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1、学科网（北京）股份有限公司安徽省合肥市部分学校安徽省合肥市部分学校 2024 届高三下学期高考适应性考试数学试题届高三下学期高考适应性考试数学试题考生注意：考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。2答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题
2、共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合24,1,0,1,2,3AxxB=-N ，则AB=A1,2B0,1,2C 2,1,0,1,2,3-D 1,0,1,2-2已知(i3)2zz-=+，则z=A42i99+B42i99-C42i99-+D42i99-3已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为 8 的半圆，则该圆锥的体积为A48pB16pC64 3pD64 33p4为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数
3、据分析，发现本次言语表达测试成绩服从(70,64)N，据此估计测试成绩不小于 94 的学生所占的百分比为参考数据：()0.6827,(22)0.9545,(3PXPXPXmsmsmsmsms-+-+-的右焦点为F，圆222:O xya+=与C的渐近线在第二象限的交点为P，若tan2FPO=，则C的离心率为学科网（北京）股份有限公司A2B2C3D38如图，正四面体 ABCD 的棱长为2,AEDV是以E为直角顶点的等腰直角三角形现以 AD 为轴，点E绕 AD 旋转一周，当三棱锥EBCD-的体积最小时，直线 CE 与平面 BCD 所成角为a，则2sina=A23B13C226-D2212-二、选择题
4、：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9已知12,x x是函数()2sin(0)6f xxpww=-的两个零点，且12xx-的最小值是2p，则A()f x在0,3p上单调递增B()f x的图象关于直线6xp=-对称C()f x的图象可由()2sin2g xx=的图象向右平移6p个单位长度得到D()f x在,2pp上仅有 1 个零点10已知实数 a，b
5、 满足01ab，则A11bbaa-CbaabD112222loglogabab-的两个焦点分别为12,F F，则下列说法正确的是A过点2F的直线与椭圆C交于 A，B 两点，则1ABFV的周长为 8B若C上存在点P，使得120PF PF=uuur uuuu rg，则m的取值范围为(0,22 2,)+C若直线10kxy-+=与C恒有公共点，则m的取值范围为1,)+学科网（北京）股份有限公司D若1,mP=为C上一点，(1,0)Q-，则PQ的最小值为63三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12已知20,tantan243ppqqq+=-，
6、则tan2q=_.13ABCV中，若3BA BCCA CBAC AB=uuu r uuu ruuu r uuu ruuur uuu rggg，则|ABBC=uuu ruuu r_.14若对(2,),e2ln(2)xxaaaxa+-恒成立，则实数a的取值范围为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（本小题满分 13 分）设数列 na的前n项和为nS，已知16,2nSan=+是公差为 2 的等差数列（1）求 na的通项公式；（2）若14nnnba a+=，设数列 nb的前n项
7、和nT，求证：11156nT 时，函数()f x在区间0,2p内有唯一的极值点1x求实数a的取值范围；求证：()f x在区间(0,)p内有唯一的零点0 x，且012xx-，故 A 错误；对于B,(1)0abababa+-=+-，则abab+，故 B 正确；对于C，令2ln1 ln(),()xxf xfxxx-=，当0ex单调递增，因为01ab，则()()f af b，得lnlnabab，即lnln,lnlnbabaabab，所以baab，故 C 正确；对于 D，函数()2xg x=-12log x在R上单调递增，因为01ab，则()()g ag b，即11222log2logabab-，所以1
