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1、http:fhlx cbpt cnki netfxlxbjb 163 comDOI:10.13645/j cnki f d 20220929.006垂直起降运载火箭返回着陆轨迹在线优化研究姜雪梅1，朱博灵2，赵吉松2，王泊乔2，张金明2(1 中国飞行试验研究院，陕西 西安 710089;2 南京航空航天大学 航天学院，江苏 南京 210016)摘要:针对垂直起降运载火箭返回着陆轨迹优化问题开展了研究。首先，基于多区间 adau 伪谱法和稀疏非线性规划技术，采用 C+语言编程开发了具有在线优化能力的轨迹优化程序。然后，针对火箭返回着陆轨迹的落点误差较大问题，提出了末段轨迹在线更新的应用模式，以消
2、除轨迹累积误差。最后，开展了仿真计算。研究结果表明:所提方法能够快速求解运载火箭返回着陆轨迹优化问题，计算效率比 GPOPS软件提高大约 312 倍，并且可以移植到嵌入式系统，具有在线优化的能力;对末段轨迹进行在线更新能够有效提高返回轨迹的落点精度。关键词:运载火箭;返回着陆;轨迹优化中图分类号:V475.1文献标识码:A文章编号:1002-0853(2023)01-0063-08Online trajectory optimization for descent and landing ofvertical takeoff and landing launch rocketJIANG Xue
3、mei1，ZHU Boling2，ZHAO Jisong2，WANG Boqiao2，ZHANG Jinming2(1 Chinese Flight Test Establishment，Xi an 710089，China;2 College of Astronautics，NUAA，Nanjing 210016，China)Abstract:The optimization of descent and landing trajectory of vertical takeoff and landing launchrocket was studied Firstly，a trajecto
4、ry optimization method and program with online capability wasdeveloped using C+language based on multi-interval adau pseudospectral method and sparse non-linear programming(NLP)Then，an application mode of online update of the terminal trajectorywas proposed to eliminate the cumulative trajectory err
5、or Finally，a numerical simulation was per-formed The results show that the proposed method can quickly generate a fuel-optimal descent andlanding trajectory for a launch rocket，and the computational efficiency is about 312 times higherthan that of the GPOPS-software The method can be easily ported t
6、o embedded systems and thushas the potential of online optimization The online optimization of the terminal trajectory can signifi-cantly improve the rocket landing accuracyKey words:launch rocket;descent and landing;trajectory optimization收稿日期:2022-03-22;修订日期:2022-09-08;网络出版时间:2022-10-08 17:33基金项目:
