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1、学科网（北京）股份有限公司综合检测卷 B参考答案1答案：B解析：设等差数列 na的公差为 d,则251612512511aaadaad,解得11a,2d,因此,4137aad.故选：B.2答案：A解析：观察此数列可知,当 n 为偶数时,22nna,当 n 为奇数时,212nna,因为221,2(1)2nnnnnbann 为奇数，为偶数,所以数列 nb的前 20 项和为:2219120(48)(12 18)22(02)10(220)246201102,故选:A3答案：C解析：因为3()32f xxx,所以2()33311fxxxx,令 0fx,得1x 或1x ,令 0fx,得11x,所以 f x
2、在,1,1,上单调递增,在1,1上单调递减,所以当1x 时,f x取得极大值且11 324f ,故 A 错误;学科网（北京）股份有限公司所以当1x 时,f x取得极小值且 10f,当x趋近于正无穷,f x趋近于正无穷,当x趋近于负无穷,f x趋近于负无穷,则 f x的图象如下图,f x有 2 个零点,故 B 错误;对任意的xR,3332324fxfxxxxx,所以,点0,2是曲线 yf x的对称中心,C 正确;设3yx是函数 f x的一条切线,设切点坐标为3,32t tt,233fxt,由题意可得 2333ftt,解得:2t ,所以切点为:2,22或2,22,切点不在3yx上,故 D 错误.故
3、选:C.4答案：D解析：A 选项,2fxxm是单调递增函数,故在区间,a b上不可能存在1x,2x,12axxb,满足 12fxfx,故函数 2f xxmxn在任意区间,a b上都不可能是“对望函数”,A 正确;B 选项,22fxxx,2202230223ff,令 2223xxfx ,解得1333x,2333x,学科网（北京）股份有限公司又1202xx,所以函数 32123f xxx是0,2上的“对望函数”,B 正确;C 选项,1 cosfxx,11366111566ff,令 1 cos315fxx ,解得5os3cx ,因为cosyx在,6x上单调递减,在11,6x上单调递增,画出函数图象如
4、下：可知存在12 11,66x x,使得 12315fxfx,所以函数 sinf xxx是 11,66上的“对望函数”,C 正确;D 选项,函数 f x为,a b上的“对望函数”,则 0fx在,a b上必有两个不相等的实根,则函数 f x在,a b上不单调,D 错误.故选：D.5答案：A解析：112nnanan,则324112312342 1 2 2 2 3212nnnaaaannaaaan.学科网（北京）股份有限公司112nnana,2nnna.231232222nnnS,221111122222nnnnnS.211111.22222nnnnS,222nnnS,则10123509221024
5、256256S.故选：A.6答案：D解析：因为11Sa,2112 122222Saa,4114 3424122Saa,由题意得211122412aaa,解得11a,所以21nan,则111121212 2121nbnnnn,则501111111150123355799101101T.故选：D.7答案：D解析：由函数 f x的导函数图象可知,当),(xa ,(),a b时,0fx,原函数为减函数;当(,)xb时,0fx,原函数为增函数.故 D 正确,C 错误;故xa不是函数 f x的极值点,故 A 错误;当xa 或xb时,导函数 fx的值为 0,函数 f x的值未知,故 B 错误;故选:D.学科
6、网（北京）股份有限公司8答案：D解析：由已知可得 00f,则 f x在区间0,2上有且只有 1 个零点.e sine cosxxfxxxa,令 e sine cosxxg xxxa,0,2x.则 esincosecossin2e cosxxxgxxxxxx,因为 2e cos0 xgxx在区间0,2上恒成立,所以 fx在区间0,2上单调递增.所以,当0 x 时,fx有最小值 10fa;当2x 时,fx有最大值2e2fa.当1a 时,有 010fa,则 0fx恒成立,所以 f x在区间0,2上单调递增,所以 0f xf.又因为 00f,所以 f x在区间0,2上无零点,不符合题意,舍去;当2ea
