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1、 学科网（北京）股份有限公司 南平市南平市 2024 届高三第三次质量检测届高三第三次质量检测 数学试题数学试题（考试时间：（考试时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分）分）注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1.若复数z满足()i2iizz+=，则z=（）A
3、.1 B.2 C.3 D.2 2.已知,a bR，则“22loglogab”是“1122ab”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知向量a，b满足4a=，2b=，,150a b=，则a在b上的投影向量为（）A.b B.3b C.b D.3b 4.对任意非零实数，当x充分小时，()11xx+.如：11154 12 1212.25424=+=+=，用这个方法计算37的近似值为（）A.1.906 B.1.908 C.1.917 D.1.919 5.已知1tan62+=，则2cos 23=（）A.35 B.34 C.45 D.45 6.关于t的实
4、系数二次不等式()210tbta+在区间,6 3上单调递增，且在区间()0,2上恰有两个极值点，则的 学科网（北京）股份有限公司 取值范围是_.14.在正四棱台1111ABCDABC D中，2AB=，111AB=，且该正四棱台的每个顶点均在表面积为8的球O上，则平面11BCC B截球O所得截面的面积为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分 13 分）已知函数()31ln222f xax xxx=+，且()f x图象在1x=处的切线斜率为 0.（1）求a的值；
5、（2）令()()g xfx=，求()g x的最小值.16.（本小题满分 15 分）建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏 10 个，其中5 个由工匠甲烧制，3 个由工匠乙烧制，2 个由工匠丙烧制，甲、乙、丙三人烧制建盏的成品率依次为0.2，0.1，0.3.（1）从这 10 个建盋中任取 1 个，求取出的建或是成品的概率；（2）每件建蓋成品的收入为 1000 元，每件废品的收入为 0 元.乙烧制的这 3 件建盋的总收入为X元，求X的分布列及数学期望.17.（本小
6、题满分 15 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABCD，ABBCADCD=），则称数列 nc是S关于m的一个积对称数列.已知数列 na是S关于m的一个积对称数列.（1）若3m=，11a=，22a=，求3a的值；（2）已知数列 nb是公差为()0d d 的等差数列，111b=，若10m=，2nnnbab+=，求d和S的值；（3）若数列 na是各项均为正整数的单调递增数列，求证：12112153mmmmaaaaSaaaa+.学科网（北京）股份有限公司 南平市南平市 2024 届高中毕业班第三次质量检测届高中毕业班第三次质量检测 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 一、
7、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1.A 2.A 3.D 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。在每小题分。在每小题给出的四个选项中，有多项给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9.BC 10.ACD 11.A
8、BD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12.4 13.3544，求导得()233111xgxxxx=，当01x时，()0gx时，()0gx，则函数()g x在()0,1上递减，在()1,+上递增，()()min10g xg=.16.（本小题满分 15 分）【解析】（1）设事件B为“取得的建盏是成品”，事件1A，2A，3A分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”.则()151102P A=，()230.310P A=，()321105P A=.又()10.2P B A=，()20.2P B A=，()30.3P B A=，学科
9、网（北京）股份有限公司 所以()()()()()()()112233P BP A P B AP AP B AP AP B A=+0.5 0.20.3 0.1 0.2 0.30.19=+=（2）设这 3 件中成品的件数为Y.由题可知13,10YB.因为1000XY=，X的可能取值为 0，1000，2000，3000 所以()()03031972900C10101000P XP Y=，()()12131924310001C10101000P XP Y=，()()2123192720002C10101000P XP Y=，()()303319130003C10101000P XP Y=，所以X的分布
10、列为 X 0 1000 2000 3000 P 7291000 2431000 271000 11000 所以()72924327101000200030003001000100010001000E X=+=元.17.（本小题满分 15 分）【解法一】（1）因ABBCAD=，ABCD，23ABC=，所以6CAB=，2362CAD=，即ADAC 又PA 平面ABCD，所以PAAD 因ACPAA=所以AD 平面PAC（2）设1AD=，如图所示，建立空间直角坐标系Axyz.学科网（北京）股份有限公司 令CMDNCDDP=，()0,1，设()111,M x y z，()222,N xyz 则有CMCD