7、国家自然科学基金资助(11602107)作者简介:姜雪梅(1990)，女，陕西西安人，工程师，硕士。通信作者:赵吉松(1984)，男，安徽寿县人，副教授，博士。0引言火箭返回与精准软着陆技术是研制可重复使用火箭的一项重要支撑技术。近年来，随着太空探索技术公司的 Falcon-9 系列火箭一级多次成功回收与重复使用，垂直起降可重复使用火箭返回第 41 卷第 1 期飞行力学Vol 41No 12023 年 2 月FLIGHT DYNAMICSFeb 2023着落技术逐渐成为国内外研究的热点1-5。不同于传统的再入返回飞行器，垂直起降运载火箭子级返回过程中，需要利用火箭的推力实现大范围减速并满足过程
8、约束和定点垂直着陆约束。显然，对火箭返回着落轨迹进行优化，减少再入返回阶段的燃料消耗对提高火箭运载能力和应急能力具有重要意义。目前，不少研究人员基于凸优化方法求解火箭返回着落轨迹优化问题，取得了一系列具有应用潜力的研究成果1-4。凸优化方法的优势是不需要优化初值，收敛较快，并且编程简单，容易在嵌入式系统上运行实现在线优化。凸优化的主要问题是需要对返回着落轨迹进行简化和复杂推导，将其转化为凸优化问题。比如，当考虑气动力时，火箭返回着落轨迹不再是凸优化问题，目前的方法是将火箭返回着落轨迹沿着参考轨迹进行线性化，将其转换为一系列凸优化问题，然后通过迭代求解，即序列凸优化(Se-quential Co
9、nvex Programming，SCP)技术。但是，SCP 技术一方面需要提供初始轨迹作为线性化的参考轨迹，从而丧失了传统凸优化不需要提供初值的优势;另一方面，多次迭代求解(典型迭代次数为 10 次左右)降低了凸优化的计算效率，不利于在线优化的快速性要求。随着问题复杂度的增加，比如考虑气动力且气动数据是表格形式，那么SCP 技术将更加复杂。除了凸优化方法，还可以采用传统的直接法求解火箭返回着陆轨迹优化问题。直接法通过对控制变量和状态变量进行离散把连续最优控制问题转化为非线性规划(Nonlinear Programming，NLP)，然后采用 NLP 算法6-7 求解。直接法中的配点法由于不需
10、要推导最优性必要条件，对初值的敏感性较低，容易收敛，近年来得到广泛研究和应用。多区间 adau 伪谱法8 是配点法中的一种，它将时间分成多个区间，在每个区间采用低阶次插值多项式在 LG(Legendre Gauss adau)配点上近似状态变量。与在整个时间区间应用高阶插值多项式的传统伪谱法相比，多区间 adau 伪谱法离散得到的 NLP 偏导数矩阵更稀疏，具有更高的计算效率。近年来，多区间 adau 伪谱法依托于开源软件 GPOPS-8 在航空航天领域得到广泛研究和应用。基于配点法的轨迹优化方法由于需要调用依赖于操作系统的 NLP 求解器(SNOPT、IPOPT等)，以前只能在桌面计算机上运
11、行。近年来，嵌入式计算机技术得到了快速发展，市场上出现了大量基于 Linux 系统的嵌入式开发板，比如树莓派等，使得将基于配点法的轨迹优化方法移植到嵌入式开发板成为可能。比如，Agamawi 等9 最近基于 C+语言开发的 CGPOPS 软件可以移植到支持 Linux 的嵌入式系统上运行。本文基于多区间 adau 伪谱配点法，采用 C+语言开发具有在线优化潜力的轨迹优化程序，在此基础上开展火箭返回着落轨迹优化研究，提出了在线优化末段轨迹的应用模式，并通过数值仿真验证了所述方法和应用模式的有效性。1火箭返回着陆轨迹优化问题1.1火箭返回着陆段质心运动方程本文采用地球固定坐标系，原点位于着陆点，单
12、位矢量 e1指向上方，e2指向东方，e3与其他单位矢量组成右手系。在该坐标系中，描述火箭下降过程中质心运动的微分方程组4 为:r=vv=g+TmDmm=T(1)式中:r=(r1，r2，r3)T 3为位置矢量;v=(v1，v2，v3)T 3为速度矢量;m 为质量;g=(g，0，0)T 3为重力加速度常矢量;T=(T1，T2，T3)T 3为发动机推力矢量;D 为气动阻力矢量;=1(Ispg0)是与燃油消耗率相关的正常数，Isp为燃料比冲，g0为海平面重力加速度。本文假设火箭飞行过程升阻比很低，升力可以忽略不计。无量纲阻力矢量 D 为:D=12SrefCDv v(2)式中:为空气密度;Sref为火箭