8、222logaba-12log b-，故 D 正确故选 BCD11BD对于A，由椭圆定义可得1ABFV的周长为121122|AFBFABAFBFAFBF+=+4a=，但焦点不一定在x轴上，故A错误；对于B，若120PF PF=uuur uuuu rg，则12PFPF，当P位于短轴顶点时，12FPF最大，此时1tantan451OPF=，即1cb当02m时，由241mm-，解得02m时，由2412m-，解得2 2m，故 B 正确；对于 C，直线10kxy-+=过定点(0,1)，所以211m，即21m，又24m，所以m的取值范围为1,2)(2,)+，故 C 错误；对于D，设(2cos,sin)Pq
9、q，所以|PQ=22222(2cos1)sin3 cos33qqq+=+，当2cos3q=-时，min6|3PQ=，故 D 正确故选 BD学科网（北京）股份有限公司1234-由2tantan43pqq+=-，得tan12tan1tan3qqq+=-，整理得22tan5tan30qq-=，解得1tan2q=-（舍）或tan3q=，所以222tan2 33tan21tan1 34qqq=-1363由BA BCCA CB=uuu r uuu ruuu r uuu rgg得()0BC BACA+=uuu r uuu ruuu rg，即22()()0,0BAACBAACBAAC+-=-=uuu ruuu
10、ruuu ruuuruuu ruuurg，所以|BACA=uuu ruuu r由3BA BCAC AB=uuu r uuu ruuur uuu rgg得(3)0BA BCAC+=uuu r uuu ruuurg，即13044BACBCA+=uuu ruuu ruuu rg设D为线段AB 上靠近A的四等分点，则CDAB设ADt=，则3,4BDt ACt=，所以15,2 6CDt BCt=，所以|463|2 6ABtBCt=uuu ruuu r1430,ee2ln(2)xaaaxa+-可变形为eln(2)2xaaxaa-，即22elnexaxaa-，所以2eex222lneeaaxa-，即2222
11、elneexaaxa-，由2x，得2222(2)e(2)lneexaaxaxx-，即2(2)exx-ln2222lneeaxaaxe-g构造函数()exf xx=，则()(1)exfxx=+，且原不等式等价于(2)f x-22lneaxaf-，当22ln0eaxa-，解得e2xax-令e()2xg xx=-，则2(3)e()(2)xxg xx-=-，所以()g x在(2,3)上单调递减，在(3,)+上单调递增，从而3x=是()g x的极小值，也是()g x的最小值，且3(3)eg=，于是30ea+，所以1116466nTn=-+，所以11156nT=，5 分依据0.05a=的独立性检验，我们有
12、充分的理由认为0H不成立，即高中生游泳水平与性别有关7 分（2）依题意，X的所有可能取值为 0，1，2，3，2211(0)11,3218P X=-=212221215(1)C111,3323218P X=-+-=2122212184(2)C11,33232189P X=-+-=2212(3)329P X=,所以X的分布列为：X0123P118518492912 分学科网（北京）股份有限公司数学期望154211()01231818996E X=+=15 分17解：（1）作PEAC，垂足为E，连接 EH，如图所示：由点P在平面 ABC 的射影H落在边 AB 上可得PH 平面 ABC，又AC 平面
13、ABC，所以,PHAC2 分因为PHPEE=，且,PH PE 平面 PHE，所以AC 平面 PHE，3 分又EH 平面 PHE，所以ACEH，又因为 ABCD 为矩形，ABBC，可得ABCAEHVV4 分由4,2ABBC=，可得2,4,2 5APPCAC=，所以224 52 5,55AP PCPEAEAPPEAC=-=g6 分由ABCAEHV:V可得AEABAHAC=，则2 52 5514AE ACAHAB=g，即 AH 的长度为 1.7 分（2）根据题意，以点 H 为坐标原点，以过点H且平行于 BC 的直线为y轴，分别以 HB，HP 所在直线为x，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(1,
14、0,0),(0,0,3),(3,0,0),(3,2,0)APBC-，设,0,1CMCPll=uuuu ruuu r，所以(3,2,3)(3,2,3)CMllll=-=-uuuu r，所以(33,22,3).Mlll-9 分易知(4,0,0),(3,22,3),(3,0,3),(0,2,0)ABMBPBBClll=-=-=uuu ruuuruuu ruuu r，设平面 AMB 的一个法向量为111,mx y z=，则学科网（北京）股份有限公司由111140,3(22)30,AB mxMB mxyzlll=+-=uuu rguuurg取13yl=，则(0,3,22),mll=-10 分设平面 PB
