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1、 苏大附中20232024学年第一学期12月检测高一年级数学试卷（考试时间：120分钟 总分150分）命题人：房兵 审核：仇卓然一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 2. 函数的增区间是（ ）A. B. C. D. 3. 已知幂函数的定义域为，且，则的值为（ ）A B. 0C. 1D. 24. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根(精确度为)可以是（ ）A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ）A. B.
2、C. D. 6. 设，则（ ）A. abcB. bacC. acbD. cab7. 今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（）（参考数据:）A. 年B. 年C. 年D. 年8. 若定义在上奇函数满足：对任意，都有若，则实数的取值范围为（）A. 或B. 或C. 或D. 或二、多选题（共4小题，每小题5分，
3、共计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知下列各角：；，其中是第二象限角的是（ ）A. B. C. D. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ）A. 的定义域为B. C 当时，D. 对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立.12. 关于函数的下列四个说法中，正确的是（ ）A. 若对一切实数成立，则是增函数B. 若对一切实数成立，则C. 若对一切实数成立，则的图象关于轴对称D. 若对一切实数成立，其中且，则是奇函数或偶函数三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共
4、20分，把答案写在答题卡中的横线上）13. 若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为_14. 若扇形的圆心角为60，半径为2，则扇形的面积为_15. 函数，函数有3个零点，则k的取值范围为_16. 命题在单调增函数，命题（）在R上为增函数，则命题P是命题Q的_（在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选择最合适的填写）四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17. 计算下列各式，写出演算过程（1）；（2）18. 已知集合，（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围19. 已知函数（1）当时，求函数
5、的单调区间；（2）当，函数在的最小值记为，求的表达式20. 随着中国经济高速增长，旅游成了众多家庭重要生活方式，A，两地景区自2010年开始，采取了不同的政策：A地提高景区门票价格到120元/人，地取消了景区门票.政策实施后，A地的游客人次近似于直线上升（线性增长），地的游客人次近似于指数增长（如图所示）.已知：2011年度，A地的游客人次为600万，地的游客人次为300万；从2011年度开始，A地游客人次的年增加量近似为10万人次，地游客人次的年增长率近似为20%；平均每位游客出游一次可给当地带来500元收入（不含门票）；（1）填空：2014年度，地的年度游客人次近似为_万；（2）从2011
6、年度开始，分别估计多少年后，A地，地的年度旅游收入开始超过50亿元？（3）结合（2），谈谈你的看法.（附参考数据：，）21. 已知定义域为的函数是奇函数（1）求实数a值（2）试判断的单调性，并用定义证明（3）解关于x的不等式22. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：在区间上是单调的；当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”，（1）请证明：函数（）不存在“理想区间”；（2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”；（3）如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值.苏大附中20232024学年第一学期12月检测高一年级数学试卷（考试时间：1
7、20分钟 总分150分）命题人：房兵 审核：仇卓然一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据韦恩图确定阴影部分元素与集合的关系，结合交、并运算求阴影部分的集合.【详解】由题设，阴影部分元素属于集合或，但不属于，又，所以阴影部分的集合为.故选：D2. 函数的增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式，求得函数的定义域，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，即，解得或，当时，函数单调递减；当
8、时，函数单调递增，根据复数函数的单调性，可得函数的增区间为.故选：A.3. 已知幂函数的定义域为，且，则的值为（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案.【详解】因为幂函数的定义域为R，故，解得，又，所以，检验，时，即，满足题意故选：C4. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根(精确度为)可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案.【详解】由表格可得，函数的零点在之间结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.05
