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1、#QQABZYQAggAgAoAAARgCQQlSCgOQkAGAACoGQEAAoAAASANABCA=#QQABZYQAggAgAoAAARgCQQlSCgOQkAGAACoGQEAAoAAASANABCA=#QQABZYQAggAgAoAAARgCQQlSCgOQkAGAACoGQEAAoAAASANABCA=#QQABZYQAggAgAoAAARgCQQlSCgOQkAGAACoGQEAAoAAASANABCA=#高三数学试卷 第 1页（共 7 页）南京市南京市 2024 届高三年级第届高三年级第二二次模拟考试次模拟考试数学参考答案数学参考答案2024.05一、选择题：本题共 8 小题
2、，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1C2B3A4C5D6C7B8B二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得 0 分9BCD10AC11ABD三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分122137143 22四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本小题满分 13 分)解：(1)因为销售额不少于 60 万元的超市共有 3 家，所以 X 的可能取值为 1，2，3P(X1)C22
3、C13C35310，P(X2)C12C23C3535，P(X3)C33C35110，3 分所以分布列如下：X123P31035110所以 E(X)13102353110956 分(2)x15(24568)5，y15(3040606070)52，7 分5i1xiyi2304405606608701440，5i1xi22242526282145 8 分所以b144055521455527，10 分a525717，所以 y 关于 x 的经验回归方程为y7x1711 分当 x10 时，y7101787答：预测广告支出 10 万元时的销售额为 87 万元13 分16(本小题满分 15 分)解：(1)当
4、a0，f(x)x2ex，f(x)2xx2ex，所以 f(1)1e，f(1)1e 3 分所以曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 y1e1e(x1)，即 yxe5 分(2)f(x)x2(a2)x2aex(x2)(xa)ex 7 分高三数学试卷 第 2页（共 7 页）若 0a2，在0，a上，f(x)0，f(x)单调递减，所以 f(x)minf(a)aea1e10 分考虑 g(a)aea，aR，则 g(a)1aea在(，1)上，g(a)0，g(a)递增；在(1，)上，g(a)0，g(a)递减；所以 g(a)的极大值为 g(1)1e所以由aea1e，可得 a112 分另法：即 eaea0设
5、g(a)eaea，a(0，2，则 g(a)eae当 a(0，1)时，g(a)0，g(a)单调递减；当 a(1，2)时，g(a)0，g(a)单调递增；所以 g(a)ming(1)0又因为 g(a)0，所以 a1 12 分若 a2，在(0，2)上，f(x)0，f(x)单调递减；在(2，a)上，f(x)0，f(x)单调递增所以 f(x)minf(2)4ae21e，解得 a4e，与 a2 矛盾，故舍去15 分综上：a 的值为 117(本小题满分 15 分)(1)证明：因为 CD平面 ADE，EF平面 ADE，所以 CDEF2 分因为 CD平面 ABFE，EF平面 ABFE，所以 CD平面 ABFE 4
6、 分又 CD平面 ABCD，平面 ABCD平面 ABFEAB，所以 ABCD6 分(2)解：因为 CD平面 ADE，ADE90，故以DA，DC，DE为正交基底，建立空间直角坐标系 Dxyz作 DGAE 于 G因为 EF平面 ADE，所以 EFDG又 AEEFE，AE，EF平面 ABFE，所以 DG平面 ABFE所以 DG 即为点 D 到平面 ABFE 的距离，所以 DG22又 AD1，DGAE，所以DAE45，又ADE90，所以 DE1 8 分设 DCa(a0)，则 C(0，a，0)，B(1，2，0)，F(0，1，1)，所以BF(1，1，1)，BC(1，a2，0)因为CBF90，所以BFBC1
