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1、浅谈数形结合思想方法在高中函数中的应用 摘要：数学是研究数量关系与空间结构的科学，也可说是“数”与“形”的科学1。灵活运用“数形”之间的转换来解题的思想方法，即是数形结合思想方法了。作为高中数学重要的思想方法之一，它将图形的直观性与数据的精确性相互渗透，将抽象思维与形象思维进行有机结合。函数是众多学生厌弃数学的症结，而数形结合思想方法则是学生的“良药”，是解决高中函数学习的重要工具。本文从解题手段、培养学生的学习的兴趣、培养学生的数学思维能力这三方面介绍了数形结合思想方法的意义，总结了数形结合思想在高中函数例题中的应用，并反思了数形结合思想在应用时值得注意的一些问题、需要遵循的原则以及其局限性
2、。关键词：数形结合；思想方法；高中函数；例题A Brief Talk on the Practice of Numeral-form Combination Method of Thinking in High School FunctionAbstract：Mathematics is the science of quantitative relationship and space form, or in other words science of “number” and “shape”. The method of thinking is the numeral-form comb
3、ination method of thinking which is switching “number” and “shape” neatly to deal with problems. As the one of the important methods of thinking in high school mathematics, it makes the clearness of drawing and the accuracy of number infiltrate reciprocally, and organically combines the abstract thi
4、nking and the imaginable thinking. Function is the crux, which so many students hate mathematics, but the numeral-form combination method of thinking is their good medicine and the important tool to deal with the study problem of high school function. In this paper, I introduced the significance fro
5、m three aspects: a way of solving problem, developing students interest in learning and training the ability of mathematical method to students. And I summed up the practice of numeral-form combination method of thinking in high school function examples. Besides, I also reflected the numeral-form co
6、mbination method of thinking with some problems that students need pay attention to, principles and limitations. Key words: The combination of number and shape; method of thinking; high school function; example.目 录摘要IAbstractII1 前 言11.1 研究背景11.2国内外研究现状21.2.1 国内研究现状21.2.2 国外研究现状32 运用数形结合思想方法的意义32.1 有