13、参考面积;CD为阻力系数。因为火箭的动力下降阶段通常处于亚声速飞行状态，本文认为阻力系数为常数。1.2初始条件运载火箭返回着陆问题的初始条件如下:r(t0)=r0v(t0)=v0m(t0)=m0(3)式中:t0为初始时刻;r0、v0、m0分别为位置向量、速度向量和火箭质量在初始时刻的取值。46飞行力学第 41 卷1.3路径约束运载火箭返回着陆问题的控制变量为发动机的推力矢量，其调节范围受到以下限制:TminT(t)Tmax(4)式中:Tmin、Tmax分别为火箭的最小和最大推力。在火箭返回着陆过程中需要对火箭俯仰角进行约束。本文假设火箭推力沿轴线方向，因而推力方向与竖直方向的夹角需要满足如下约
14、束:T(t)cos max T1(t)(5)式中:max为推力倾斜角的上限;T1(t)为沿 r1方向的推力分量。当火箭靠近着陆点时，max应该足够小以避免着陆时侧翻。另一个重要的约束条件是要求运载火箭在下降着落过程中始终位于锥角逐渐变小的圆锥体内，以实现最终接近垂直着陆，即在下降着落过程中火箭的下滑倾斜角不能超过 max，即:r(t)2cos max r1(6)式中:max为允许的最大下滑倾斜角。式(5)和式(6)中的最大推力倾斜角 max和最大下滑倾斜角 max可以随 r1分量变化。此外，当火箭靠近着陆点时，max应该足够小以避免火箭在着陆时发生侧翻。在后续仿真计算时，将采用随高度变化的 m
15、ax和 max函数。1.4末端约束为了精确和安全着陆，还需要对火箭的着陆点位置和着陆速度进行约束。终端约束条件为:r(tf)=rfv(tf)=vf(7)式中:tf为待优化的火箭着陆时刻;rf为要求的火箭着陆位置;vf为要求的火箭着陆速度。1.5目标函数火箭下降着落轨迹优化问题的目标函数通常取着落过程燃料消耗最少(等效于着落时刻火箭的剩余质量最大)。因此，目标函数可以写为:maxmize J=m(tf)(8)2火箭返回着陆轨迹在线优化方法2.1多区间 adau 伪谱法本文采用多区间伪谱法8 求解垂直起降火箭返回着落轨迹优化问题。为了便于描述，本节以一般形式的 Bolza 型最优控制问题为例，介绍
16、多区间伪谱法。Bolza 型问题可描述为:求解控制变量 u(t)m，使得如下目标函数最小化:J=M(x(t0)，t0，x(tf)，tf)+tft0L(x(t)，u(t)，t)dt(9)式中:M:n n ，L:n m ，x n，u m，t t0，tf 。状态方程为:x=f(x(t)，u(t)，t)(t t0，tf)(10)端点条件为:e(x(t0)，t0，x(tf)，tf)=0(11)路径约束为:c(x(t)，u(t)，t)0(t t0，tf)(12)式中:f:n m n，e:n n e，c:n m c。式(9)(12)所描述的连续最优控制问题称为 Bolza 型最优控制问题。为了便于应用伪谱法
17、对上述最优控制问题进行离散化，需要将原始最优控制问题的时间区间t t0，tf变换至 1，1，变换方式如下:t=tf t02+tf+t02(13)将积分变量变化范围 1，1划分为 K个网格区间 Ik=Tk1，TK(k=1，K)，其中1=T0 T1 TK=Tf=1。记 x(k)()为区间 Ik(k=1，K)上的状态变量，那么状态变量可以近似为:x(k)()y(k)()=Nk+1j=1x(k)jl(k)j()(14)式中:y(k)()为 x(k)()的近似函数;x(k)j为状态变量在离散节点 TK处的取值，表达式 l(k)j()为如下 Lagrange 基本多项式:l(k)j()=Nk+1l=1，l
18、j(k)l(k)j(k)l(15)其中:节点(k)1，(k)Nk)是区间 Ik=Tk1，TK上的 Nk个 LG(Legendre-Gauss-adau)配点，但是区间 Ik的右端点(k)Nk+1=Tk不是 LG 配点。将式(14)中 y(k)()关于 求微分得到:dy(k)()d=Nk+1j=1x(k)jdl(k)j()d(16)将式(10)和式(16)相结合，可得到状态方程在区间 Ik(k=1，K)上的离散形式为:Nk+1j=1D(k)ijx(k)jtf t02f(x(k)i，u(k)i，(k)i)=056第 1 期姜雪梅，等 垂直起降运载火箭返回着陆轨迹在线优化研究(i=1，Nk)(17)
