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1、20242024 年年兰州市兰州市高三诊断考试高三诊断考试数数学试题学试题参考参考答案及评分标准答案及评分标准一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1D2A3C4A5B6C7B8D8【解析】()f x是定义在R上的奇函数(0)0f且图象关于原点对称(1)(1)0f xf x(1)(1)(1)f xf xfx(4)1(3)(2)(1(1)()()f xfxfxfxfxf x (1)(3)1(2)(1)fxfxfxfx (2)(2)(2)fxfxfx 因此函数的周期为 4，且函数图象关于1 2()xk k Z和(2,0)()k
2、kZ对称可画出函数在区间 2,2内的简图则图可知，在 2,2内要满足ln(e)(1 ln)(ln)fafafa，只需31ln22a，即3122eea再根据函数的周期性可知314422ee()kkak Z，故选D二多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分)9BCD10AC11BD11【解析】若记车轮运动时着地点为P，则t秒时2tAOP，因此，()1 cos2thf t(0t)，并满足(4)()f tf t对于任意0t 成立，在区间4,42()kkkN上为增函数，在区间2,4内图象关
3、于点(3,1)对称，1522(7.5)1 cos42f，故选 B，D#QQABKYQQogAAABAAAQgCQwX4CAGQkBGAAAoOwBAAoAIBCRFABAA=#三三填空题填空题(本大题共本大题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 1515 分分)121ey13211414第一空：分别取棱C D及CC的中点M、N，取线段MN上任意一点P均可(2 分)，第二空：3,5(3 分)14【解析】第一空：因为点P在侧面 CDD C内（包括边界）且三棱锥P BEF的体积与三棱锥BBEF的体积相等，即在侧面 CDD C内确定一点P，使B PP平面BEF又因为E、F分别为棱
4、DD及CD的中点，故分别取棱C D及CC的中点M、N，易知B MBFP，MNEFP，且B M交MN于点M，BF交EF于点F，所以平面B MNP平面BEF，故当点P在线段MN上时，点P到平面BEF的距离与点B到平面BEF的距离相等，所以三棱锥P BEF的体积与三棱锥BBEF的体积相等第二空：因为二面角AAB C的大小为，所以过C作CHAB于H，过H作KHBBP，则KHC为二面角AAB C的平面角，易知3B BC当取最大值时，即=3时，此时CBAB即底面ABCD为正方形，在 B C N中22B CCN，3B CN，所以3B N，在 B C M中22B CCM，2B CM，5B M，又因为2MNEF
5、，所以B NM中，3B N，2MN，5B M，所以B NM为直角三角形，当点P在线段MN上运动时，线段B P长度的取值范围是3,5四四解答题解答题(本大题共本大题共 5 5 小题，共小题，共 7777 分解答应写出必要的文字说明分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤)15【解析】(1)22*333()2nnnnaCnnN5 分(2)因为数列 nb满足：1112nnnanbaan，即2112nnbnn，又因为12=1+1b 符合1n当1n 时的值，所以数列 nb的通项公式为1nbnnN（）因为112()2nbn，所以11(1)1142=(1)12212nnnS，121=0
6、2nnS 13 分16【解析】(1)如图所示：以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系 则(0 0 3)P，(4 0 0)B，(4 5 0)C，HKxzy#QQABKYQQogAAABAAAQgCQwX4CAGQkBGAAAoOwBAAoAIBCRFABAA=#设()E xyz，由BEBP ，可得44 0 3xyz，则(440 3)E，PB 底面AEFD可得PB AE，(4 03)PB ，(44 03)AE，0PB AE 解得16256 分(1)设平面EAD的法向量为n，(44 03)AE，(0 3 0)AD，由AEuuu rn，ADu
7、uu rn，得(44)30,30,xzy令3x 得=30 44，n，平面ABD的法向量为m，则(0 01)，m=，二面角EADB的余弦值为45则22444cos5916(1)，mn解得1211 分(453)PC ，-，=30,4，n若直线PC与平面AEFD所成角为，则12 2sin25PCPCuuu ruuu rnn所以直线PC与平面AEFD所成角的正弦值12 22515 分17【解析】(1)(i)因为144XB，所以334133(3)()()4464P XC3 分(ii)因 为4413()()()0.444kkkP XkCk，4115444113441313()()()(),44441313
8、()()()(),4444kkkkkkkkkkkkCCCC解得1544k所以 k=1 时，()P Xk最大 7 分(2)由题知，BD 选项不能同时选择，该同学可以选择单选、双选和三选正确答案是两选项的可能情况为 AB，AC，AD，BC，CD，每种情况出现的概率均1112510；正确答案是三选项的可能情况为 ABC，ACD，每种情况出现的概率为111224；若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下：1112()33231045E A 分，1127()23 1310420E B 分，1112()33231045E C 分，1127()23 1310420E D 分若该同学做出的决策是双选，则得分