7、助于拓展学生解决问题的途径32.2 有助于加深对数学知识的理解42.3 有助于数学思维能力的培养52.3.1 有助于形象思维的培养52.3.2 有助于逻辑思维的培养52.3.3 有助于发散思维的培养63 数形结合思想方法在高中函数中的应用举例63.1 利用数形结合思想方法比较函数值的大小63.2 利用数形结合思想方法求函数最值和值域73.3 利用数形结合思想方法求有关函数性质的问题83.4 利用数形结合思想方法求零点（根）的个数103.5 利用数形结合思想方法求参数问题114 应用数形结合思想方法需要注意的问题124.1 应用数形结合思想方法需注意的问题124.2 利用数形结合思想方法需遵循的
8、原则144.3数形结合思想方法的局限性15总 结16参考文献：16致 谢18221 前 言数学是研究数量关系与空间结构的科学，也可说是“数”与“形”的科学，它与语文共同构成整个学科体系的两大基础支柱，在高中阶段有着不可撼动的地位。同样地，数形结合思想方法在高中数学中也有着重要地位，特别是在函数部分，它起着不可或缺的作用。在本章节中，笔者将对该课题的研究背景和国内外研究现状进行简述，以为后续论题的深入探究奠定理论基础。1.1 研究背景在数学课程标准中，数学被分为四个部分，分别是数与代数、空间与几何、统计与概率、实践与综合应用。其中，几何是对图形进行研究，代数则对数进行分析，虽说是两个不同的类别，
9、但它们的关系却是联系紧密、相辅相成的，并非相互独立，这样的关系在函数中体现的十分明显。在高中学习函数时，我们时常会碰到许多无法运算或计算量较大的代数问题，这往往使我们解题困难，甚至无从下手。这时，我们就需要利用数形结合思想方法来解题，将“数”的问题转化为“形”的问题，通过观察图形，利用图形的相关性质进行解答。此外，在平时的学习中，我们还会遇到一些抽象的题或概念，让我们难以解决或及时掌握，但如果我们将不易理解的抽象问题具体化，将概念转化为便于理解的数学语言，即实现“数”与“形”之间的转化，那么对于很多问题，我们都能轻而易举地解决了。正如美籍数学家乔治波利亚曾说的：“完美的思想方法犹如北极星，使人
10、们找到正确的道路”2。数形结合思想方法就是函数的“北极星”，它是连接“数”与“形”之间的良好纽带和坚固桥梁，帮助我们准确、快速地理解并解答问题。随着数形结合思想理论研究的逐步深入，其教学价值也被广大教育实践者所认同，尤其是在教授函数这部分知识时。大家都知道，函数是数学的一个难点，很多学生都不能将其完全弄明白，大多数人都理解地似是而非。但在学习函数这部分知识时，数形结合这一思想得到了充分地体现，比如，当指数的值较大时，比较两指数函数的大小。这个时候我们是无法进行人为计算的，但通过观察两个指数函数的图形，在确定指数的情况下，我们又能直接看出答案。由此可见，数形结合思想方法在函数中的作用是十分重要的
11、。1.2国内外研究现状1.2.1 国内研究现状现目前，国内对数形结合思想方法的研究不计其数，但研究方向还是主要集中在教育教学和解题中。1964年，我国数学家华罗庚曾在谈谈与蜂房结构有关的数学问题中提到：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休 3。”2006年，王林全在高中新课程必修课教与学 数学中指出：“数形结合思想的关键是代数问题和图像之间的相互转化，使代数问题几何化，几何问题代数化4。” 2018年，吴金华在数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用分析中提到：“数学思想方法是用于数学学习的一种指导思想和普遍使用的方法，是提高个体思维品质和数学能力以及发展智力的
