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1、 学科网（北京）股份有限公司 福建省漳州市福建省漳州市 2024 届高三毕业班第四次教学质量检测届高三毕业班第四次教学质量检测 数学试题数学试题 本试卷共本试卷共 4 页页.满分满分 150 分分.考生注意：考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷答题前，考生务必在试题卷答题卡规定的地方填写自己的准考证号答题卡规定的地方填写自己的准考证号姓名姓名.考生要认真核对考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的答题卡上粘贴的条形码的“准考证号准考证号姓姓名名”与考生本人准考证号与考生本人准考证号姓名是否一致姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选
2、出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本写在本试卷上无效试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一一单项选择题单项选择题：本大题共：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.1.一组数据如下：3,7,9,10,13,15,1
3、9,21，该组数据的75%分位数是（）A.15 B.17 C.19 D.20 2.已知复数1 i1 iz=+，则20242025zz=（）A.2 B.2 C.1 D.0 3.二项式6(1 2)x展开式中，2x项的系数为（）A.-60 B.-15 C.15 D.60 4.设0,0ab，且21ab+=，则22loglogab+的（）A.最小值为-3 B.最小值为 3 C.最大值为-3 D.最大值为 3 5.已知函数()()ln,f xxx g x=+是函数()21fx+的导函数，则()0g=（）A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知数列 na是公比不为 1 的正项等比数列，则2t=是1109ta
4、 aa a=成立的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知函数()()1(0,1)xf xaab aa=+，则函数()f x的单调性（）A.与a无关，且与b无关 B.与a无关，且与b有关 C.与a有关，且与b无关 D.与a有关，且与b有关 学科网（北京）股份有限公司 8.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=左右焦点分别为12,F F，过1F的直线与C的渐近线:bl yxa=及右支分别交于,A B两点，若112,0F AAB FB F B=，则C的离心率为（）A.32 B.2 C.5 D.3 二二多项选择题多项选择题：本大题共：本大
5、题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求多个选项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.已知函数()cos2sin2f xxax=+，则下列说法正确的是（）A.当0a=时，()f x的最小正周期为 B.当1a=时，()f x的最大值为78 C.当3a=时，()f x在区间0,2上有 4 个零点 D.若()f x在0,3上单调递减，则a的取值范围为)0,+10.如图，四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，
6、且12PAABADCD=，AB,90CDADC=，平面PAD与平面PBC交线为l，则下列直线中与l垂直的是（）A.PB B.CD C.PC D.PD 11.我们把方程e1xx=的实数解称为欧米加常数，记为.和e一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（）A.()0.5,1 B.1ln=C.uuu=，其中1eu=D.函数()1eln1xx xf xx+=+的最小值为()f 三三填空填空题：本大题共题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.学科网（北京）股份有限公司 12.写出过点()2,1P 且与抛物线24yx=有唯一公共点的一
7、条直线方程_.13.已知向量()1,1,4ab=，且b在a上的投影向量的坐标为()2,2，则a与b的夹角为_.14.在矩形ABCD中，2,1,ABADP=为DC的中点，将DAP沿AP折起，把DAP折成SAP，使平面SAP 平面ABCP，则三棱锥SABP的外接球表面积为_.四四解答题解答题：本大题共：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（13 分)记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知,2 33Bb=.（1）若,a b c成等差数列，求ABC的面积；（2）若3sinsin12ACb=，求a.
8、16.（15 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，平面PAB 平面ABCD，AB,CD ABADPAB是等边三角形，M为侧棱PB的中点，且2ADDC=，4AB=.（1）证明：CM平面PAD；（2）G是线段PD上异于端点的一点，从条件条件中选择一个作为已知，求平面GMC与平面PAB所成角的余弦值.条件：四棱锥GABCD的体积为3；条件：点G到平面PAB的距离为32.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.（15 分)已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的离心率为12，点()331,1,1,222ABC中恰有两个点在E上.（1）求E的方程；学科网（北京）股份有
9、限公司（2）设*,nnnnA B CN 的内角,nnnA B C的对边分别为,nnna b c，1111112,22nnnnnnnncababca aa bc+=.若点,nnB C在x轴上且关于原点对称，问：是否存在1a，使得点nA都在E上，若存在，请求出1a，若不存在，请说明理由.18.（17 分）某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统（记为系统A和系统B），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统A和B分别进行测试试验，一轮的测试结
10、果得出后，再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少 2 次时，就停止试验，并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若系统A不出现故障且系统B出现故障，则系统A得 1 分，系统B得-1 分；若系统A出现故障且系统B不出现故障，则系统A得-1 分，系统B得 1 分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统均得 0 分.系统A B出现故障的概率分别记为和，一轮试验中系统A的得分为X分.（1）求X的分布列；（2）若系统A和B在试验开始时都赋予 2 分，()0,1,2,3,4ip i=表示“系统A的累计得分为i时，最终认为系统A比系统B更稳定
11、”的概率，则040,1pp=，()111,2,3iiiipapbpcpi+=+=，其中()()()1,0,1aP XbP XcP X=.现根据2p的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统，若20.1p，则先启动系统B；若20.9p，则先启动系统A；若20.10.9p，则随机启动两个系统中的一个，且先启动系统A的概率为2p.证明：2222222(1)(1)(1)p=+；若0.001,0.002=，由可求得20.8p，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.19.（17 分)设,a bR，函数()2e2exxf xxxaxxb=+，()()()()()22
