《2024届岳阳高三下学期考情信息卷数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届岳阳高三下学期考情信息卷数学试题含答案.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2024 届高考信息卷2024 届高考信息卷数学试题卷数学试题卷一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n，关于,x y z的方程nnnxyz没有正整数解”，经历三百多年，1995 年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（）A对任意正整数2n，关于,x y z的方程nnnxyz都没有正整数解B对任意正整数2n，关于,x y z的方程nnnxyz至少存在一组正整数解C存在正整数2n，关于,x y z的方程nnnxyz至少存在一组正整数解D存在
2、正整数2n，关于,x y z的方程nnnxyz至少存在一组正整数解2若复数 z 满足2i45izz，则 z 在复平面中对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知1cos65，则5sin26（）A325B325C2325D23254函数 112xfx的定义域为（）A0,B0,C,0D,05 把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（）A29B827C49D126 已知正项数列 na满足对任意正整数 n，均有2212nnaa，2124nnaa，则2023222aa（）A26992B2
3、7022C27052D270827 已知双曲线)0,0(1:2222babyaxC的左、右焦点分别为21FF、，点A在C上，点B在y轴上，011BFAF，AFBF22，则双曲线C的离心率为（）A312B31C512D518设方程ee0 xx和lne0 xx的根分别为p和q，函数 exf xpq x，#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#2024届岳阳高三下学期考情信息卷数学试题+答案则（）A 42033fffB 24033fffC 24033fffD 24033fff二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分
4、。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9下列结论正确的是（）A经验回归直线axby恒过样本点的中心）（yx,，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好B在一个22列联表中，由计算得2的值，那么2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大C若散点图中所有点都在直线1xy上，则相关系数1rD根据分类变量 x 与 y 的成对样本数据，计算得22.974依据0.05的独立性检验23.8410.05P，则变量 x 与 y 独立10在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，若53cossin53cossin,10,BAA
5、B cABC的面积为 16，则下列结论正确的是（）AABC是直角三角形BABC是等腰三角形CABC的周长为 32DABC的周长为2 41 1011如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，,E F G分别是111,AB BB BC的中点，则以下说法正确的是（）A1/DC平面 EFGB直线 EG 与平面 ABCD 所成角的正弦值为63#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#C异面直线 EG 和 BC 所成角的余弦值为63D若动直线 A1M 与直线 AC 的夹角为 30，且与平面 EFG 交于点 M，则点 M 的轨
6、迹构成的图形的面积为4三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12已知向量2,3a，1,2b，9,4p ，若pmanb，则mn13甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是(01)pp，且各局比赛结果相互独立若甲以3:1获胜的概率不低于甲以 3:2获胜的概率，则 p 的取值范围为14已知关于x的不等式3ln1xexaxx对于任意(1,)x恒成立，则实数a的取值范围为四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数 32f xxaxbxc在23
7、x 与1x 时都取得极值.(1)求,a b的值与函数 fx的单调区间.(2)求该函数在 5,5x 的极值.(3)设1,2x，若2()f xc恒成立，求c的取值范围.16如图，直四棱柱1111ABCDABC D的底面为平行四边形，,M N分别为1,AB DD的中点.(1)证明：DM平面1ABN；(2)若底面ABCD为矩形，24ABAD，异面直线DM与1AN所成角的余弦值为105，求1B到平面1ABN的距离.#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#1711 分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得 1分，
8、先得 11 分且至少领先 2 分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成 1010 后，每球交换发球权，领先 2 分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11 分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时甲得分的概率为12，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为 1010.(1)求再打两个球甲新增的得分 X 的分布列和均值；(2)求第一局比赛甲获胜的概率0p；(3)现用0p估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.18在平面直角坐标系 xOy 中，点.5,0F，点,P x y