19、式中:区间 Ik上的 LG 微分矩阵的元素为 D(k)ij=dl(k)j(k)i)d(i=1，Nk;j=1，Nk+1);u(k)i(i=1，Nk)为控制变量 u(k)()的离散值。目标函数式(9)的离散形式为:J M(x(1)1，t0，x(K)NK+1，tf)+Kk=1Nkj=1tf t02(k)jL(x(k)j，u(k)j，(k)j)(18)式中:(k)j为(k)j对应的 LG 权重系数。端点条件式(11)的离散形式为:e(x(1)1，0，x(K)NK+1，f)=0(19)路径约束式(12)的离散形式为:c(x(k)i，u(k)i，(k)i)0(i=1，Nk)(20)由于区间 Ik的右端点(
20、k)Nk+1=Tk不是 LG 配点，为使得状态变量在相邻区间连续，需满足:x(k)Nk+1=x(k+1)1(k=1，K 1)(21)采用相同的变量表示 x(k)Nk+1和 x(k+1)1，可消除该约束。采用数值方法求解方程式(17)式(21)描述的 NLP 问题，即可得到轨迹优化问题的离散最优解。2.2在线轨迹优化程序开发本文 采 用 基 于 SQP 算 法 开 发 的 求 解 器SNOPT6 求解 NLP 问题，得到轨迹优化问题的离散最 优 解。在 采 用 SNOPT 求 解 NLP 时，为SNOPT 提供 NLP 的一阶偏导数，即雅克比矩阵(定义为目标函数和全部约束对全部自变量的一阶偏导数
21、矩阵)，能够显著提高计算效率，但是直接计算偏导数矩阵的计算量比较大。稀疏差分法10 通过分析偏导数矩阵的稀疏特性，将其中的占绝大多数的零元素识别出来，并且将其中的非零元素的值通过矩阵链式求导运算分解为原始轨迹优化问题的偏导数，然后采用稀疏差分方法计算，从而有效减小偏导数的计算量。基于以上思路，本文针对一般形式的轨迹优化问题，开发了通用的轨迹优化程序。本文研究工作的一个重要特色之处是采用 C+语言编程，集成了可供 C+调用的 NLP 求解器。相对于其他轨迹优化研究中常用的 MATLAB 语言，C+编程一方面能够显著提高轨迹优化的计算效率，更重要的优势是使得开发的轨迹优化程序很容易移植到嵌入式系统
22、平台上运行，从而具有在线优化轨迹的能力。2.3火箭返回着陆轨迹优化策略本文研究的火箭返回着陆轨迹优化问题的最优推力大小随时间变化是 Bang-Bang 控制，增加离散节点数量或者引入节点细化技术11 都能够取得较高的精度，但是这种处理方式会增加计算时间，不利于在线优化。为了能够在尽量短的时间内优化出最优轨迹，并且具有较高的优化精度，本文在前期研究工作12 的基础上，引入末段优化策略，如图 1 所示。图 1火箭返回着陆轨迹优化策略Fig 1Strategy for rocket landing trajectory optimization首先，采用多区间 adau 伪谱法对全段返回着陆轨迹进行
23、在线优化，得到最优推力矢量;然后，根据优化出的最优推力矢量采用数值方法积分动力学方程;当积分轨迹与优化的离散轨迹的误差超过预定值、或者达到预定的更新周期等条件时，对剩余轨迹重新优化，更新最优推力矢量;最后，根据更新的最优推力矢量继续积分动力学方程至地面。如有必要，可以多次更新剩余段轨迹。其中，积分动力学方程的主要目的是对返回着陆轨迹进行模拟仿真。虽然目前只考虑了离散格式误差，但是无论源于何种误差，实际飞行轨迹与离散最优轨迹之间存在偏差产生的影响是类似的。在着陆过程中在线更新最优轨迹是本文的一个特色，也是基于 C+语言开发的轨迹优化方法的优势。3仿真计算及结果分析本文仿真研究采用的模型参数来自文
24、献 4。其中，推力可调火箭发动机的最大推力66飞行力学第 41 卷Tmax=300 kN，最小推力 Tmin=0.4Tmax，发动机燃料比冲 Isp=360 s，海平面重力加速度 g0=9.8 m/s，火箭的阻力系数 CD=1.3，气动参考面积 Sref=9 m2，大气密度随高度变化特性根据美国 1976 年版本的标准大气模型插值计算。状态变量和时间的边界条件如表 1 所示。表 1状态变量和时间的边界条件Table 1Boundary conditions of state variables and time变量初始条件末端条件r1/m5 0000r2/m1 0000r3/m1 8000v1
