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1、2024年初二上册数学期末考试专项复习全等三角形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质， 会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必
2、须有一组对应边相等要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路要点三、角平分线的性质1.角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角
3、形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2 证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4 辅助线的添加:(1)作公共
4、边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、巧引辅助线构
5、造全等三角形(1)倍长中线法1、已知，如图，ABC中，D是BC中点，DEDF,试判断BECF与EF的大小关系，并证明你的结论.【思路点拨】因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DGDF,证明EDGEDF，FDCGDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了BEG中，利用两边之和大于第三边可证.【答案与解析】BECFEF；证明：延长FD到G，使DGDF,连接BG、EGD是BC中点BDCD又DEDF在EDG和EDF中EDGEDF（SAS）EGEF在FDC与GDB中FDCGDB(SAS)CFBGBGBEEGBECFEF【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的
6、线段）.举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是ABC与ADC的中线，且ACBABC求证：CD2CE【答案】证明： 延长CE至F使EFCE，连接BF EC为中线， AEBE在AEC与BEF中， AECBEF（SAS） ACBF，AFBE（全等三角形对应边、角相等）又 ACBABC，DBCACBA，FBCABCA ACAB，DBCFBC ABBF又 BC为ADC的中线， ABBD即BFBD在FCB与DCB中， FCBDCB（SAS） CFCD即CD2CE(2)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、如图，已知BAC=90，ADBC于点D，1=2，EFBC交AC于点F试说明AE=
7、CF【思路点拨】作EHAB于H，作FGBC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明AEHCFG即可【答案与解析】解：作EHAB于H，作FGBC于G，1=2，ADBC，EH=ED（角平分线的性质）EFBC，ADBC，FGBC，四边形EFGD是矩形，ED=FG，EH=FG，BAD+CAD=90，C+CAD=90，BAD=C，又AHE=FGC=90，AEHCFG（AAS）AE=CF【总结升华】本题考查了角平分线的性质；由角平分线构造全等，综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点举一反三：【变式】如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，
8、AB上，且HDBD.(1)求证：B与AHD互补；(2)若B2DGA180，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.【答案】证明：（1）在AB上取一点M, 使得AMAH, 连接DM. CADBAD, ADAD, AHDAMD. HDMD, AHDAMD. HDDB, DB MD. DMBB. AMDDMB 180, AHDB180. 即 B与AHD互补. （2）由（1）AHDAMD, HDMD, AHDB180. B2DGA 180, AHD2DGA. AMD2DGM. AMDDGMGDM. 2DGMDGMGDM. DGMGDM. MDMG. HD MG. AG AMMG,
9、 AG AHHD. （3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形3、如图，ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且APB=ABC（1）如图1，若BAC=60，点P恰巧在ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若BAC=60，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若BAC=120，请直接写出PA，PB，PC的数量关系【思路点拨】（1）AB=AC，BAC=60，证得ABC是等边三角形，APB=ABC，得到APB=60，又点P恰巧在ABC的平分线上，得到ABP=30，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果（2）在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，得到A
10、DP是等边三角形，再通过三角形全等证得结论（3）以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AFBP交BP于F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论【答案与解析】解：（1）AB=AC，BAC=60，ABC是等边三角形，APB=ABC，APB=60，又点P恰巧在ABC的平分线上，ABP=30，PAB=90，BP=2AP，AP=2，BP=4；（2）结论：PA+PC=PB证明：如图1，在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，APB=60，ADP是等边三角形，DAP=60，1=2，PA=PD，在ABD与ACP中，ABDACP，PC=BD，PA+PC=PB；（3）结论：PA+P