9、是平面内的动点.若以 PF 为直径的圆与圆22:1D xy相切，记点 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程;(2)设点(1,0),(0,),(0,4)(2)AMtNt t，直线 AM，AN 分别与曲线 C 交于点 S，T(S，T 异于 A)，过点 A 作AHST，垂足为 H，求|OH的最大值.19已知*12,4na aanNn均为非负实数,且122naaa.证明:（1）当4n时,122334411a aa aa aa a;（2）对于任意的*,4nNn,1223111nnna aa aaaa a#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQF
10、ABCA=#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#数学 第 1 页（共 6 页）数学 第 2 页（共 6 页）数学 第 3 页（共 6 页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题答题卡姓名：_ 班级：_ 准考证号：_ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！一、单选题（共 40 分）二、多选题（共 18 分）1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D
11、4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 三、填空题（每小题 5 分，共 15分）12_ 14_ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！16（15分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！考生条形码粘贴处 四、解答题（共 77分，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）15（13 分）13_ 此区域禁止答题需要无水印版加微信gzsx3333#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAM
12、sAAASQFABCA=#数学 第 4 页（共 6 页）数学 第 5 页（共 6 页）数学 第 6 页（共 6 页）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17（15 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18（17 分）19.（17 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFy
13、CgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 1页，共 16页参考答案：参考答案：1D【分析】由全称量词命题的否定的定义即可得解.【详解】“对任意正整数2n，关于,x y z的方程nnnxyz没有正整数解”的否定为：存在正整数2n，关于,x y z的方程nnnxyz至少存在一组正整数解.故选：D.2D【分析】设izab，代入条件根据复数相等求出,a b，进而可得 z 在复平面中对应的点所在象限.【详解】设izab，则由2i45izz 得i24iii5abab，整理得22i45iabab，所以2425abab，解得12ab，所以12zi 在复平面中对应的点为()1,2-，在第
14、四象限.故选：D.3C【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式即可.【详解】因为25sin2sin 2cos22cos166266，所以5123sin2162525 .故选：C.4A【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域.【详解】对于函数 112xfx，有1102x，可得011122x，解得0 x，因此，函数 fx的定义域为0,.故选：A.#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 2页，共 16页5C【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】一共有33327 个小正方体，其中2个面有颜
15、色的小正方体有12个，（每条棱上有1个）所以恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为124279.故选：C6B【分析】根据数列递推式推出21312nnaa，以及32122nnaa，由此即可求得答案.【详解】由题意知正项数列 na满足对任意正整数 n，均有2212nnaa，2124nnaa，故221212(1)12(2)12()1113888882nnnnnnnn naaaaaaa，132112212(1)12 8222nnnnnaaaaa，故20232 1011 122130333 111 233112 111122,22aaaaaaa，故23033127020232211233222aaaa，
16、故选：B7A【分析】根据直角三角形的性质可得出4ABc，推导出12BFF为等边三角形，求出1AF、2AF，利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.【详解】因为22F BF A uuu ruuu r，则2F为线段AB的中点，因为110F A FB，则11AFBF，则1224ABFFc，因为O为12FF的中点，12OBFF，则1212122BFBFABcFF，#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 3页，共 16页所以，12BFF为等边三角形，由勾股定理可得222211422 3AFABBFccc，由双曲线的定义可得1