7、a20，解得 a3，所以BC(1，1，0)10 分另法，设 DCx，过 F 往 AB，CD 作高，过 B 往 CD 作高，则 BF23，BC2(x2)21，CF2(x1)21，因为CBF90，所以 BF2BC2CF2，即 3(x2)21(x1)21，解得 DCx3设平面 BCF 的法向量为 n(x，y，z)，则nBC0，nBF0，即xy0，xyz0，可取 n(1，1，2)12 分因为 DG平面 ABFE，所以DG(12，0，12)为平面 ABFE 的一个法向量ABCDEFxzyG高三数学试卷 第 3页（共 7 页）所以 cosn，DG120162232 14 分故二面角 ABFC 的大小为 1
8、50 15 分18(本小题满分 17 分)解：(1)设双曲线 E 的焦距为 2c因为抛物线 C 与双曲线 E 有公共的焦点 F，所以p2c 1 分又 p4b，所以 c2b又 a2b2c2，所以 a 3b3 分因此 E 的渐近线的方程为 y33x5 分(2)设 l：xmyc，m23，P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立xmyc，x23y20，消元x并整理得(m23)y22mcyc20所以 y1y22mcm23，y1y2c2m237 分于是1OP1OQ12|y1|12|y2|12|y1y2|y1y2|124m2c24(m23)c2c23c9 分另法 1：联立xmyc，y33x，解得 y1，2c
9、3m，所以1OP1OQ12|y1|12|y2|3m|3m|2c|3m(3m)|2c3c另法 2：因为 OF 平分POQ，且渐近线与 x 轴所夹的角为 30，由等面积法可得12OFOPsin3012OFOQsin3012OPOQsin60，即 c(OPOQ)2OPOQcos30，所以1OP1OQ3c联立xmyp2，y22px，消元 x 并整理得 y22pmyp20，设 A(x3，y3)，B(x4，y4)，所以 y3y42pm，y3y4p211 分所以|1AF1BF|11m2|y3|11m2|y4|11m2|y3|y4|y3|y4|11m2|y3y4|y3y4|11m2|2pm|p22pm2m21
10、14 分另法：设 AF 的倾斜角为，则 tan1m，|cos|m2m21 易证 AFp1cos，则 BFp1cos，所以|1AF1BF|2p|cos|2pm2m21yx高三数学试卷 第 4页（共 7 页）因为(1OP1OQ)|1AF1BF|，且 p2c，所以3c2pm2m21，即 3m2m21因为 m23，所以 30，32)，因此0，12)17 分19(本小题满分 17 分)解：(1)由题意得 S10，S21，S30，S41因为 S1a1S2，S3a1S4，所以满足 Sma1Sm1的 m 至少有 2 个，不合题意，所以an不为“X 数列”4 分(2)因为 Sn2n，所以 a1S12，anSnS
11、n12n1，n2 6 分令 SmanSm1当 n1 时，2m22m1，解得 m1，所以 b1S2a12 7 分当 n2 时，2m2n12m1，解得 n2mn1，因此 mn1，bnSnan2n1所以，对每一个 nN*，有且仅有一个 mN*，使得 SmanSm1，故an为“X 数列”10 分其“余项数列”的通项为 bn2，n1，2n1，n211 分(3)因为an为正项数列，所以Sn单调递增易得 S1a1S2，所以 b1S2a1a2因为 a2S2，且an为“X 数列”，所以必有 a1S1a2S2，因此 b2S2a2a1因为“余项数列”bn为等差数列，所以其公差 db2b1a1a20易知 bn0，若 d0，则当 n1a2d时，bna2(n1)d0，与 bn0 矛盾，所以 d0，因此 a1a2，bna114 分所以 bnSm1ana1，即 Sm1ana10对于 n3，若 m1n，则 a2Sm1ana10，与正项数列an矛盾，所以 m1n1 15 分由正项数列an可知Sn递增，所以 SnSn1a1ana1Sm1Sn1，所以 Sna12(Sn1a1)，所以Sna12nSn1a12n1S2a14a24a14，所以 Sn(12n2)a1(n3)16 分又 S1a1(211)a1，S22a1(201)a1，所以 Sn(12n2)a1，nN*17 分