7、 时,有2e02fa恒成立,则 f x在区间0,2上单调递减,所以 0f xf.又因为 00f,所以 f x在区间0,2上无零点,不符合题意,舍去;学科网（北京）股份有限公司当2e1a 时,有 010fa,2e02fa.又 fx在区间0,2上单调递增,根据零点的存在定理可得,00,2x,使得 0fx.当00,xx时,0fx,f x单调递减;当0,2xx时,0fx,f x单调递增.又 00f,2e22fa,要使 f x在区间0,2上有且只有一个零点,则2e02a,解得22ea .又因为2e1a,所以22e1a.综上,实数 a 的取值范围是22e,1.故选:D.9答案：ACD解析：对于 A,由题意
8、可得2112nnnnnaaaaa,21nnnaaa,所以221123nnnnnnnaaaaaaa,故 A 正确.对于 B,121aa,32a,43a,55a,68a,1356817aaaa,故 B 错误.对于 C,123aaa,234aaa,12nnnaaa,以上各式相加得,1231342222nnnaaaaaaaa,化简得1232221nnnaaaaaaa,故 C 正确.对于 D,由题意可得211a,学科网（北京）股份有限公司22231231aaaaa a,342343223aaaaa aa a,220232023202420222023202420232022aaaaaaaa,累加得222
9、12202320232024aaaaa,故 D 正确.故选:ACD.10答案：ACD解析：由na是递增数列,得123aaa;又12nnaan,所以122324aaaa,所以12123212244aaaaaaa,所以101a,故选项 A 正确;221234212()()()26 102(21)2nnnSaaaaaann,故 B 不正确;由 nb是递增数列,得123bbb,又12nnnb b,所以1 22 324bbb b,所以2132bbbb,所以112b,故选项 C 正确;所以122132124212(1 2)(1 2)()()()(21)1 21 2nnnnnnbbTbbbbbbbb,所以2
10、1 22(21)2 2(21)nnnTbb,又12bb,所以22 2(21)nnT,而222 2(21)22(2 22)nnnn,当5n 时,22(2 22)0nn;当14n时,可验证22(2 22)0nn,所以对于任意的*nN,22nnST,故选项 D 正确.故选：ACD.学科网（北京）股份有限公司11答案：BD解析：2222sin22cos 22sin 22(tan2)cos2cos 2cos 2xxxxxxx,故 A 不正确;21logln2xx,故 B 正确;55 ln5xx,故 C 不正确;22cos2 cossinxxxxxx,故 D 正确.故选:BD.12答案：ACD解析：A 选
11、项,21e2xf xax定义为 R,且 exfxax,由题意得 exfxax有两个变号零点,令e0 xax,即exxa 有两个不同的根,令 exxg x,则 1exxgx,当1x 时,0gx,当1x 时,0gx,故 exxg x 在,1上单调递增,在1,上单调递减,所以 exxg x 在1x 处取得极大值,也是最大值,且 11eg,又当0 x 时,0exxg x,当0 x 时,0exxg x,画出 exxg x 的图象,如下,故10ea,A 正确;B 选项,由 A 选项可知,11exax,且10,1x,学科网（北京）股份有限公司故12221111111111e122222xfxaxxxx,B
12、错误;C 选项,由 A 选项可知,22exax,且21,x,22222222211111e122222xfxaxxxx,C 正确;D 选项,设 2G xg xgx,0,1x,则 22212eeeee11xxxxxxGxggxxx,因为0,1x,所以10 x,2xx,则2ee0 xx,故 21ee0 xxxxG,故 2G xg xgx在0,1x上单调递增,又 12 101Ggg,而10,1x,故 11120G xgxg x,即 112g xgx,又 12g xg x,所以212g xgx,其中21,x,121,2x,而由 A 选项可知,exxg x 在1,上单调递减,所以212xx,即122xx
13、,D 正确.故选：ACD.13答案：解析：因为(2)g x为奇函数,所以(2)(2)g xgx ,令0 x,可得(2)(2)gg,即(2)0g,故正确;因为(1)(2)2g xfx,所以(1)(2)0g xfx,所以()(3)0g xfx,又()(1)fxg x,所以(1)()fxg x,所以(1)(3)0fxfx,即(2)(2)0fxfx,所以函数()fx的图象关于点2,0对称,故错,学科网（北京）股份有限公司因为()(1)fxg x,所以()(1)0f xg x,所以()(1)f xg xc,c 为常数,因为(1)(2)2g xfx,所以(3)()2gxf x,所以(3)(1)2gxg x