12、关键5。”2019年，范艳曾在数形结合的思想方法与高考数学解题技巧中提到：“这种思想具体指的就是根据隐藏于数和形当中的对应关系，凭借数与形之间的相互转化来妥善处理复杂数学问题的一种宏观理念6。”2005年，莫江文老师和肖春梅老师在数学美在中学数学问题解决中的应用中认为数形结合在解题中的应用能够提升数学思维和数学能力，这一点是毋庸置疑的 7。2012年，于宏坤老师在浅谈数形结合思想方法在解题中的应用指出：“在问题的探究中，以各种类型的例题为出发点，重点探究方程问题，并通过求方程解的个数，比较大小以及求最值来论述数形结合在数学教学中的作用，也突出说明了数形结合的特点，即简单、直观、形象8。”201
13、0年申光娅老师在高中数学教学中数形结合的应用中提到了数形结合能够将复杂的问题简单化，使问题能够明确的呈现出来，而且作者认为通过图形能够解决用代数方法无法解决的问题9。在教育教学中，数形结合思想的运用可将问题分析得更为全面。一般情况下，数形结合思想方法分为三类：以“数”助“形、”以“形”助“数”和“数形”兼顾。以“数”助“形”是利用数据来解决图形问题，在解析几何和空间几何中体现得尤为明显；以“形”助“数”是通过图形来解答代数问题；但有时学生很容易专注于“数”或专注于“形”，从而忽略掉一些重要的突破点，此时我们便需要“数形”兼顾。通过这三种方式，可使得问题简单化，为学生节省作答时间，提高答题效率。
14、此外，学生在将问题化繁为简的过程中，思维也能得到一定的强化。因此，在教学过程中，教师要注意引导学生的思维，帮助他们理解并掌握这个思想。1.2.2 国外研究现状 与国内相比，国外对数学思想研究的兴起时间要更早一些，从古代的欧几里得到近代的高斯、欧拉、黎曼、柯西、希尔伯特、康托等，对数学进行研究的学者不计其数，生成的相关理论也较丰富。因此，研究数形结合思想的文章也有不少1011。在文章内容上，由于数学思想方法几乎是通用的，因此国内与国外的文章也都大同小异；但在研究的出发点上，二者有所不同：国内注重运用数学思想来提升学生的数学能力和解题效率，提高教学质量；而国外的研究者除了将数学思想运用于教育教学中
15、外，他们还注重培养数学研究者，以此来推动数学学科的发展,如日本数学家米山国藏曾指出：“数学的研究精神、数学的发明发现的思想方法、大脑的数学思维训练，对科学工作者是绝对必要的12。” 2 运用数形结合思想方法的意义 数形结合既是一种数学方法，也是一种数学思想，同时还是知识的载体，是解答问题的好“工具”与思维能力。在平日的学习中，知识的全面理解与掌握对学生而言是比较困难的，但思维能力的培养往往比知识的掌握更困难，这要求学生将所学内容与适当的数学思想相结合，从而解决问题，以此积累经验，锻炼思维。2.1 有助于拓展学生解决问题的途径在以往的学习中，笔者发现一个现象：有些同学学习努力，上课认真，笔记也做
16、的有条有理、规规矩矩，也会将不懂的地方整理出来，虚心请教，课后作业偶尔会有些小错误，但总的来说，还是不错，可就在考试的时候，成绩总是不尽人意；另有部分同学，上课时也认真听讲，但总说作业太多，作业完成度较低，有时答题不写过程，就只写个答案在上面，可他们每次考试的成绩都相当不错。针对这一现象，笔者通过观察、思考、分析以及咨询他们对数学学习的方法，发现这一现象的产生与学生是否真正掌握数学思想方法有关。前一类学生虽然上课认真，笔记完整，但他只是明白了老师所讲的那道题，并没有真正地掌握到那道题的思想方法，不懂得如何去分析那个题，一旦老师将题稍做变换，他便又不会作答了；后一类学生虽然平时完成作业的态度不太
17、好，但他听课时确是真正地掌握到了解题方法，在遇到问题时，他知道如何分析那道题，用什么方法，应该从何处下手。从对以上两类学生的分析中，我们不难发现数学思想方法在数学的学习中有着重要作用。作为数学思想方法的一员，数形结合的作用也是不容忽视的，它能拓展我们解决问题的途径，比如数学中的函数问题。函数是在数学中最能体现数形结合思想的板块，好多同学一听到函数就头大，一看到函数题就开始漫长的思考，但又思考不出结果。在此，笔者给出一点小建议，以后遇到函数题，先把相关的函数图形画在草稿纸上，然后再将图形和数量关系联结起来，这样问题便简化了。以下题为例。例1：若0ab1，则下列选项中正确的是（ ）A. aaba