17、22AFAFa，即2 322cca，因此，该双曲线的离心率为13123 1cea.故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.8B【分析】方法一：先利用方程的根与图象的交点的关系，及互为反函数的两个函数图象关系推得epq，由此得到 eexf xx，再由函数的单调性易得 203ff，构造函数 4341e3g xxxx与 4233213h xxxx x，利用导数
18、证得 403ff与4233ff，从而解出.【详解】方法一方法一：由ee0 xx得eexx ，由lne0 xx得lnexx ，因为方程ee0 xx的根为p，所以函数exy 与eyx 的图象交点P的横坐标为p，同理：函数lnyx与eyx 的图象交点Q的横坐标为q，因为exy 与lnyx互为反函数，所以两函数图象关于yx对称，易知直线yx与直线eyx 互相垂直，所以,P Q两点关于直线yx对称，即,P Q的中点M一定落在yx，亦即点M为yx与eyx 的交点，联立eyxyx ，解得e2e2xy ，即ee,22M，所以epq，故 eeexxfxpq xx，则 eexfx，#QQABZYQAogCgAoA
19、AARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 4页，共 16页令()0fx，得1x；令 0fx，得1x；所以 fx在,1上单调递减，在1,上单调递增，所以 203ff，而 01f，2322ee33f，4344ee33f，则 43440ee 133ff，4242333342422eeeeeee33333ff，令 4341e3g xxxx，则 11133344444ee1033333gxx，所以 g x在e,上单调递增，所以 4433e3350 381 1255gg，即434ee 1，得1x；令 0fx，得1x；所以 fx在,1上单调递减，在1,上单调递增，所
20、以 203ff，#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 5页，共 16页而 01f，2322ee33f，4344ee33f，因为e1xx，当且仅当0 x 时取等号，所以e1xx ，当0,1x时，1e1xx，所以413344414e1ee=e ee133336213f，即 403ff，下面比较42,33ff的大小关系，设 2g xf xfx，0,1x，所以 2222eeeeee2e2 e2e0 xxxxxxgxfxfx ，故 g x在0,1x上递增，10g xg，即有222033ff，亦即4233ff，综上：24033f
21、ff.故选：B.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题（4）考查数形结合思想的应用9BD【分析】根据案例分析的相关知识逐项分析判断.【详解】对于选项 A：经验回归直线ybxa$恒过样本点的中心,x y，拟合效果是整体效果，与在经验回归直线上的样本点的多少无关，如果在经验回归直线上的样本点增多，但其他点偏离程度增大，相应的残
22、差的平方和仍可能会增大，拟合效果也会变差，故 A 错误；对于选项 B：对于2可知：2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，故 B 正确；对于选项 C：因为r越接近于 1，线性相关性越强，若散点图中所有点都在直线1yx 上，则1r，但此时为负相关0r，所以1r ，故 C 错误；对于选项 D：因为22.9743.841，#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 6页，共 16页依据0.05的独立性检验可知，没有足够的把握认为变量 x 与 y 有关，所以变量 x 与 y 独立，故 D 正确；故选：BD.10AD【分析】由
23、53cossin53cossinBAAB，10c，可得6ab，再由面积为 16，求出sincos1CC，求出2C，进而判断选项.【详解】因为53cossin53cossinBAAB，所以5sin5sin3sin cos3cos sin3sin3sinABABABABC，所以553abc.因为10c，所以6ab.因为22222cos()22coscababCabababC，所以321 cosabC.因为1sin2SabC16，所以sin32abC，可得sincos1CC，则2sin14C，即2sin42C.又因为0C，所以2C，A 正确.由上知32ab，可得22()()42 41,413,413
24、,ababababababc，B 错误.ABC的周长为2 41 10，C 错误，D 正确.故选：AD11ABD【分析】连接11,AB DC,证明1DCEF,进而判断选项 A;建立直角坐标系，平面ABCD的法向量1DD，求解直线EG与平面ABCD的正弦值，判断选项 B；利用向量求解EG 与BC 的余弦值，判断选项 C；根据直线1AM与直线AC的夹角为30,求出 M 的轨迹，求出其面积，判断选项 D.【详解】对于 A，连接11,AB DC，则11ABDC，又,E F分别为1,AB BB中点，所以1ABEF,所以1EFDC,#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGA
25、FAMsAAASQFABCA=#答案第 7页，共 16页又1DC 平面EFG,且EF 平面EFG,所以1DC 平面EFG，故 A 选项正确；对于 B，建立如图所示空间直角坐标系，11,02E，11,1,2F,1,1,12G,1,1,0B,0,1,0C,则1 1,12 2EG ,平面ABCD的法向量10,0,1DD ，则1116cos,3EG DDEG DDEG DD ，故直线EG与平面ABCD的正弦值为63，故 B 选项正确；对于 C,1,0,0BC ,则162cos,662EG BCEG BCEG BC ,所以异面直线EG与BC的余弦值为66，故选项 C 错误；对于 D，根据直线1AM与直线
26、AC的夹角为30，形成以 AC 为对称轴，以 AM 所在的线段为母线的圆锥，又因为1ACGF,1ACEF,GFEFF,GF EF 平面 EFG,所以1AC 平面 EFG，则M的轨迹是半径为12，则面积为4，故选项 D 正确.故选：ABD【点睛】根据题意建立空间直角坐标系，求出方向向量和法向量，空间想象能力的培养尤其重要.127【分析】首先求出manb的坐标，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可.【详解】因为2,3a，1,2b，所以2,31,22,32manbmnmnmn，#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第