25、/ms12000v2/ms1400v3/ms11500m/kg23 000自由t/s0自由在火箭下降着陆过程中，允许的发动机最大推力倾斜角 max随火箭高度的变化特性如下:max=30(r1 300)r110(0 r1 300)(22)在火箭下降着陆过程中，允许的火箭最大下滑倾斜角 max随火箭高度的变化特性如下:max=inf(r1 1 250)2r1125(1 000 r1 1250)r1225+1049(100 r1 1 000)20(r1 100)(23)本文仿真采用的计算平台为桌面计算机(处理器 Intel Core i5-4670，内存 4 GB)。本文调用C+版本的 SNOPT
26、7 求解 NLP，采用有限差分法为其提供一阶偏导数，编程语言为 C+11。本文中给出的优化耗时为 10 次优化的平均耗时。3.1全段优化本文首先不考虑末段在线优化，在整个时间区间对运载火箭的下降着陆轨迹进行优化。采用10 个网格区间(每个区间 4 个配点)，状态变量的优化初值取初始时刻和终端时刻取值的连线(对于给定终值)或者取初值常值(对于未给定终值)，控制变量优化初值第一个分量为 Tmax，其他优化初值取 0。本文开发的 C+程序耗时 0.34 s完成下降着陆轨迹的优化。优化的推力分量推力值如图 2 所示。图 2全段优化下的推力分量及总推力大小Fig 2Thrust components a
27、nd total thrust magnitude forfull segment optimization从图 2 中可以看出，样条插值的推力大小发生明显的振荡，线性插值的推力大小也发生振荡。实际上，立方插值有时候也会导致推力大小发生振荡，只是在图 2(b)所示的案例中立方插值的振荡程度比较轻微。推力大小发生振荡的直接影响是推力会超出允许的变化范围，如本算例要求推力大小介于 Tmin和 Tmax之间，采用插值构造的连续推力一旦超出范围就不是可行解。为了使得插值得到的连续推力满足约束要求，本文对其大小进行限幅，使其介于 Tmin和 Tmax之间。此外，还需要考虑推力分量与大小之间的一致性，即对
28、推力矢量进行如下处理:T(t)=T(t)s(t)(24)式中:s(t)为缩放因子，取值方式如下:s(t)=TminT(t)(T(t)Tmin)1(TminT(t)Tmax)TmaxT(t)(T(t)Tmax)(25)图 3 给出了本文优化的离散最优轨迹与数值积分轨迹对比。图中，圆圈为离散最优轨迹，细实线为数值积分轨迹，积分时采用立方插值方法计算控制变量。从图 3 中可以看到，在轨迹终端，积分轨迹和离散最优轨迹存在较大差异。76第 1 期姜雪梅，等 垂直起降运载火箭返回着陆轨迹在线优化研究图 3全段优化下的位置和速度Fig 3Position and velocity for full segm
29、ent optimization表 2 给出了状态变量的终端误差，包括采用不同插值方式构建连续控制变量时得到的终端状态误差。表 2全段优化下的状态变量终端误差Table 2Terminal state errors for full segment optimization插值方式位置误差/mr1r2r3速度误差/ms1v1v2v3线性插值6.3222.042.000.48 0.430.23样条插值 29.18 31.72 4.940.160.56 0.01立方插值4.9318.541.320.39 0.380.15从表 2 中可以看到，无论采用哪种插值方式，数值积分轨迹的终端误差都比较大，其
30、中样条插值对应的误差最大。这是由于两方面原因造成的;一方面，多区间伪谱法的一个特点就是通过牺牲离散精度提高优化速度;另一方面，通过插值构造的连续控制变量在推力大小切换附近发生振荡，需要限幅处理，导致精度降低。为了减小积分轨迹的终端误差，可以增加节点数量或者引入节点细化技术，但是这样会增加轨迹优化时间，不利于在线优化的快速性要求。3.2全段优化+末段优化末段优化的初始点可以根据实际轨迹与设计轨迹的偏差大小选取，也可以按照预定的时间周期选取。不同的选取方式对轨迹优化没有本质影响，只影响末段轨迹优化的初始条件。作为示例，本文在火箭下降至离地面高度 300 m 时对末段轨迹开展在线优化，此时积分轨迹与
31、离散最优轨迹的位置误差为 17.23 m。为了使得最优推力分量连续变化，本文在末段在线优化的初始时刻添加控制变量连续约束，使推力分量与全段优化的结果保持连续。采用 5 个网格区间(每个区间 4 个配点)，采用前述全段优化的结果为末段优化提供优化初值。在桌面计算机上，本文开发的 C+程序耗时 0.063 s 完成下降着陆轨迹的末段优化。考虑末端优化的最优推力分量及推力值如图4 所示。可以看到，末段优化得到的推力分量与全段优化的结果保持连续。图 4考虑末段优化的推力分量及推力值Fig 4Thrust components and total thrust magnitude withtermina