9、)可以是1.42.故选：C.5. 函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定.【详解】由于，故为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B和C；又因为，故排除D项，故选：A.6. 设，则（ ）A. abcB. bacC. acbD. cab【答案】C【解析】【分析】由换底公式得，由幂的运算法则得，利用对数函数的单调性比较的，再借助中间值1和指数函数性质比较大小可得结论【详解】98，3，故，从而有，故选：C【点睛】本题考查比较对数和幂的大小，掌握指数函数和对数函数性质是解题关键，解题时可借助中间值如0，1等进行比较7. 今年月日，日本
10、不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（）（参考数据:）A. 年B. 年C. 年D. 年【答案】B【解析】【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解.【详解】由题意得:，解得，所以，当时，得，即，两边取对数得，所以，即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.故选：B.8. 若定
11、义在上的奇函数满足：对任意，都有若，则实数的取值范围为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】设，根据奇偶性、单调性的定义和性质可确定在上单调递增；将所求不等式化为，由单调性可得自变量大小关系，解不等式可求得结果.【详解】不妨令，则由得：，设，则在上单调递增，又，为定义在上的奇函数，在上单调递增，由得：，即，解得：或.故选：D.二、多选题（共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知下列各角：；，其中是第二象限角的是（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】求
12、出给定的各个角与到间终边相同的角，即可作答.【详解】对于，而是第三象限角，不是；对于，角的终边为x轴非正半轴，不是；对于，是第二象限角，是；对于，是第二象限角，是.故选：CD10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】利用基本不等式判断ABC；利用二次函数求最值判断D.【详解】若，且，则有：对于选项A：因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，故A正确；对于选项B：因为，当且仅当即时，等号成立，所以，故B正确；对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，可得，所以ab有最大值，故C错误；对于选项D：，因为，所以，所以当时，有最小值，故D错误；故选：
13、AB.11 已知函数，则（ ）A. 的定义域为B. C. 当时，D. 对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立.【答案】ABD【解析】【分析】判断的正负即可判断A；判断与2的关系即可判断B；通过，判断及的单调性；根据复合函数单调性即可判断在上单调性，进而求解值域判断C；根据奇偶性及在上单调递减判断在定义域上的单调性，再结合单调性的定义即可判断D.【详解】因为，所以，即恒成立，所以函数的定义域为R，故选项A正确；，所以，故选项B正确；因为，且函数在上单调递增，又有在上单调递减，所以在上单调递减，所以，且x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷，所以，故选项C错误；记函数，由选项A知的定义域为R，且
14、，所以是奇函数，因为，且函数在上单调递增，又有在上单调递减，所以在上单调递减，所以，因为奇函数，所以在上单调递减，所以在R上单调递减，且，所以在R上单调递减，所以对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立，故选项D正确.故选：ABD12. 关于函数的下列四个说法中，正确的是（ ）A. 若对一切实数成立，则是增函数B. 若对一切实数成立，则C. 若对一切实数成立，则的图象关于轴对称D. 若对一切实数成立，其中且，则是奇函数或偶函数【答案】BC【解析】【分析】取特殊函数判断AD，根据所给性质推理判断BC.【详解】若，其中表示不超过的最大整数，显然，即对一切实数成立，但不是增函数，故A错；由可得，所以
15、，故B正确；由可得，即，所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故C正确；若，满足，但函数是非奇非偶函数，故D错误.故选：BC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卡中的横线上）13. 若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为_【答案】【解析】【分析】原命题转化为“方程有实数解”，再由可求实数的取值范围.【详解】若命题“，使得”是真命题，也就是“方程有实数解”，.故答案为：14. 若扇形的圆心角为60，半径为2，则扇形的面积为_【答案】【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求出.【详解】扇形的圆心角为60，转化为弧度为，该扇形的面积为.故答案为：.15. 函数，函数有
16、3个零点，则k的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式，作出图象，利用方程与函数的关系，可得答案.【详解】当时，；令，则，令，解得；可得函数的图象如下：函数有个零点等价于函数与直线有三个交点，由图可知，的取值范围为.故答案为：.16. 命题在单调增函数，命题（）在R上为增函数，则命题P是命题Q的_（在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选择最合适的填写）【答案】充要条件【解析】【分析】根据二次函数以及分段函数单调性建立不等式，结合充要条件的定义，可得答案.【详解】根据命题，由函数，此为图象开口向上的二次函数，则其对称轴为直线，由函数在上单调递增，