18、B.aaab C.babb D.bb1312，12131212，排除B、C；2) 在 0,1范围内,gx的图像始终在fx图像的上方，因此，当x=13或x=12时，都有axbx，排除D。故正确答案为A。通过这个例题我们可以发现，利用数形结合思想方法解题，可使解题思路清晰、有条理，使解题效率迅速、快捷。2.2 有助于加深对数学知识的理解在学习数学的一些基础知识和基础概念时，如果老师只是单纯的照本宣科，学生往往并不能将知识点完全吸收、理解。就比如在讲解集合问题时，如果题目很简单且限制条件只有1个或2个，那么，老师口头传授并没有太大的问题；但当限制条件较多时，若仍口头传授、讲解，即便讲得十分清楚，学生
19、也会听得迷迷糊糊；相反，如果老师利用数形结合思想方法，通过在直角坐标系中作图，学生根据老师的作图方法、步骤，在坐标系中画出条件所给出的区域范围，答案很快便浮出水面，从而完成解答，同时，在作答过程中，既增强了学生对集合知识的应用能力，又加深了学生对集合知识的理解和印象，让学生的思维在原有水平上得到“升华”。又比如在学习导数概念时，有部分同学不太理解x和y的含义，此时我们便需要利用数形结合。我们先在直角坐标系中随意画一条曲线，然后任意取两个不重合的点，这两个点的横坐标的差和纵坐标的差分别就是x和y了。此外，在学习一些概念时，老师若将其几何意义也进行讲解、分析，那么学生便会更加透彻地理解该概念。由此
20、可见，数形结合思想方法除了运用在解题上，还可以运用在对知识的理解上，让学生从“数”与“形”两个方面去理解和掌握知识，加强知识之间的联系与转化，使得学生的知识结构整体化、系统化，从而构建出一个完整的知识体系。2.3 有助于数学思维能力的培养高中是学生思维发展的黄金阶段，因此，在这个时间段里，教师要注重对学生思维能力的培养。数形结合思想方法能增强学生对图形的想象力，有益于对学生思维能力的发展。2.3.1 有助于形象思维的培养在高中我们已经学习了很多定理，比如：三点共线定理，证明“线面平行”、“面面平行”、“线面垂直”、“面面垂直”的定理。在学习这些定理时，老师往往会让我们先自行思考一番，让我们想想
21、这些定理是否正确，随后再开始对它进行证明。而在思考的过程中，我们的脑海里都会出现相应的点、线、面，然后通过对定理进行书面的理解和整理，再利用数形结合思想将各个点、线、面进行连接、组合，这便是形象思维。又比如我们学习过的向量的基本定理与排列组合中的分类加法计数原理和分步乘法计数原理。在学习这部分知识时，随着老师的引导与讲解，我们的脑海中都会浮现出相应的数学模型。可见，数形结合思想有利于学生想象力的发展和形象思维的培养。此外，还有余弦定理和正弦定理的证明，老师在讲解的过程中，首先证明了直角三角形是满足这两个定理的，然后改变图形，讨论锐角三角形和钝角三角形是否也满足，像这样通过利用图形的变化来进行推
22、导的过程也有利于学生形象思维的培养。2.3.2 有助于逻辑思维的培养在解题过程中，学生有时很容易忽略掉一些信息，导致最终结果不完整或是错误。比如在函数大小比较的问题上，许多同学都喜欢直接赋值计算，但因为这样方便比较大小，但是又往往考虑不全面。比如：当0ab时，比较指数a0.5与指数b0.5的大小。由于我们人有一种惯性思维，喜欢将两个参数同时赋予为小数或整数，虽然这样很容易就得出结论，但答案却是不完整的。又比如说在求解函数最值的时候，有些同学直接将导数所求的极小值点或者极大值点带入原函数中计算，得出答案，但结果有时却是错误的或者不完整的。为什么呢？因为他没有考虑这个极值点是否在未知数的定义域内，
23、以及端点是否可以取得最值。可见，数形结合思想让学生思考问题全面，逻辑清晰、明了。2.3.3 有助于发散思维的培养发散思维又叫求异思维、扩散思维，它是指在面对同一问题时，通过不同的角度和不同的层面对它进行思考，跳出固有的思维模式，灵活解题的思想过程。我们常说的 “触类旁通”、“闻一知十” 、“举一反三”、“问牛知马”等，都是指发散思维。数形结合就是充分利用“数”和“形”，既要从“数”的特征方面去理解“形”，也要从“形”的特征方面去理解“数”，实现“数”与“形”的相互利用，相互转换。所以，数形结合思想也有利于学生发散思维的培养。在我们学习必修2：点、直线、平面的位置关系时，经常有证明“面面垂直”、