32、l optimization considered图 5 给出了本文方法优化的离散最优轨迹与积分轨迹的对比。对比图 3 和图 5 可知，经过末段在线优化，返回着陆轨迹的终端误差显著降低，位置、速度的终端误差分别为 0.06 m，0.14 m/s。86飞行力学第 41 卷图 5考虑末段优化的位置和速度Fig 5Position and velocity with terminal optimizationconsidered图 6 给出了本文方法优化的火箭下降着陆过程的推力倾斜角和视线角约束变化情况。可以看到，采用本文方法优化的下降着陆轨迹满足路径约束要求。图 6考虑末段优化的推力倾斜角和下滑斜
33、坡角Fig 6Thrust tilt angle and glide slope angle with terminaloptimization considered表 3 给出了全段优化和末段优化的目标函数、计算耗时以及终端状态误差对比情况。表中还将在全段优化的基础上引入节点细化技术得到的高精度结果作为对比。可以看到，与引入节点细化技术的高精度轨迹相比，全段优化的目标函数与之接近，但是终端位置和速度误差较大。通过对末段轨迹进行在线优化，显著提高了着陆轨迹的落点精度。末段优化的着落质量为 19 670.49 kg，比节点细化技术的结果 19 683.94 kg 减小 13.4 kg(0.068
34、%)。尽管目前本文中考虑的轨迹终端误差是由于离散格式误差累积产生的，但是误差源的不同没有本质区别，各种轨迹跟踪误差都可以通过末段在线优化予以消除。本算例末段在线优化的计算效率比较高，耗时仅为 63 ms。一方面是因为采用 C+编写的代码效率高;另一方面，采用了全段优化结果提供初值，加快了收敛速度。可见，对末段进行在线更新能够以较小的计算代价显著提高火箭着陆轨迹的落点精度。表 3最优下降着陆轨迹的状态变量终端误差Table 3Terminal state error of optimal descent and landingtrajectory优化算法着落质量/kg优化耗时/s终端位置误差/m
35、终端速度误差/ms1全段优化 19 683.940.3419.230.57加入节点细化19 682.575.590.960.02加入末段优化19 670.490.060.140.02表 4 给出了本文方法与开源软件 GPOPS-优化的目标函数和计算效率对比。对于末段优化，原始 GPOPS-不支持直接对控制变量初值进行约束，本文通过修改其底层库函数使其具备这一功能。表 4下降着陆轨迹的不同算法性能对比Table 4Performance comparison of different algorithmsfor solving descent and landing trajectory优化算法
36、性能指标本文方法(C+)GPOPS-(MATLAB)全段优化着落质量/kg19 683.9419 683.94优化耗时/s0.341.04加入末段优化着落质量/kg19 670.4919 670.49优化耗时/s0.060.73由表4 可以看到，本文方法与改进的 GPOPS-计算的目标函数均完全一致，这是因为本文方法与 GPOPS-程序都是基于多区间伪谱法。本文方法的优化效率比 GPOPS-提高了 312 倍，其主要原因是 GPOPS-采用 MATLAB 语言开发，而本文方法采用 C+语言开发，代码执行效率更高。Agamawi 等9 最新基于 C+语言开发的 CG-POPS 相对于 GPOPS
37、-的计算效率提高大约 210 倍，本文的效率提升与之基本一致。96第 1 期姜雪梅，等 垂直起降运载火箭返回着陆轨迹在线优化研究本文采用 C+语言开发轨迹优化程序的另一个重要优势是具有在嵌入式系统运行的潜力。目前能够运行 Linux 系统的嵌入式开发板很多，因此采用 C+语言开发的程序容易移植到嵌入式系统上。此外，由于嵌入式开发的灵活性，甚至可以根据本文轨迹优化程序的需要自行移植Linux 系统，进一步降低对硬件性能的要求。4结束语本文基于多区间 adau 伪谱法和 C+编程技术开发了具有在线优化潜力的轨迹优化程序。在此基础上，给出了火箭返回着陆轨迹的优化方法，特别是针对全段优化结果落点误差较