17、则，解得；根据命题，由题意可得，解得易知命题是命题的充要条件.故答案为：充要条件.四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17. 计算下列各式，写出演算过程（1）；（2）.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用根式、指数幂的运算性质计算可得结果；（2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得结果.【小问1详解】解：原式.【小问2详解】解：原式.18. 已知集合，（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围【答案】（1）或； （2）.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式、分式不等式求集合，再应用集合的交运算求集合；（2）解含参一
18、元二次不等式求集合C，由必要不充分条件有，进而列不等式组求参数范围.【小问1详解】由，由或，所以或.【小问2详解】由，显然，又“”是“”的必要不充分条件，即，所以（等号不能同时成立），可得.19. 已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，函数在最小值记为，求的表达式【答案】（1）的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2）【解析】【分析】（1）根据自变量的范围去掉绝对值，结合二次函数的性质即可求解；（2）根据二次函数的性质分类讨论即可求解.【小问1详解】当时，；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；综上所述：的单调递增区间为，；单调递减区间为.【小问2详解】因为，当时，
19、当，即时，在单调递减，在单调递增，；当，即时，在单调递增，.综上所述：，20. 随着中国经济高速增长，旅游成了众多家庭的重要生活方式，A，两地景区自2010年开始，采取了不同的政策：A地提高景区门票价格到120元/人，地取消了景区门票.政策实施后，A地的游客人次近似于直线上升（线性增长），地的游客人次近似于指数增长（如图所示）.已知：2011年度，A地的游客人次为600万，地的游客人次为300万；从2011年度开始，A地游客人次的年增加量近似为10万人次，地游客人次的年增长率近似为20%；平均每位游客出游一次可给当地带来500元收入（不含门票）；（1）填空：2014年度，地的年度游客人次近似为
20、_万；（2）从2011年度开始，分别估计多少年后，A地，地的年度旅游收入开始超过50亿元？（3）结合（2），谈谈你的看法.（附参考数据：，）【答案】（1）519 （2）估计7年后，地的年度旅游收入开始超过50亿元 （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据指数增长，计算可得；（2）分别根据一次函数和指数函数的模型列不等式求解；（3）结合快速增长，长远发展，政策适合等进行说明【小问1详解】2014年度，地年度游客人次为万；【小问2详解】设从2011年度开始，估计年后，A地的年度旅游收入为（单位：万元），则，得，令，得，解得，所以，估计21年后，A地的年度旅游收入开始超过50亿元，由题意，年后，地
21、的年度旅游收入为万元，所以，估计7年后，地的年度旅游收入开始超过50亿元，或者令，得，因为，结合图像，所以，估计7年后，地的年度旅游收入开始超过50亿元；【小问3详解】指数增长让地的游客人次增长很快，取消门票，反而有利于促进消费，拉动经济增长：或者，地景区的政策更有利于地方经济的长远发展；或者，一段时间后，地景区的收入明显超过A地景区，不同的政策有不同的结果 21. 已知定义域为的函数是奇函数（1）求实数a值（2）试判断的单调性，并用定义证明（3）解关于x的不等式【答案】（1）； （2）单调递减，证明见解析； （3）.【解析】【分析】（1）由奇函数性质求参数，并验证结果即可；（2）令，应用作差
22、法比较的大小，即可证；（3）由奇函数且单调递减，将不等式化为，结合一元二次不等式解法、指数函数单调性解不等式求解集.【小问1详解】由题意，故，则，即为奇函数，满足，所以.【小问2详解】在R上单调递减，证明如下：令，则，而，故，所以在R上单调递减.【小问3详解】由奇函数知：，由（2）知：，所以，可得，不等式解集为.22. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：在区间上是单调的；当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”，（1）请证明：函数（）不存在“理想区间”；（2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”；（3）如果是函数（）的一个“理想区间”，请
23、求出的最大值.【答案】（1）证明见解析； （2） （3）【解析】【分析】（1）利用的单调性，转化为，解方程即可证明；（2）利用二次函数的性质以及函数的值域，求出，结合对称轴，得到在上必为增函数，由求解即可；（3）由函数单调性和新定义知，方程有两个同号的实数根m，n，（），利用韦达定理表示，然后利用二次函数的性质求解即可.【小问1详解】由为上的增函数，则有，所以，所以，无解，所以（）不存在“理想区间”；【小问2详解】记是函数的一个“理想区间”（），由及此时函数值域为，可知，而其对称轴为，所以在上必为增函数，令，所以，所以，故该函数有唯一一个“理想区间”；【小问3详解】由在和上均为增函数，已知在“理想区间”上单调，所以或，且在上为单调递增，则，即m，n（）是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根，又，则只要，所以或，而由韦达定理知，所以，其中或，所以当时，取得最大值.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司