14、c,取2x,可得2c .所以(3)(1)gxg x,由(2)(2)g xgx ,得(1)(3)g xgx ,所以(1)(1)g xg x,即()(2)g xg x,所以(4)(2)g xg xg x,所以函数()g x是周期函数,且周期为 4,又()(1)2f xg xc,即()(1)2f xg x,所以函数()f x也是以 4 周期得周期函数,故正确;因为(2)(2)g xgx ,()(2)g xg x,所以(3)(1)gg,即(3)(1)0gg,所以(4)(2)0gg,则(4)(2)0gg,所以(1)(2)(3)(4)0gggg,20231(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)4(00
15、)5 5kggggggkggg,故正确.故答案为：.14答案：6250解析：设每年还款的金额为 x 元，由题意可得12341(1 0.25)(1 0.25)(1 0.25)14760(1 0.25)x，所以441 1.2514760 1.251 1.25x，所以4414760 1.250.2562501.251x.15答案：1解析：11a ，211112aa，32121aa，43111aa，由以上可知，数列 na是一个循环数列，每三个一循环，所以10011aa.学科网（北京）股份有限公司16答案：2,3解析：因为12nnaa,即12nnaa,所以数列 na为公比为人的等比数列,又因为14a,所
16、以1112nnnaa q,所以112122nnnnna bn,*nN,所以1232 23 24 212nnSn ,234122 23 24 212nnSn ,得,23142221 2nnnSn1114 1 241 221 2nnnnn ,所以12nnSn.因为不等式212936nnannkSn对一切*nN恒成立,所以22936nnkn对一切*nN恒成立,即2369nkn对一切*nN恒成立,只需满足min2369nkn,因为36369293nnnn,学科网（北京）股份有限公司当且仅当36nn时,即6n 时,等号成立,所以23k,所以23k,故 k 的取值范围是2,3.17答案：（1）1,1 21
17、,24nnann（2）3a 或4a 解析：（1）24(1)nSn当1n 时,214(1 1)a,即11a 当2n时,由1nnnaSS,故224(1)21nannn,得214nna.易见11a 不符合该式,故 1 121,24nnann，（2）由0na,易知nT递增;112145Ta a当2n时,111611821232123nna annnn.从而41111111281285577921235235nTnnn.又由25nTaa,故212aa,解得3a 或4a 即实数 a 的取值范围为3a 或4a 18答案：（1）12nna,nbn学科网（北京）股份有限公司（2）ii 1(1)21nndn（3）
18、11221n解析：（1）设 na的公比为0q,因为322aa,所以2112a qa q,即220qq,解得2q 或1q (舍),所以1112nnnaa q,设 nb的公差为d,因为435abb,5462abb,所以358bb,46216bb,所以1126831316bdbd,解得11db,所以1(1)nbbndn.（2）由（1）可得,12nndn,所以0121ii 11 22 23 22nndn ,123ii 121 22 23 22nndn ,所以0121ii 11 2222222(1)211 2nnnnnndnnn ,所以ii 1(1)21nndn.（3）111121111(21)(21)
19、2121nnnnnnnnnacaa,所以0112131223111111112121212121212121nnnnTcccc11221n.19答案：（1）见解析学科网（北京）股份有限公司（2）见解析解析：（1）已知1323nnSSn,当1n 时,2135SS,即12135aaa,由13a,解得211a.当2n时,13213nnSSn,则113233213nnnnSSnSSn相减得132nnaa.当1n 时,132nnaa也成立.所以对于*nN都有132nnaa成立.上式化为1131nnaa,所以1na 是等比数列,首项为 4,公比为 3,则14 31nna,即14 31nna.（2）因为11
