：OD平面；(2)若，求平面与平面所成角的大小.【变式变式 6-2】（】（2
24、024山西大同高三二模）山西大同高三二模）如图，在三棱柱中，四边形是边长为 4 的菱形，点 D 为棱 AC 上动点(不与 A，C 重合)，平面 B1BD 与棱 A1C1交于点 E (1)求证：；(2)若，平面 ABC平面，求直线 BC 与平面 B1BDE 所成角的正弦值 BABC3ADDC113AEEC 1B11ABBD111ABCABC-1AAAB11ABAC1ABOBCD11ACC A90ACB11ABBC24ACBC11ACC AABC111ABCABC-11AAC C13ABBC1BBDE/34ADAC11AAC C160A ACword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印
25、无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 （二）斜棱柱垂线法建系（二）斜棱柱垂线法建系【例题例题 1】（2024广西桂林高三统考模拟预测广西桂林高三统考模拟预测）如图，在三棱柱中，为的中点，点在底面上的射影为点.(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面所成角的正弦值.【变式变式 6-3】（2024西北公大附中校考模拟预测西北公大附中校考模拟预测）如图所示多面体 ABCDEF 中，平面平面 ABCD，平面 ABCD，是正三角形，四边形 ABCD 是菱形，
26、(1)求证：平面 ABCD；(2)求二面角的正弦值.【变式变式6-4】（2024山西太原三中校考模拟预测山西太原三中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，为等边三角形 111ABCABC-EAC1AB 2BC 5AC 1BC1/AB1BEC12 2BB 1BEC11AEC AADE CF ADEV2AB 3CF.3BADEFEAFC111ABCABC-CACB11AAB B1ABCVword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学
27、高中数学探究群562298495 (1)求证：；(2)若，点 E 是侧棱上的动点，且平面与平面的夹角的余弦值为，求点 B 到平面的距离 （三）（三）三棱锥投影法建系三棱锥投影法建系【例题例题 1】（】（2024四川成都高三模拟）四川成都高三模拟）如图，在三棱锥中，D 是 AC的中点，E 是 AB 上一点，平面 PDE.(1)证明：平面 PBC；(2)若，求二面角的正弦值 【变式变式 6-5】（】（2023安徽合肥高三模拟检测）安徽合肥高三模拟检测）如图，在三棱锥中，是点在平面 ABC 上的投影，是 BD 的中点.1CBCB4CACB1CC1AB EABC141AB EPABCACBCAC/DE
28、4ACBC2PDPEDPBEDABCODDADBABACMword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 (1)证明：平面 DAC；(2)若 O 点正好落在的内角平分线上，求二面角的正弦值.【变式变式 6-6】（】（2024河北保定高三模拟）河北保定高三模拟）在三棱锥中，D，E，P 分别在棱 AC，AB，BC 上，且 D 为 AC 中点，于 F.(1)证明：平面平面；(2)当，二面角的余弦值为时，求直线
29、与平面所成角的正弦值.（四）（四）角平分线法建系角平分线法建系【例题例题 1】（2024.全国九省联考全国九省联考）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，/OMABC3DO 5DA4 3AB BAMCAABC2ADAEA DA EAPDEAA PA DE1BE 5BC ADEP35A BA DE1111ABCDABC DABCDOACBD11112,45AAC CBC CDC CO word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 73259944
30、0；高考数学高中数学探究群562298495 （1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值 【变式变式 6-7】（】（2024河北石家庄校联考模拟预测）河北石家庄校联考模拟预测）已知三棱柱中，是的中点，是线段上一点.(1)求证：；(2)设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求直线与平面所成角的正弦值.【变式变式 6-8】(2024.山东青岛第一次质检山东青岛第一次质检）如图，在多面体中，底面为平行四边形，平面 BC，为等边三角形，(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值 1C O ABCD1BAAD111ABCABC-1112,2,90,ABACA AABACBACEBCF11
31、ACABEFP1AAPBC1PC11AAB BABCDEFABCD/EFEAB22,60BCCEABEFABCEAB ABCDECDFCDword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 核心考点题型七核心考点题型七 截面问题截面问题【例题例题 1】（2023四川泸州第二中学校联考模拟预测）四川泸州第二中学校联考模拟预测）如图，在棱长为 2 的正方体，中，点 E 为 CD 的中点，则过点 C 且与垂直的平
32、面被正方体截得的截面周长为 【例题例题 2】（2024安徽六安学校考模拟预测安徽六安学校考模拟预测）如图，已知多面体 EABCDF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，且.(1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【变式变式 7-1】（2023辽宁锦州辽宁锦州校考一模校考一模）在正四棱锥中，为的中点，过作截面将该四棱锥分成上下两部分，记上下两部分的体积分别为，则的最大值是 .【变式变式 7-2】（2024福建福州高三模拟预测）福建福州高三模拟预测）已知半径为 4 的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，
33、若二面角的大小为，则四面体1111ABCDABC D1B E1111ABCDABC DEA底面ABC D/FD EA112FDEABCKABCDKECFEBECFSABCDMSCAM12,V V21VVO12O OAB122OO 12OABO23word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495 的体积的最大值为（）A B C D 核心考点题型八核心考点题型八 立体几何的最值或范围问题立体几何的最值或范围问