24、“线面垂直”，计算二面角的余弦值以及大小等问题。我们除了可以利用向量知识去解答，还可以利用几何知识，通过图形、已知条件以及作辅助线进行解答。由此可见，同一个问题，通过不同的角度进行思考，就会有不同的解决方式和途径，实现一题多解，有利于学生开阔思路，让思维得到有效地发展。3 数形结合思想方法在高中函数中的应用举例函数是高中数学的重点与难点，它贯串于整个高中数学的学习，其重要性可想而知。数形结合思想方法是解决函数问题的重要工具，函数则是数形结合思想方法的良好载体。在本章节中，笔者将介绍数形结合思想在高中函数中的几种常见应用，并举例说明。3.1 利用数形结合思想方法比较函数值的大小例1：已知定义在R
25、上的函数fx满足下列三个条件：(1)对任意 0x1x21,都有fx1fx2；(2)对任意xR，都有fx=fx+2；(3) y=fx+1关于y轴对称。试比较f1.2，f2.6，f3的大小。分析 题目告诉函数fx满足三个条件，由(1)知函数fx在0,1上单调递增；由(2)知函数fx是周期函数，且周期T=2；由(3)知函数关于x=1对称。根据由条件推得出的这三个关系，可以将函数fx的示意图画出，如图3.1所示。图3.1从图像中我们可以得到， f2.6f1.2f3。3.2 利用数形结合思想方法求函数最值和值域例2：求函数y=x-1+6-2x的范围。分析 虽然函数y=x-1+6-2x含有两个根号，但仔细
26、观察，我们可以发现2x-12+6-2x2=4，以及函数定义域为1,3。现令u=x-1 ，则u0,2,令 v=6-2x ，则v0,2。那么2u2+v2=4，即u22+v24=1 u0，v0，它表示椭圆u22+v24=1在第一象限的部分。又由y=u+v可知v=-u+y，其中y表示直线v=-u+y在v轴上的截距，如图3.2所示。图3.2因为u，v满足u22+v24=1 u0，v0，因此，当直线v=-u+y与椭圆部分相切时，y最大。故，联立方程组，再由判别式法可得y=x-1+6-2x的最大值为6；又由图像可知，当直线v=-u+y过点2，0时，y=x-1+6-2x取得最小值2。故函数的范围为2，6。例3
27、：对任意实数a、b，有maxa，b=a，abb，ab，则fx=maxx-1,x+2的最小值是 。分析 由题意可知， fx=maxx-1,x+2是指当x确定时，在函数y=x-1和函数y=x+2中取函数值最大的那一个。现在同一直角坐标系中做出这两个函数的图像，如下图3.3所示： 图3.3从图中我们可以看出，当x=-12时，两个函数相交于一点；当x-12时，函数y=x+2的图形在函数y=x-1的上方。因此，函数f(x)在x=-12时取得最小值，且最小值为32；函数无最大值。3.3 利用数形结合思想方法求有关函数性质的问题例4：已知函数fx=x2-2x，若函数f(x)在区间m,m+1上有最小值g(m)
28、，求g(m)的表达式。分析 由题可知， f(x)是开口朝上的二次函数，故有最小值；又由于函数fx=x2-2x=x-12-1,图像关于x=1对称，因此f(x)在x=1处取得最小值。现要求f(x)在m,m+1上的最小值，需要讨论m,m+1与1的关系，有以下三种情况： 图3.4-1 图3.4-2 图3.4-3 图3.4-1：当对称轴在m,m+1左边时， m+11，即m0，此时f(x)在x=m+1处取得最小值，fm+1=(m+1)2-2(m+1)=m2-1,故gm=m2-1；图3.4-2：当对称轴在m,m+1内时，m1m+1,即0m1，由以上分析知f(x)在x=1处取得最小值，f1=12-2,故gm=
29、-1；图3.4-3：当对称轴在m,m+1右边时，m1，此时f(x)在x=m处取得最小值，fm=m2-2m,故gm=m2-2m.综上所述，gm的表达式为gm=m2-1,m0-1, 0m1m2-2m,m1例5：已知二次函数fx=ax2+bx+c，与x轴分别相交于Ax1,0，B x2,0两点，与y轴相交于点C，且C点与原点的距离为3， x1x20,x1+x2=3,点A和点C均在直线y=3x+t上，求：（1）点C的坐标；（2）若函数f(x)随x的增大而增大，x的范围。分析 （1）关于点C的坐标，题目中有两处重要信息：1)点C在y轴上，由此可知点C的横坐标为0； 2)点C与原点的距离为3，即OC长度为3
