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1、1装订线2013 学年第一学期学年第一学期 高等代数高等代数(A 卷卷)一、选择一、选择题题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1.下列关于多项式理论的说法中正确的是().A.零多项式整除任意多项式 B.零多项式不整除零多项式 C.零多项式只能整除零多项式 D.零多项式的次数为零2.设有维向量组（I）：和（II）：，则().nr,21)(,21rmmA.向量组（I）线性无关时，向量组（II）线性无关B.向量组（I）线性无关时，向量组（II）线性相关C.向量组（I）线性相关时，向量组（II）线性相关D.向量组（I）线性相关时，向量组（II）线性无关3.设为矩阵，齐次线性方程组仅有
2、零解的充要条件是().Anm0AxA.的列向量线性相关 B.的列向量线性无关AAC.的行向量线性相关 D.的行向量线性无关AA4.设为级方阵，且，则有().,A Bn0A 0AB A.或 B.C.D.0A 0B 0BA 222()ABAB0B 5.设和都是级实对称矩阵,通过非退化线性替换能将实二次型ABn化为实二次型的充分必要12(,)Tnf x xxX AXL12(,)Tng y yyY BY条件是().A.与具有相同的秩 B.与具有相同的符号差ABAB C.与具有相同的正惯性指数AB D.与具有相同的负惯性指数,并且 A 与 B 具有相同的符号差AB二、填空题填空题（本大题共 5 小题，每
3、小题 3 分，共 15 分）1.设四级行列式的第四列元素分别为，且它们对应的余子式分别为D1,0,2,3，则=_.2,3,1,2D得分得分得分得分QQ37428923622.设向量组线性相关，则_.123(,1,1),(0,2,3),(1,0,1)kk3.设为级方阵,且满足,这里表示级单位矩阵,那么An2240AAEEn .1A4.已知矩阵方程,则_.100021(1,2,3)01 1XX5.若是正定二次型，则的取值范围222,2332f x y zxyzyz是_.三、判别题三、判别题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）（请在你认为正确的小题对应的括号内打“”，否则打“”）1.
4、（）有理数域为最小的数域.2.（）设是两个级方阵，则.,A BnABBA 3.（）若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同.4.（）若矩阵的所有级子式全为零，则的秩为.A1r Ar5.（）合同变换不改变实矩阵的对称性和正定性.四、解答题四、解答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）1.设 求.43232()421659,()254,f xxxxxg xxxx(),()f xg x得分得分得分得分1.5CM1.5CMQQ3742892363装订线2.计算行列式.1111111111111111xxxx3.求向量组1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,
5、2),(4,3,1,1)的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.QQ37428923644.讨论取何值时，线性方程组 k12312321231,21,xxkxxxxxkxxk (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解，并求出此方程组的通解.5.作非退化线性替换化实二次型XCY221231223(,)4f x x xxxx x为规范形.QQ3742892365装订线五、证明题五、证明题（本大题共 4 小题，共 25 分）1.（本小题 7 分）证明：维向量组线性无关的充要条件是任n12,n 一维向量都可由线性表出.n12,n 2.（本小题 6 分）设是级方阵且，证明：存在一个非零矩阵使得An0A B.ABO得分得分1.5CMQQ37428923663.（本小题6分）设 是 级方阵且，是矩阵，证明:An0A Bn m.R ABR B4.（本小题6分）设.证明：如果与合同，1122,AOBOABOAOB1A1B与合同，则与合同.2A2BABQQ374289236