38、大问题，提出了末段轨迹在线更新的应用模式。仿真结果表明，本文方法能够快速更新末段轨迹，消除累积误差的影响，显著提高返回着陆轨迹的落点精度。对于运载火箭着陆轨迹优化问题，本文方法的计算效率比开源软件 GPOPS-提高大约 312 倍。此外，本文发展的轨迹优化方法能够移植到嵌入式系统平台上运行，具有在线轨迹优化的潜力。参考文献:1 张志国，马英，耿光有，等 火箭垂直回收着陆段在线制导凸优化方法J 弹道学报，2017，29(1):9-16 2 邵楠，闫晓东 火箭垂直回收多阶段最优轨迹规划方法 J 宇航学报，2019，40(10):1187-1196 3 韦常柱，琚啸哲，徐大富，等 垂直起降重复使用运
39、载器返回制导与控制J 航空学报，2019，40(7):197-220 4YANG Q，LIU X F Fuel-optimal powered descentguidance with free final-time and path constraints J Acta Astronautica，2020，172:70-81 5 宋征宇，蔡巧言，韩鹏鑫，等 重复使用运载器制导与控制技术综述J 航空学报，2021，42(11):37-65 6 GILL P E，MUAY W，SAUNDES M A SNOPT:anSQP algorithm for large-scale constraine
40、d optimization J SIAM eview，2005，47(1):99-131 7BIEGLE L T，ZAVALA V M Large-scale nonlinearprogramming using IPOPT:an integrating frameworkfor enterprise-wide dynamic optimizationJ Comput-ers and Chemical Engineering，2009，33(3):575-582 8 PATTESON M A，AO A V GPOPS-:a MATLABsoftware for solving multipl
41、e-phase optimal controlproblems using hp-adaptive gaussian quadrature collo-cation methods and sparse nonlinear programming J ACM Transactions on Mathematical Software，2014，41(1):1-37 9 AGAMAWI Y M，AO A V CGPOPS:a C+softwarefor solving multiple-phase optimal control problems u-sing adaptive gaussian
42、 quadrature collocation and sparsenonlinear programmingJ/OL (2019-03-29)2022-03-22 https:arxiv org/pdf/1905.11898 pdf 10 PATTESON M A，AO A V Exploiting sparsity indirect collocation pseudospectral methods for solvingoptimal control problems J Journal of Spacecraft andockets，2012，49(2):364-377 11 DABY C L，HAGE W W，AO A V Direct trajecto-ry optimization using a variable low-order adaptivepseudospectral methodJ Journal of Spacecraft andockets，2011，48(3):433-445 12 赵吉松，王江华，王泊乔，等 探月返回飞行器跳跃式再入轨迹优化J 宇航学报，2021，42(2):211-219(编辑:褚江)07飞行力学第 41 卷