11、=，DNDP=即()()1113,3,1,0 xy z=，解得()()3 1,0M 同理可得()0,1,3N 设平面AMN的法向量为(),nx y z=，由()()3 10,130,n AMxyn ANyz=+=+=令1x=，则()31y=，()221z=.得平面AMN的一个法向量为()()223111,n=又由（1）可知()0,1,0AD=是平面APC的一个法向量，则有()()()()()()24242224224313cos3113111111nDnAAD=+()()22223315523131=+当且仅当211=，即12=时取“=”学科网（北京）股份有限公司 又0,2，所以cos的最大值
12、15cos5=【解法二】（1）同解法一（2）不妨设1AD=，由AC，AD，AP两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则根据题意可得：()()13,1,0AMACAD=+=()()10,33ANADAP=+=()0,1 设平面AMN的一个法向量为(),nx y z=，()()3103 10n AMxyn ANyz=+=+=取1x=，31y=，()221z=于是()2231,11n=，()()()422224313315cos523113131=+当且仅当211=，即12=时取“=”又0,2，所以cos的最大值15cos5=.18.（本小题满分 17 分）学科网（北京）股份有限公司【解
13、法一】（1）设(),P x y，则()111PAykxx=+，()211PAykxx=由已知，有()4111yyxxx=+，故C的方程为()22114yxx=（2）设()11,M x y，()22,N xy 若直线l的斜率为 0，则直线1MA与2NA的交点在y轴上，与已知矛盾，故设直线l的方程为：()1xmyn n=+=由2244xmynxy=+=得，()222418440mymnyn+=，()2216 410mn=+，则122841mnyym+=，21224441nyym=由点S在直线12x=上，设1,2St，则121312A Mtkt=+，22112A Mtkt=所以213A MA Mkk
14、=，又124A NA Nkk=，则()1134A NA Mkk=，即1143A NA Mkk=，21214113yyxx=+，()()12213411y ymynmyn=+，()()()()221212434410my ymnmyyn+=，()()()222224484344104141nmnmmnmnmm+=，220nn=，所以1n=（舍去），或2n=，所以l的方程为2xmy=+，过定点()2,0【解法二】（1）同解法一；（2）设()11,M x y，()22,N xy，学科网（北京）股份有限公司 若直线l的斜率为 0，则直线1MA与2NA的交点在y轴上，与已知矛盾，故设直线l的方程为：()
15、1xmyn n=+=由2244xmynxy=+=得，()222418440mymnyn+=，()2216 410mn=+，则122841mnyym+=，21224441nyym=，所以()()2121212nyymnyy+=，即()()2121212nyymy yn+=，又直线1MA的方程为()1111yyxx=+，直线2NA的方程为()2211yyxx=，联立直线1MA与直线2NA的方程，可得()()12121111yyxxxx+=+，又点S在直线12x=上，故()()2112131yxyx+=，所以()()()()()()21211121212121111111yxymynmy ynyyx
16、ymynmy yny+=+()()()()()()()()()()21212222121211111122111122nyynyynyynnnnyynnyyynynn+=+()()()()2121111131111nynynnnnynyn+=+，故2n=，直线l的方程为2xmy=+，过定点()2,0 19.（本小题满分 17 分）【解法一】（1）依题意224Sa a=，所以314Saa=（2）由10m=知对任意i都有11iia aS=学科网（北京）股份有限公司 即()()()()112131111112110iiiibidbi dbbSbbbidbi d+=+，所以()()2221122211
17、12 111310 119biidbdSbiidbd+=+，所以()2 22222 2222111111121311109d id idbbdSd id idbbd+=+所以()22222222111111111213109dd Sdd SdbbdSdbbd=+=+因0d，111b=所以2112240Sdbd=+=即12Sd=（3）由已知1ma aS=，21ma aS=，1imia aS+=，所以()1222111,31211m iiiaSSSSim maaiiii+=+所以112222121111123mmmaaaSaaam+111 11111111142 24354611Smm+111 1
18、111111 115142 231142 233SSSmm+=+即12112153mmmmaaaaSaaaa+【解法二】（1）同解法一；（2）当1,2i=时由1 1029Sa aa a=得31241111029bbbbSbbbb=所以1111111121131098bdbdbdbdbbdbdbd+=+.()()()()22222221111111110161211122710bbddbbddbbddbbd+=+学科网（北京）股份有限公司 令21110pbbd=+，22111211qbbdd=+则()()221616pdqqdp+=+，因0d，111b=所以pq=，2221111101211bbdbbdd+=+即2d=，1S=当110i 时都有()()()()21311111121112 121121112 10iiiiiiiibba abbii+=+92132113292iiSii+=+所以2d=，1S=成立.（3）同解法一.