27、8页，共 16页又9,4p 且pmanb，所以29324mnmn，解得25mn，所以7mn.故答案为：7131,12【分析】先分别求出甲以3:1获胜的概率1p和甲以3:2获胜的概率2p；再由12pp求解即可.【详解】由题意可得：甲以3:1获胜的概率为22313C13 1ppp pp p，甲以3:2获胜的概率2222324C16 1pppppp.因为12pp，所以2333 16 1p ppp，解得：12p.又因为01p，所以112p.故答案为：1,12.14,3【解析】先将不等式3ln1xexaxx对于任意(1,)x恒成立,转化为3ln1lnxxexax任意(1,)x恒成立，设 3ln1lnxx
28、exf xx，求出 fx在1,内的最小值,即可求出a的取值范围.【详解】解：由题可知，不等式3ln1xexaxx对于任意(1,)x恒成立，即33ln3ln31111lnlnlnlnxxxxxxexx exeexexxaxxxx，又因为(1,)x，ln0 x，3ln1lnxxexax 对任意(1,)x恒成立，设 3ln1lnxxexfxx，其中1,x，#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 9页，共 16页由不等式1xex，可得：3ln3ln1xxexx，则 3ln13ln113lnlnxxexxxxf xxx ，当3l
29、n0 xx时等号成立，又因为3ln0 xx在1,内有解，min3f x，则 min3af x，即：3a ，所以实数a的取值范围：,3.故答案为：,3.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.15(1)1,22ab ，增区间2,1,3，减区间2,13(2)极大值是2227c，极小值是32c(3)1c 或2c【分析】（1）求导，根据极值点是导函数的零点列方程求解，然后根据导函数的正负确定单调性；（2）先确定单调性，再确定极值即可；（3）先根据单调性求最值，然后将恒成立问题转化为最值求解即可.【详解】（1）由已知 232fx
30、xaxb，由于 f x在23x 与1x 时都取得极值，所以221332133ab ，解得1,22ab ，所以 2321 32fxxxxx，所以在2,1,3上 0,fxf x单调递增，在2,13上 0,fxf x单调递减，所以23f是 f x的极大值，1f是 f x的极小值.#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 10页，共 16页所以1,22ab ，单调增区间2,1,3，单调减区间2,13；（2）32122fxxxxc，由（1）得 f x在25,3上单调递增，在2,13上单调递减，在1,5上单调递增，所以在区间5,5上
31、，极大值是32221222223323327fcc，极小值是 1311222fcc ；（3）由（1）可知在区间21,1,23上 f x单调递增，在区间2,13上单调递减，又222327fc，2282423fccf，所以 f x在区间1,2上的最大值是 22fc，2()f xc在区间1,2上恒成立，所以22cc，220cc，解得1c 或2c.16(1)证明见解析(2)2 63.【分析】（1）通过证明DM平行于面1ABN内的一条直线，即可证明DM平面1ABN；（2）建立空间直角坐标系，设出1AA的长并表达出各点坐标，利用异面直线DM与1A N所成角的余弦值得出11,A B N，求出平面1ABN的一
32、个法向量，即可得出1B到平面1ABN的距离.【详解】（1）连接1AB，交1AB于点E，连接,NE ME，#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 11页，共 16页则E为1AB的中点，因为M为AB的中点，所以ME1AA，且112MEAA，因为N为1DD的中点，所以DN111,2AA DNAA，所以MEDN，且MEDN，所以四边形EMDN为平行四边形，所以ENDM，又因为DM 平面1,ABN EN 平面1ABN，所以DM平面1ABN.（2）由题意（1）及几何知识得，在直四棱柱1111ABCDABC D中，24ABAD，1,
33、AB AD AA两两垂直，以A为坐标原点，分别以1,AB AD AA所在直线为x轴y轴z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设12(0)AAt t，则4,0,0,0,2,0BD，10,0,2,2,0,0,0,2,AtMNt，114,0,2,2,2,0,0,2,BtDMANt .#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 12页，共 16页设异面直线DM与1AN所成角为，则112222214210coscos,54222DM ANDM ANDMANtt ，解得：1t，故110,0,2,0,2,1,4,0,2ANB，则1114,0
34、,2,0,2,1,0,0,2ABANBB 设平面1ABN的一个法向量为,nx y z，1B到平面1ABN的距离为d.所以110,0,AB nAN n 即420,20,xzyz取2z，得1,1,2n.所以12220 1 0 1 2 242 636112B B ndn ，即1B到平面1ABN的距离为2 63.17(1)分布列见解析，均值76(2)023p(3)6481【分析】（1）易知X的所有可能取值为0,1,2，根据条件概率公式可求得对应概率取值可得分布列和均值；（2）根据获胜规则求出第一局比赛甲获胜概率的表达式，解得023p；（3）由五局三胜制的规则，可知Y的所有可能取值为3,4,5，求出对应
35、概率相加即可求得甲获胜的概率为6481.【详解】（1）依题意，X的所有可能取值为0,1,2设打成10:10后甲先发球为事件A，则乙先发球为事件A，且1()()2P AP A，#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 13页，共 16页所以1111111(0)()(0)()(0)2322236P XP AP XAP AP XA|，11121111121(1)()(1)()(1)23232223232P XP AP XAP AP XA1211121(2)()(2)()(2)2322233P XP AP XAP AP XA|.