9、的期望如下：#QQABKYQQogAAABAAAQgCQwX4CAGQkBGAAAoOwBAAoAIBCRFABAA=#1127()6310420E AB 分，1121()62310410E AC 分，1127()6310420E AD 分，1127()6310420E BC 分，1127()6310420E CD 分若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：13()642E ABC 分，13()642E ACD 分经比较，该同学选择单选 A 或单选 C 的得分期望最大，最大值为125分 15 分18【解析】(1)圆C过点41P，(2,3)M和(2,1)N，因此可以知道圆心在直线1y 上，故
10、可设圆心(,1)C a，又由于圆C过点(4,1)P，所以2a，2r，故圆的方程为22(2)(1)4xy，可得点(0,1)F，因此，抛物线E的方程为24xy7 分(2)由条件可知，直线AB的斜率必存在，不妨设为k，则直线AB的方程为：1(4)yk x 即41ykxk，由2441xyykxk得241640 xkxk，其中2216641616(41)0kkkk，即23k 或23k，设11(,)A x y，22(,)B xy，过A，B点的抛物线的切线的斜率分别为1k，2k，则124xxk，12164x xk，112xk，222xk，过A点的抛物线的切线方程为2111()42xxyxx，即21124xx
11、yx，同理，过B点的抛物线的切线方程为22224xxyx由2112222424xxyxxxyx得121222414xxxkx xyk，即(2,41)Qkk，所以点Q在直线21yx上，而点M也在直线21yx上，故直线QM与圆C的另一个交点就是直线21yx与圆C的交点，#QQABKYQQogAAABAAAQgCQwX4CAGQkBGAAAoOwBAAoAIBCRFABAA=#由22(2)(1)421xyyx得2515xy 或23xy，故直线QM与圆C的另一个交点为定点2155（，）17 分19【解析】(1)法一：132,0,211(,)|2|2|2,04,2232,4,2xxd M Nxyxxxx
12、xx则1(,)2d M N，即1(,)d M N的最小值是 2223,0,(,)|2|22|2,01,32,1,x xd M Nxyxxxxxx则2(,)1d M N，即2(,)d M N的最小值为 15 分法二：1N在直线20 x y 上，如图所示1()d MN，的最小值即为1MN，此时1(0 2)(0 0)MN，12MN，即1(,)d M N的最小值是 22N在 直 线20 xy上，如 图 所 示2()d MN，的 最 小 值 即 为2MN，此 时2(0 2)(1 2)MN，21MN，即2(,)d M N的最小值为 1(2)解析：法一：当21k 时：(,)=2d M Nxy，点,)x y（
13、为直线221 0 x k yk(0)k 上一动点，则当21k 时222222212121(,)=222xxxd M Nxkkkkkkkkk，即221()=2f kkk当21k 时，222221(,)=221 2221xd M Nxxxkkkkkkk，2()=221f kkkN2.yOxN1x.Oy#QQABKYQQogAAABAAAQgCQwX4CAGQkBGAAAoOwBAAoAIBCRFABAA=#所以221221,()=221,01,kkkf kkkk,又因为当1k 时21225kk，当01k时22215kk，所以()f k的最大值为5.9 分法二：根据(1)直线221 0 x k yk
14、(0)k 的斜率是21k，当211k，即01k时，如图所示()d MN，的最小值即为MN，此时2(0 2)(221 2)MNkk，220(221)221(01)MNkkkkk 当211k，即1k 时，如图所示()d MN，的最小值即为MN，此时212(0 2)(0)MNkk，2212122()2(1)MNkkkkk 所以22221,01,()=122,1,kkkf kkkk所以()f k的最大值为5(3)法一：令ekx，则elnkkxx，0ex()|e|e|max|ln|,|ln|kkd M Nmknx xx m nx xx m n，(max,a b表示a、b中的较大者)令()ln(0e)g
15、xxxxx，则()2ln0g xx在区间2(e,e内成立，()g x在区间2(e,e内为增函数，因此221(e)()(e)2eegg xg，令()ln(0e)h xxxxx，则()ln0h xx 在区间(1,e内成立，()h x在区间(1,e内为减函数，因此0(e)()(1)1hh xg，所以21()max|,|2e|,|,|1|ef mnmnmnmnmn，所以221|2e()|1 0|1e(,)max,e222ef m n，当21+=e2emn且211e2e2n时，取最小值17 分yOxN.xyON#QQABKYQQogAAABAAAQgCQwX4CAGQkBGAAAoOwBAAoAIBCR
16、FABAA=#法二：令ekx，则elnkkxx，0ex(,)d M N可视为点(,ln)P x xx到点(,)N m n的曼哈顿距离，其中点P在曲线段ln(0e)yxxx上作曲线两条斜率为1的切线，再作过点(e e)D,且斜率为1的直线，这四条直线恰好形成把曲线段包围住的矩形ABCD，再分别以边长较长的边AD，BC为边，作曼哈顿正方形ADFE，BCHG计算可得曼哈顿正方形半径为21e+2e，即(,)f m n的最小值是21e+2e，此时两正方形的中心分别为21(e)2e,，2111(,e)22e2.当21=e2em+n且211e2e2n时，取最小值17 分#QQABKYQQogAAABAAAQgCQwX4CAGQkBGAAAoOwBAAoAIBCRFABAA=#