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1、2024年初二上册数学期末考试专项复习线段、角的轴对称性知识讲解【学习目标】1理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运用角的平分线的性质解决问题【要点梳理】要点一、线段的轴对称性1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上要点诠释：线段的垂直平分
2、线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心外心.要点二、角的轴对称性1.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：（1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.若CD平分ADB，点P是CD上一点，且PEAD于点E，PFBD于点F，则PEPF.
3、（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.若PEAD于点E，PFBD于点F，PEPF，则PD平分ADB2.角平分线的画法角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.【典型例题】类型一、线段的轴对称性1、如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（）A13B15C17D19【思路点拨】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=
4、15，求出ABD的周长为AB+BC，代入求出即可【答案与解析】解：AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，ABC的周长为23，AB+BC+AC=23，AB+BC=238=15，ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选B【总结升华】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等举一反三：【变式】某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等在图中确定休息点M的位置【
5、答案】解：作线段AC的垂直平分线交AB于M点，则点M即为所求2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MPPQQN最短【思路点拨】通过轴对称变换，将MP转化为P，QN转化为Q，要使总路程MPPQQN最短，就是指PPQQ最短，而这三条线段在一条直线上的时候最短.【答案与解析】见下图作点M关于OA的对称点，作点N关于OB的对称点，连接交OA于P、交OB于Q，则MPQN为最短路线【总结升华】本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边之和大于第三边的
6、性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题.举一反三：【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MPPQ最短【答案】作点M关于OA的对称点，过作OB的垂线交OA于P、交OB于Q，侧MPQ为最短路线如图：类型二、角的轴对称性3、如图, ABC中, C 90, AC BC, AD平分CAB, 交BC于D, DEAB于E, 且AB6, 则DEB的周长为( ) A. 4B. 6C.10D. 以上都不对【答案】B；【解析】由角平分线的性质，DCDE，DEB的周长BD DEBE BDDCBEA
7、CBEAEBEAB6.【总结升华】将DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：【变式】已知：如图，AD是ABC的角平分线，且，则ABD与ACD的面积之比为（ ）A3：2 B C2：3 D.【答案】B；提示：AD是ABC的角平分线，点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又，则ABD与ACD的面积之比为4、如图，OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PDOA交于点D，PEOB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论【思路点拨】利用角平分线的性质证明PDPE，再根据“HL”定理证明OPDOPE，从而得到OPDOPE，DPFEPF再证明DPFEP
8、F，得到结论.【答案与解析】解：DFEF理由如下：OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PDOA交于点D，PEOB交于点E，PDPE，由HL定理易证OPDOPE，OPDOPE，DPFEPF在DPF与EPF中，DPFEPF，DFEF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.5、（2015春启东市校级月考）如图，已知BD为ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PMAD于M，PNCD于N，求证：PM=PN【思路点拨】根据角平分线的定义可得ABD=CBD，然后利用“边角边”证明ABD和CBD全等，根据全等三角形对应角相
9、等可得ADB=CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可【答案与解析】证明：BD为ABC的平分线，ABD=CBD，在ABD和CBD中，ABDCBD（SAS），ADB=CDB，点P在BD上，PMAD，PNCD，PM=PN【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到ADB=CDB是解题的关键举一反三：【变式】如图，AD是BAC的平分线，DEAB，交AB的延长线于点E，DFAC于点F，且DBDC.求证：BECF.【答案】证明：DEAE，DFAC，AD是BAC的平分线， DEDF，BEDDFC90 在RtBDE与RtCD
10、F中， RtBDERtCDF（HL） BECF等腰三角形性质及判定（基础）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直2. 掌握等腰三角形的判定定理3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在ABC中，ABAC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,A是顶角，B、C是底角要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45.等腰三角形的底角只能为锐角，
11、不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.A1802B，BC .要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”
12、）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题1、如图，在ABC中，D在BC上，且ABACBD，130，求2的度数.【答案与解析】解： ABAC B C ABBD 23 21C 21B 23B180 B18022 2118022 321180 130 270【总结升华】解该题的关键是要找到2和1之间的关系，显然21C，只要再找出C与2的关系问题就好解决了，而CB，所以把问题转化为ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以
13、通过建立方程进行解决.举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，ACBCBD，ADAE，DECE，求B的度数【答案】解：ACBCBD，ADAE，DECE，设ECDEDC，BCDBDC，则AEDADE2，AB1804在ABC中，根据三角形内角和得，18041804180又A、D、B在同一直线上，2180由 ，解得36B180418014436.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40，求其余各角【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.【答案与解析】解：(1)当40的