36、所以X的分布列为X012P161213故X的均值为11170126236E X .（2）设第一局比赛甲获胜为事件B，则|00,|1,|21P B XP B XP BP B X.由（1）知，1110,1,2623P XP XP X，由全概率公式，得 0|01|12|2P BP XP B XP XP B XP XP B X 1110,623P B解得 23P B，即第一局比赛甲获胜的概率023p.（3）由（2）知023p，故估计甲每局获胜的概率均为23，根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为Y，因为每局的比赛结果相互独立，所以Y的所有可能取值为3,4,5，因此可得3332123428218
37、21163,4C,5C32733273381P YP YP Y；故该场比赛甲获胜的概率6434581PP YP YP Y.18(1)22:14yC x(2)21【分析】#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 14页，共 16页（1）设(,)P x y，根据1|12OGPF代入坐标化简得到轨迹方程；（2）设直线:STymxn，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，求出,M N的纵坐标，从而有1212411yyxx，代入韦达定理式化简得20mn，从而得到直线ST所过定点，得到H点轨迹方程，从而得到最大值.【详解】（1）设(,
38、)P x y，则PF的中点5,22xyG，根据题意得1|12OGPF，即222251(5)1222xyxy，整理得2222(5)(5)2xyxy，化简整理，得点P的轨迹方程22:14yC x.（2）设1122,S x yT xy，由对称性可知直线ST的斜率存在，所以可设直线:STymxn，联立直线ST与曲线C的方程，得2214yxymxn，消元整理，得2224240(2)mxmnxnm，则22040nm，212122224,44mnnxxx xmm 所以11:(1)1yAS yxx，令0 x，得点M纵坐标111ytx，同理可得点N纵坐标2241ytx ，故1212411yyxx，将1122,y
39、mxn ymxn代入上式整理，得1212(24)(4)420mx xnmxxn，将代入得222220()(2)0mmnnmnmn mn，若0mn，则直线:(1)STym x，恒过(1,0)A不合题意；若20mn，则:(1)2STym x，恒过(1,2)Q，因为直线ST恒过(1,2)Q，且与22:14yC x 始终有两个交点，又(1,0)A，#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 15页，共 16页AHST，垂足为H，所以点H轨迹是以AQ为直径的圆（不含点A），设AQ中点为E，则圆心(1,1)E，半径为 1，所以|121
40、OHOE，当且仅当点H在线段OE上时，OH取最大值21.【点睛】关键点点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入化简求出直线ST恒过(1,2)Q，则得到点H轨迹，最后求出最值,19（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）当4n时,124,a aa均为非负实数,且12342aaaa,可得 2312412233441312412aaaaa aa aa aa aaaaa,即可求得答案;（2）当4n时,由（1）可知,命题成立,利用数学归纳法证明,即可求得答案.【详解】（1）当4n时,124,a aa均为非负实数,且12342aaaa,12233441a aa aa
41、aa a213431aaaaaa 23124312412aaaaaaaa当且仅当3124aaaa时取等号（2）当4n时,由（1）可知,命题成立;假设当(4)nk k时,命题成立,即对于任意的4k,若12,kx xx均为非负实数,#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#答案第 16页，共 16页且122kxxx,则1223111kkkx xx xxxx x当1nk时,设1212kkaaaa,并不妨设1121max,kkkaa aa a令1122311,kkkkxaa xa xaxa则122kxxx由归纳假设可知1223111kk
42、kx xx xxxx x.123,a a a均为非负实数,且11kaa121123112kkx xx xaaaaaa231 1131212231 1kkka aaaa aaaa aa aaa 12123112231 13411kkkkkkx xx xx xxxa aa aaaa aa a 即122311 11kkka aa aa aaa也就是说,当1nk时命题也成立由可知,对于任意的1223114,1nnnna aa aaaa a【点睛】本题考查了运用数学归纳法证明不等式成立,解题关键是掌握数学归纳法的证明步骤和灵活使用放缩法,考查学生分析能力和解决问题的能力,属于难题.#QQABZYQAogCgAoAAARhCUQFyCgMQkAGACIoGAFAMsAAASQFABCA=#