12、2 e2,2,xg xxxxab h xxxab f xg xh x=+=+的定义域都为1,12.（1）求()g x和()h x的值域；（2）用max,m n表示,m n中的最大者，证明：()()()max,f xg xh x=；学科网（北京）股份有限公司（3）记()f x的最大值为(),F a b，求(),F a b的最小值.福建省漳州市福建省漳州市 2024 届高三毕业班第四次教学质量检测届高三毕业班第四次教学质量检测 数学参考答案及评分细则数学参考答案及评分细则 评分说明：评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要本解答给出了一种或几种解
13、法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数
14、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数只给整数分数.选择题和填空题不给中间选择题和填空题不给中间分分.一一单项选择题单项选择题：本大题共：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1.B 2.B 3.D 4.C 5.D 6.A 7.A 8.C 二二多项选择题多项选择题：本大题共：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部
15、选对的得多个选项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9.AB 10.BCD 11.ABC 三三填空题填空题：本大题共：本大题共 3 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.11,1,22yyxyx=+=（写对一个方程即可）13.135 14.14.4 四四解答题解答题：本大题共：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.解：（1）因为,a b c成等差数列，所以2acb+=，又2 3b=，所以4 3ac+=，在AB
16、C中，由余弦定理可得：2222cosbacacB=+，又3B=，所以22212()3acacacac=+=+，由得12ac=，所以ABC的面积113sin123 3222SacB=.学科网（北京）股份有限公司（2）因为32 3,sinsin12bACb=，所以1sinsin2AC=，又因为ABC+=且3B=，所以23CA=，所以21sinsin32AA=，所以311sincossin222AAA=，所以131sincos222AA=，所以1sin32A=，又因为0A，所以2333A，所以2,3,1abc=，所以E的方程为22143xy+=.（2）存在12a=，使得点nA都在E上.理由如下：因为
17、1nnaa+=，所以1naa=，因为11,22nnnnnncababc+=，所以()1112nnnnnbcbca+=+，即()11112nnnnbcbca+=+，所以()11111222nnnnbcabca+=+，又因为1112bca+=，所以11120bca+=，所以120nnbca+=，即12nnbca+=，所以112nnnnnnA CA BaaB C+=，所以点nA在以,nnB C为焦点，12a为长轴长的椭圆上，又因为E的焦点为()1,0，长轴长为 4，点,nnB C在x轴上且关于原点对称，所以点nA都在椭圆E上11124,22nnaaB Ca=，所以存在12a=，使得点nA都在E上.1
18、8.解法一：（1）X的所有可能取值为1,0,1.()()()()11,11P XP X=，()()()()()0111111P XP XP X=，所以X的分布列为 学科网（北京）股份有限公司 X-1 0 1 P()1()()111 ()1 （2）由题意，得()()()()1111111iiiipppp +=+，所以()()()()111111iiippp +=+所以()()()()11111,1,2,31iiipppi +=，又040,1pp=，所以()()()()1021111ppp +=()()()1111p +=()()()()2131111ppp +=()()()()()()()221
19、111111pp +=()()()()()()()221111,111p +=+()()()()32411111ppp +=所以()()()()()()()()()()()22211111111111pp +1=，所以2222222(1)(1)(1)p=+，记“该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统”为事件T，“该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动系统A”为事件C，学科网（北京）股份有限公司 因为()20.001,0.002,0.80.1,0.9p=，所以由题意，得()()220.8,10.2P CpP Cp=，()()11 0.001,11 0.002P T CP T C
20、=，所以()()()()()P TP C P T CP C P T C=+()()0.81 0.0010.21 0.0020.9988+=，即该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率为 0.9988.解法二：（1）同解法一.（2）由题意，得101221233234,papbpcppapbpcppapbpcp=+=+=+，又040,1pp=，所以1122123323,pbpcppapbpcppapbpc=+=+=+，所以()()()12213321,11,b pcpb papcpb papc=+=+因为1abc+=，所以1 bac=+，所以()()()1221332,a
21、c pcpac papcpac papc+=+=+=+，所以()222apccac papcacac+=+，所以2222()2acpacpc+=+，所以2222cpac=+，又因为()()()()11,11aP XcP X=，所以2222222(1)(1)(1)p=+.同解法一.19.解：（1）()()()()21 e2221 e1xxgxxxx=+=+，因为当1,02x 时，()0gx，学科网（北京）股份有限公司 所以()g x在1,02上单调递减，在()0,1上单调递增，又()()12131e,12e3,1242gab gab gg=+=+，所以()g x的值域为()()0,1gg，即,2
22、e3abab+.因为()2212(1)1,12h xxxabxabx=+=+是减函数，所以()h x的值域为()11,2hh，即51,4abab+.（2）证明：当mnmn+时，22|mnmn+，即0mn，从而;mnmn+=+当mnmn+时，22|mnmn+，即0mn，从而mnmn+=，所以max,mnmnmn+=+，所以()()()()22()maxe2e,e2exxxxf xxxaxxbxxaxxb=+.22max 2 e2,2xxxxabxxab=+()()max,g xh x=.（3）由（1），得()()()max|max0,1g xgg=，()()max1|max1,2h xhh=，再结合（2），得()()()()maxmaxmax,max|,|F a bf xg xh x=()()()1max0,1,1,2gghh=，所以()()()(),0,1F a bgF a bg，所以()()()()()0101,22ggggF a b+学科网（北京）股份有限公司()()2e32e322abab+=，又当()()2e32e30,12e322gabgab=+=+=，()2e3152e311,2242habhab=+，（可取12e,2ab=）时，()2e3,2F a b=，所以(),F a b的最小值为2e32.