30、。由于题目中并未告诉a的正负，因此这里需要对a进行讨论： 当a0时，函数fx的图像开口向上，此时点C坐标为0,-3。 （2）在第（1）问中，C点的坐标已经求出，但只知道C点坐标并不能求出f(x)的解析式。在题目中，有已知点A和点C、点A和点B的关系，因此可以通过C点的坐标将A点、B点的坐标依次算出，从而求出函数fx的解析式，再利用函数图像，问题便解开了。由于在第（1）问中，C点有两个坐标，因此这里也必须分类讨论：a)当C点坐标为0,3时，因为C点在直线y=3x+t上，所以，代入C点坐标可得 t=3，再将t=3代入原直线方程，令y=0，解得 x1=-1，故点A坐标为 -1,0. 又根据条件x1x
31、20,x1+x2=3，可得x2=2。现将-1,0，2,0，0,3带入函数fx，从而得到解析式fx=-32x2-32x+3，将其图像在直角坐标系中表示出来，如图3.5-1所示。图3.5-1由图可知，当x-12时, f(x)随着自变量x的增大而增大。b) 当C点坐标为0,-3时，将C点坐标带入y=3x+t中，得t=-3，再将t=-3代入原直线方程，令y=0，解得x1=1，故点A 坐标为1,0. 根据 条 件x1x2-12时, fx随着自变量x的增大而增大。 3.4 利用数形结合思想方法求零点（根）的个数例6：已知函数fx=log3x-x，问fx在定义域内的零点有多少个？分析 零点是指函数与x轴的交
32、点，本题涉及绝对值、对数，函数图像不能直接画出，但如果将函数fx分为两部分：函数sx= log3x，函数tx=x，那么，函数fx的零点问题便转化为sx与tx两函数图像的交点问题。现将函数sx图像与函数tx图像在同一个直角坐标系中画出，如下图3.6所示：图3.6从图中我们可以清楚地看到，函数sx图像与函数tx图像仅在第三象限有一个交点，现只需确定该点是否在函数fx的定义域中，由于函数fx的定义域为-,00,+,显然该点在定义域范围内。故而函数fx在实数域内只有一个零点。例7：对任意实数a,b有ab0，证明：fx= 2ax2-bx-a+b在0,1内必有一根。分析 由题可知ab0，f00；反之，这些
33、不等式都成立必有方程的根分别介于-1,0和0,1之间。由此，可以等价地求解如下不等式组 1+2k+k0k0化简得k-13k0k1故，-13k0。例9：已知函数fx=x-1, x0-x2-2x+1,x-1。令f(x)=0，则x=0；令f(x)0,解得-1x0；令f(x)1。故函数f(x)在-1,0上单调递增，在1,+上单调递减；因此，函数f(x)在x=0处取得最大值，又f0=0，则在-1,+上， f(x)0。故f(x)在-1,+上有且仅有一个实根，由此说明图4.1-1和图4.1-2)是错误的，正确的图像应如图4.1-3所示:图4.1-3 （2）避免因图像不完整而导致错误。在解函数题时，有些题需要
34、观察整个图像，从整个图像上入手。但有的同学在做题时为了节省时间，只将其中一部分画出，然后得出结论，殊不知部分图像的性质并不意味着是整个图像的性质，从而导致结论错误，得不偿失。 （3）避免“数”、“形”之间不等价的转化。如例11，由于方程中含有对数，因此在“数”转化为“形”的过程中，必须保证定义域为-1,+，否则方程将无意义。又比如分母里的式子，由于分母不能为0，因此，在画图的过程中，应保证分式有意义，否则将导致定义域范围扩大，这样画出来的图像与原代数式是不等价的。再者，当求函数的根的个数问题时，如果出现“数”、“形”之间不等价地转化，就会导致根的个数增多或减少。 综上所述，虽然数形结合思想方法