20、43nnnbn an,则01211214 38 312 34334 38 341343nnnnnTnTnn ,两式相减得,012124 34 34 34 343nnnTn 41 3431 3nnn2243nn ,所以1213nnTn.20答案：（1）答案见解析（2）0,2e解析：（1）函数 ln20f xa xx a的定义域为0,且 22aaxfxxx.当0a 时,因为0 x,则 0fx,此时函数 f x的单调递减区间为0,;学科网（北京）股份有限公司当0a 时,由 0fx可得2ax,由 0fx可得02ax.此时,函数 f x的单调递增区间为0,2a,单调递减区间为,2a.综上所述,当0a 时
21、,函数 f x的单调递减区间为0,;当0a 时,函数 f x的单调递增区间为0,2a,单调递减区间为,2a.（2）ln222cose2cos0e2cos0eaf xaxxxxf xf xf xf xf xf x,设 e2costg ttt,其中 tf x,则 e2sintg tt,设 esin2th tt,则 ecosth tt,当0t 时,e1t,sin1t,且等号不同时成立,则 0g t恒成立,当0t 时,e1t,cos1t ,则 0h t恒成立,则 g t在0,上单调递增,又因为 01g,1e2sin10g ,所以,存在00,1t 使得 00g t,当00tt 时,0g t;当0tt时,
22、0g t.所以,函数 g t在0,t上单调递减,在0,t 上单调递增,且 00g,作出函数 g t的图象如下图所示：由（1）中函数 f x的单调性可知,学科网（北京）股份有限公司当0a 时,f x在0,上单调递增,当0 x时,f x,当x 时,f x,所以,tf xR,此时 00g t,不合乎题意;当0a 时,maxln22aafxfaa,且当0 x时,f x,此时函数 f x的值域为,ln2aaa,即,ln2ataa.（i）当ln02aaa时,即当02ea时,0g t 恒成立,合乎题意;（ii）当ln02aaa时,即当2ea 时,取10minln,2ataa t,结合图象可知 10g t,不
23、合乎题意.综上所述,实数 a 的取值范围是0,2e.21答案：（1）10,e（2）见解析解析：（1）由题意知,方程()0f x 在(0,)上有两个不同根,即方程ln0 xax在(0,)上有两个不同根,即方程lnxax在(0,)上有两个不同根.令ln()xg xx,()0 x,则21 ln()xg xx,则当0ex时,()0g x,ex 时,()0g x,则函数ln()xg xx在(0,e)上单调递增,在(e,)上单调递减,所以max 1()(e)eg xg.又因为(1)0g,当1x 时,()0g x,当01x时,()0g x,学科网（北京）股份有限公司所以 a 的取值范围为10,e.（2）证明
24、:即证112exx,两边取对数,等价于要证121lnlnxx,2()()lng xf xxaxxaxxa,()ln2g xxax,可知1x,212xxx分别是方程ln20 xax的两个根,即11ln2xax,22ln2xax,所以原式等价于12121222axaxa xx.因为0,120 xx,所以原式等价于要证明1212axx.又由11ln2xax,22ln2xax作差得,1122ln2xa xxx,即1212ln2xxaxx,所以原式等价于121212ln1xxxxxx,令12xtx,(0,1)t,则不等式(1)(1)lnttt在(0,1)t上恒成立.令(1)(1)()lnth ttt,(
25、0,1)t,又2222(1)1(1)()()()tth tttt t,当1时,(0,1)t时,()0h t,所以()h t在(0,1)t上单调递增.又(1)0h,()0h t,所以121212(1)lnxxxxxx在(0,1)t恒成立,所以原不等式恒成立.22答案：（1）1nnaa是以21aa2为首项,2 为公比的等比数列（2）*21nnanN（3）见解析解析：（1）证明：2132nnnaaa,学科网（北京）股份有限公司2112()nnnnaaaa11a,23a*2112()nnnnaanaaN1nnaa是以21aa2为首项,2 为公比的等比数列.（2）由（1）得*12()nnnaanN,112211()().()nnnnnaaaaaaaa1222.2 1nn*21()nnN（3）证明：1211144.4(1)nnbbbbna,12(.)42nnbbbnnb,122(.)nnbbbnnb12112(.)(1)(1)nnnbbbbnnb,得112(1)(1)nnnbnbnb,即1(1)20nnnbnb21(1)20nnnbnb,得2120nnnnbnbnb.即2120nnnbbb,*211()nnnnbbbb nN,nb是等差数列.