14、角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和18040140，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数；(2)当40的角为底角时，另一个底角也为40，则顶角的度数1804040100其余各角为70，70或40，100 【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.3.已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组（1）求a、b的值（2）求这个等腰三角形的周长【答案与解析】解：（1），2得5b=15，解得b=3，把b=3代入得2a+3=13，解得a=5；（2）若a=5为腰长，5+53满足，此时三角形周长为：52+3=13；若b=3为腰长，3+
15、35满足，此时三角形周长为：32+5=11【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题举一反三：【变式】若x，y满足|x3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（）A 12B14C15D12或15【答案】C.解：根据题意得，x3=0，y6=0，解得x=3，y=6，3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，3+3=6，不能组成三角形，3是底边时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长=3+6+6=15，所以，三角形的周长为15故选C类型三、等腰三角形性质和判定综合应用4、已知：如图，ABC中，ACB45，ADBC于D，C
16、F交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，BADFCD求证：（1）ABDCFD；（2）BEAC【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知ADDC，易证ABDCFD，要证BEAC，只需证BEC90即可，DFBD，可知FBD45，由已知ACD45，可知BEC90.【答案与解析】证明：(1) ADBC， ADCFDB90. ， ADCD ， ABDCFD (2)ABDCFD BDFD. FDB90， . ， . BEAC 【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证ABDCFD，推出BD=FD
17、，求出FBD=BFD=45举一反三：【变式】如图，已知BAC=90，ADBC于点D，1=2，EFBC交AC于点F试说明AE=CF【思路点拨】作EHAB于H，作FGBC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明AEHCFG即可【答案与解析】解：作EHAB于H，作FGBC于G，1=2，ADBC，EH=ED（角平分线的性质）EFBC，ADBC，FGBC，四边形EFGD是矩形，ED=FG，EH=FG，BAD+CAD=90，C+CAD=90，BAD=C，又AHE=FGC=90，AEHCFG（AAS）AE=CF【总结升华】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性
18、质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点等腰三角形性质及判定（提高）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直2. 掌握等腰三角形的判定定理3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在ABC中，ABAC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,A是顶角，B、C是底角要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45.等腰三角形的底角只能为锐角，不
19、能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.A1802B，BC .要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）
20、. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为( ) A60 B120 C60或150 D60或120【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答(1)顶角为锐角如图，按题意顶角的度数为60； (2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0不符合题意； (3)顶角为钝角如
21、图，则顶角度数为120，故此题应选D【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.举一反三：【变式】等腰三角形有一个外角是100，这个等腰三角形的底角是 【答案】50或80解：若100的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180100=80，则其底角为：（18080）2=50；若100的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180100=80；故这个等腰三角形的底角为：50或80故答案为：50或80类型二、等腰三角形的操作题2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线
22、，把ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：A与B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？（1）如图ABC中，C90，A24；猜想：（2）如图ABC中，C84，A24；猜想：【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.【答案与解析】（1）作图：猜想：AB90，（2）作图：猜想：B3A. 【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一.举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，ACB90，ACBC，如图，将纸片沿某
23、条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的CDF与BDE均为等腰三角形，那么纸片中的B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形【答案】解：若CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设B为度 145，2A90当BDBE时 3 ，4590180，30 . 经计算EDEB不成立.当DEDB时3180245901802180，45.综上所述，B30或45.类型三、等腰三角形性质判定综合应用3、如图，ABC中，C=2A，BD平分ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC（用两种方法）【思路点拨】方法一：先在AB上取BE=
24、BC，根据SAS证出CBDEBD，得出CD=ED，C=BED，再证明A=ADE，得出AE=DE=CD，最后根据AB=BE+AE，即可得出答案；方法二：先延长BC至F，使CF=CD，得出F=CDF，再利用AAS证出ABDFBD，得出AB=BF，最后根据BF=BC+CF=BC+CD，即可得出答案【答案与解析】解；方法一：在AB上取BE=BC，BD平分ABC交AC于D，CBD=EBD，在CBD和EBD中，CBDEBD（SAS），CD=ED，C=BED，C=2A，BED=2A，BED=A+ADE，A=ADE，AE=DE，AE=CD，AB=BE+AE，AB=CD+BC；方法二：延长BC至F，使CF=CD
25、，则F=CDF，ACB=F+CDF，ACB=2F，ACB=2A，A=F，在ABD和FBD中，ABDFBD（AAS），AB=BF，BF=BC+CF，BF=BC+CD，AB=BC+CD【总结升华】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形举一反三：【变式】如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求证：ACBF【答案】 证明：延长AD至点G，使DGAD，连接BG.ABCDEFG 4、如图，ACBC，ACB90，A的平分线AD交BC于点D，过点B作BEAD于点E.求证：BEAD.【答案与解析】 证明：如图，延长BE、AC交于点F.12，AEAE，AEBAEF90，AEBAEF（ASA）.BEFEBF.390F2，BCAC,BCFACD（ASA）BFAD，BEAD.【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决举一反三：【变式】已知，如图，AD为ABC的内角平分线，且ADAB，CMAD于M. 求证：AM(ABAC) 【答案】证明：延长AM至点E，使MEAM，连接CE.