15、C 的一个法向量为222,nxyz=，则由222330,20,PB nxzBC ny=-=uuu rguuu rg取21x=,则(1,0,3)n=,11 分由2|2 3|1|3|cos,|42784m nm nm nlll-=-+g,整理可得23840ll-+=,解得2l=（舍）或23l=，13 分因此23CMCP=uuuu ruuu r，即28|33CMCP=uuuu ruuu r所以存在点M，使得平面 AMB 与平面 PBC 夹角的余弦值为34，此时 CM 的长度为8315 分18解：（1）因为点P到定点(0,1)F的距离比到定直线2024y=-的距离小 2023，所以点P到定点(0,1)
16、F的距离与到定直线1y=-的距离相等，由抛物线的定义可知，点P的轨迹是以定点(0,1)F为焦点，定直线1y=-为准线的抛物线，所以1C的方程为24xy=4 分（2）设1122,M x yN xy，联立21,4ykxxy=+=消去y得22440,16160 xkxk-=D=+，则12124,4xxk x x+=-，所以2122121212242,116x xyyk xxky y+=+=+=，所以22,21Tkk+，则(2,1)Ak-6 分因为/ABMN，所以直线 AB 的方程为1(2)yk xk+=-，即221ykxk=-，联立2221,1ykxkyx=-=-消去y得2220 xkxk+-=，解
17、得2xk=-或xk=，又 A，B 位于y轴两侧，故22,41Bkk-7 分学科网（北京）股份有限公司设点00,xy在抛物线1C上，又由24xy=，得0012x xyx=，则1C在点00,xy处的切线方程为00012yyxxx-=-，整理得00220 x xyy-=，8 分设3344,P xyQ xy，则1C在33,P xy与44,Q xy处的切线方程分别为33220 x xyy-=与44220 x xyy-=，又两条切线都过点B，则2334(2)24120,(2)xkkyxk-=-2424120ky-=，则直线 PQ 的方程为2(2)24120k xky-=，即2410kxyk+-=，10 分
18、又22,21Tkk+，点T的坐标适合方程2410kxyk+-=，所以点T在直线 PQ 上由T是线段 MN 的中点，得21|4TMTNMN=，而2221212|1441MNkxxx xk=+-=+，则22|41TMTNk=+12 分联立22410,4kxykxy+-=消去y得22241640,80160 xkxkk+-=D=+，则234344,164,xxk x xk+=-=-13 分 223344|2,212,21TP TQTP TQxk ykxk yk=-=-uur uuu rgg223434222121xkxkykyk=-学科网（北京）股份有限公司2234342222xkxkkkxkkx=
19、-2222343412141kx xkkxxkk=-+-+223434124kx xk xxk=-+-+2222211642(4)441.kkkkkk=-+-+=+g16 分所以|1|TMTNTP TQ=17 分19（1）解：当3a=时，()3esin3xf xx=-，则()3ecosxfxx=-，1 分所以(0)0,(0)2ff=，2 分故曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程为20 xy-=3 分（2）解：函数()esin,()ecosxxf xaxa fxax=-=-，（）当1,0,2axp时，e1,cos(0,1)xax，所以()0fx，则()yf x=在0,2p上单调递增，
20、没有极值点，不合题意；5 分（）当01a在0,2p上恒成立，所以()xj在0,2p上单调递增，即()fx在0,2p上单调递增，6 分又2(0)10,e02fafapp=-，所以()fx在0,2p上有唯一零点1x，当10,xx时，()0fx，函数()f x单调递增，所以函数()yf x=在区间0,2p内有唯一极值点，符合题意综上，a的取值范围是(0,1)8 分证明：由知01a，学科网（北京）股份有限公司当10,xx时，()0fx，函数()f x单调递增，所以10,xx时，()(0)0f xf=，则 10,f x，所以()f x在1,xp上有唯一零点0 x，即()f x在(0,)p上有唯一零点0
21、x10 分由知 10fx=，所以11ecosxax=，则1112111111cos2esin2e cos2sincosexxxxfxaxaxxx=-=-111111e2sincos,0,e2xxxx xp=-12 分设()e2sine,0,2xxh xxxp-=-，则()e2cosexxh xx-=-+，因为ee2,2cos2xxx-+，()h x在0,2p上单调递增，又(0)0h=，所以()0h x，15 分又0,2xp时，1cos0 x，所以1111112cose2sin0exxfxxx=-，所以1020fxf x=由前面讨论知11102,()xxxxf xpp在1,xp单调递增，所以012,xx17 分