35、为函数提供了直观的“形”，但“形”的直观性往往也会导致我们解题失误。因此，在利用数形结合思想方法解题时，必须注意图的精确性、完整性以及等价性，不被假性的“形”所迷惑，这样的“形”才能更好地为“数”服务。4.2 利用数形结合思想方法需遵循的原则（1）等价性原则从上节内容中我们知道，“数”与“形”在转化过程中必须是等价的，因为有时候由于图像的局限性，代数的部分性质不能完好地表现出来。例2：求函数f(x)=x13-2sinx的根的个数。错解 令函数f(x)=0则x13=2sinx，又令g(x)= x13， h(x)=2sinx，现将这两个函数的图像作于同一直角坐标系中，如图4.2-1所示。因为g(x
36、)与h(x)均为奇函数，且当x=8时，gx=2，hx=2sin82，故只需作出0,3的部分。图4.2-1由图可知，除原点外，g(x)图像与h(x)图像有3个交点,又由于g(x)与h(x)是奇函数，故g(x)图像与h(x)图像共交于7个点。错误分析：作图不精确导致错误。正解 在0,2上取一点x=18，则gx=12，hx=2sin18。由于sinxx，所以hx218=1412。因此，在0,2内，g(x)的图像有部分h(x)的上方，故g(x)与h(x)在0,2内还有一个交点。综上分析，g(x)图像与h(x)图像共交于9个点 。如图4.2-2所示：图4.2-2（2）简单性原则 我们在用数形结合思想方法
37、解函数题时，不要为了“数形结合”而数形结合，要考虑题中条件是否有利于用这类方法。此外，在用这类方法时一定要找好解题的突破口，恰当地设参数、建立关系、做转化，同时还要挖掘出题中所隐藏的条件，准确确定参数的取值范围。在转化时，要尽可能的转化为我们熟悉或学过的简单的函数或图像，比如直线、二次函数等，化繁为简，避免繁琐冗长的运算。（3）双向性原则 双向性原则是指在利用数形结合思想方法解题时，要从“数”和“形”两个层面进行思考，既要对“数”进行抽象地探究，又要对“形”进行直观地分析，既要通过“数”之间的关系去理解“形”，又要通过“形”的结构特点去理解“数”，即“数形”兼顾。4.3数形结合思想方法的局限性
38、用数形结合思想方法解题，能化抽象为形象，帮助我们找到解题思路；能化繁为简，帮助我们省去不必要的推理和计算。但世间万物都有其弊端，数形结合思想方法也有其局限性：(1) 在初学数形结合思想方法时，老师常使用一些简单的函数或几何意义十分明显的题目来讲解数形结合，这使得部分同学认为所有题都可利用数形结合思想方法求解，认为它是万能的，从而产生思维定式，在一些题目中生搬硬套，为了“数形结合”而数形结合。事实上，许多函数靠我们自己手画是不容易画不出来的，特别是一些复合函数，比如:fx=xsinx，gx=xcosx，如下图4.3-1和图4.3-2所示。图4.3-1 图4.3-2从图像中我们可以看出，随着x的取
39、值的不同，函数值的变化是相当大的，凭借我们现有的手工作图技巧是不可能将其画出来的，只能借助画图软件作图，像这种时候，数形结合思想方法便不再适用。（2）在利用数形结合思想方法解题时，要求图像要足够完整、精确，如果图像不够精确、完整，就很容易导致解答错误，特别是求根的个数问题和交点问题时，有些图形不易画出来，因此在转化图形时，一定要保证图形的准确性，以免产生错误。总 结本文是在研究了相关文献的基础上，再结合自己实习与从事的相关教育兼职以及前人已完成的成果而创作的，主要介绍了数形结合思想方法的作用意义、原则和在高中函数的应用。数形结合思想方法是高中数学重要的思想方法之一，“数”与“形”的相互转化，不
40、仅为我们提供了便利，也有利于我们思维的成长。当然，数形结合思想方法也不是只适用于函数内容，它也常应用于集合（如韦恩图）、不等式（如线性规划）和空间几何（如求二面角）等方面，应用十分广泛。可见，同一个数学思想方法可能适用于很多不同的数学知识，但同一个数学知识也可能包含着许多不同的思想方法，因此，数形结合思想方法与其它数学思想是紧密联系着的，不能将其与其它数学思想分离。在本文中，笔者主要通过具体例题（如最值问题、参数问题、比较大小等）来介绍数形结合思想方法在高中函数中的常见的应用。函数是众多高中生的“眼中钉”、“肉中刺”，许多学生因为函数问题而失去信心，从而厌恶数学，对数学失去兴趣。而数形结合正是解决函数问题的有效手段，熟练运用一些常见的曲线特征、概念的几何意义，灵活地转化“数”与“形”，能提升学生的思维能力，为学生提供解决问题的渠道，加速学