34、题 【例题例题 1】（2024陕西榆林高三校联考模拟）陕西榆林高三校联考模拟）如图，在三棱锥中，平面，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为（）A B C D2【变式变式 8-1】（2024河南安阳第二高级中学校联考一模）河南安阳第二高级中学校联考一模）在棱长为 2 的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（）A B三棱锥的体积为 C线段最小值为 D的取值范围为【变式变式 8-2】（2024江苏徐州高三模拟江苏徐州高三模拟）如图，棱长为 1 的正方体中，为线段的中点，、分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（）A B C D2 核心考点题
35、型九核心考点题型九 立体几何的轨迹问题立体几何的轨迹问题 12ABOO8 3429829439111AABC1AA 111111,90ABCABC11111222,ABA ABCP1AB,M N1AC11BC5PMMN3 525251111ABCDABC D1CC11AD DA1B NBMD11NBNC1BNBM831B N4 30511tanANB1,51111ABCDABC DP1ABMN1AC11BC22PMMN2223word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：新高考资料
36、全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495【例题例题 1】（2024安徽合肥高三开学考试安徽合肥高三开学考试）设正方体的棱长为 1，点 E 是棱的中点，点 M 在正方体的表面上运动，则下列命题：如果，则点 M 的轨迹所围成图形的面积为；如果平面，则点 M 的轨迹所围成图形的周长为；如果平面，则点 M 的轨迹所围成图形的周长为；如果，则点 M 的轨迹所围成图形的面积为 其中正确的命题个数为（）A1 B2 C3 D4【变式变式 9-1】（2024四川绵阳高三模拟）四川绵阳高三模拟）已知棱长为 的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成
37、的图形的周长为 .【变式变式 9-2】（2024陕西汉中高三模拟预测）陕西汉中高三模拟预测）已知为正方体的内切球球面上的动点，为的中点，若动点的轨迹长度为，则正方体的体积是 .核心考点题型十核心考点题型十 立体几何新定义立体几何新定义 【例题例题 1】（2023辽宁沈阳辽宁沈阳二模二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图 1 所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，再分别以，为轴将，分别向上翻转，使，三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图 2 所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂
38、房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为1111ABCDABC D11AB1AMBD321B M1AEC3 52EM11D B BD221EMBD3 343ABCDEADP2PAPDD/BCEPN1111ABCDABC DM11BCDNMBN8 55HABCJCDEKEFAACCEEAACHCEJEAK180HJKS23word 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见 Q 群：
39、新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495.(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为 1，侧棱长为 2，设（i）用表示蜂房（图 2 右侧多面体）的表面积；（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值.【例题例题 2】（2024山西运城高三模拟）山西运城高三模拟）多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数 V棱数 E与面数 F 有关系.请运用欧拉定理解决问题：碳具有超导特性抗化学腐蚀性耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示，碳的分子结构是个由正五边形面和正六边形面共 32 个面构成的凸多
40、面体，60 个碳原子处于多面体的 60 个顶点位置，则 32 个面中正五边形面的个数是 .【变式变式 10-1】（2024云南曲靖高三模拟云南曲靖高三模拟）设 P 为多面体 M 的一个顶点，定义多面体 M 在点P 处的离散曲率为，其中为多面体 M 的所有与点 P 相邻的顶点，且平面，平面233 BHxx()S xS2VFE6060()C6060()C122131112kkkQ PQQ PQQPQQ PQ1,2,3,iQ ik kkN12Q PQword 版及更多高中资料见 Q 群：高考高中资料无水印无广告 word 群 559164877学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司原卷及解答见
41、Q 群：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群562298495，平面和平面为多面体 M 的所有以 P 为公共点的面.已知在直四棱柱中，底面 ABCD 为菱形，.直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等；若，则直四棱柱在顶点 A 处的离散曲率为；若，则直四棱柱在顶点 A 处的离散曲率为；若四面体在点处的离散曲率为，则平面.上述说法正确的有 （填写序号）【变式变式 10-2】（2024陕西汉中高三模拟陕西汉中高三模拟）设 P 为多面体 M 的一个顶点，定义多面体 M 在点P 处的离散曲率为，其中（，2，k，）为多面体 M 的所有与点 P 相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为
42、多面体 M 的所有以 P 为公共点的面已知在直四棱柱中，底面 ABCD 为菱形，且(1)求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和；(2)若直四棱柱在点 A 处的离散曲率为 x，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间 23Q PQ1kkQPQ1kQ PQ1111ABCDABC D1AAAB1111ABCDABC DACBD1111ABCDABC D14ABBD1111ABCDABC D231A ABD1A7121AC 1ABD122311112kkkQ PQQ PQQPQQ PQiQ1i 3k 12Q PO23Q PO1kkQPQ1kQ PQ111ABCDABC D11AAAB111ABCDABC D111ABCDABC D111ABCDABC D f x yf x