11、C=PB证明：如图2，以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AFBP交BP于F，AP=AD，BAC=120，ABC=30，APB=30，DAP=120，1=2，在ABD与ACP中，ABDACP，BD=PC，AFPD，PF=AP，PD=AP，PA+PC=PB【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，截长补短作辅助线构造全等三角形是解题的关键 举一反三：【变式】如图，AD是ABC的角平分线，ABAC,求证：ABACBDDC【答案】证明：在AB上截取AEAC,连结DEAD是ABC的角平分线，BADCAD在A
12、ED与ACD中AEDADC（SAS）DEDC在BED中，BEBDDC即ABAEBDDCABACBDDC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段4、如图，已知BAC=90，ADBC于点D，1=2，EFBC交AC于点F试说明AE=CF【思路点拨】作EHAB于H，作FGBC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明AEHCFG即可【答案与解析】解：作EHAB于H，作FGBC于G，1=2，ADBC，EH=ED（角平分线的性质）EFBC，ADBC，FGBC，四边形EFGD是矩形，ED=FG，EH=FG，BAD+CAD=90，C+CAD=90，BAD=C，又AHE
13、=FGC=90，AEHCFG（AAS）AE=CF【总结升华】本题考查了角平分线的性质；已知角平分线，构造全等三角形，综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点5、如图所示，在ABC中，AC=BC，ACB=90，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E， ，求证：BD是ABC的平分线【答案与解析】证明：延长AE和BC，交于点F，ACBC，BEAE，ADE=BDC（对顶角相等），EAD+ADE=CBD+BDC即EAD=CBD在RtACF和RtBCD中所以RtACFRtBCD（ASA）则AF=BD（全等三角形对应边相等）AE=BD，AE=AF，即AE=EF在RtBEA和Rt
14、BEF中，则RtBEARtBEF（SAS）所以ABE=FBE（全等三角形对应角相等），即BD是ABC的平分线【总结升华】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题6、在ABC中，ACB90，ACBC，直线经过顶点C，过A，B两点分别作的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.（1）如图1当直线不与底边AB相交时，求证：EFAEBF.（2）将直线绕点C顺时针旋转，使与底边AB相交于点D，请你探究直线在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，ADBD；ADBD；ADBD.【答案与解析】证
15、明：（1）AE，BF，AECCFB90，1290ACB90，239013。在ACE和CBF中，ACECBF（AAS）AECF，CEBFEFCECF，EFAEBF。（2）EFAEBF，理由如下：AE，BF，AECCFB90，1290ACB90，2390，13。在ACE和CBF中ACECBF（AAS）AECF，CEBFEFCFCE，EFAEBF。EFAEBFEFBFAE证明同.【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数
16、量关系是否还存在是解题的关键；(3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化.举一反三：【变式】如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AEEF，EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F【探究展示】（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：BAE+EFC=DCF（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），BAE+EFC=DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF【答案】（1）证明：取AB的中点M，连结EM，如图
17、1：M是AB的中点，E是BC的中点，在正方形ABCD中，AM=EC，CF是DCG的平分线，BCF=135，AME=ECF=135，MAE=CEF=45，在AME与ECF中，AMEECF（SAS），BAE+EFC=FCG=DCF；（2）证明：取AB上的任意一点使得AM=EC，连结EM，如图2：AEEF，ABBC，BAE+BEA=90，BEA+CEF=90，MAE=CEF，AM=EC，在正方形ABCD中，BM=BE，AME=ECF=135，在AME与ECF中，AMEECF（SAS），BAE+EFC=FCG=DCF；（3）证明：取AB延长线上的一点M使得AM=CE，如图3：AM=CE，ABBC，AM
18、E=45，ECF=AME=45，ADBE，DAE=BEA，MAAD，AEEF，MAE=CEF，在AME与ECF中，AMEECF（SAS），AE=EF轴对称与轴对称图形-知识讲解（基础）【学习目标】1通过具体实例了解两个图形成轴对称的概念，能找出对称轴和对称点2了解两个图形关于某直线成轴对称和轴对称图形的联系与区别，理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形3欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应用和文化价值.4. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题5通过
19、学习，体验数学的对称美，激发学习数学的兴趣【要点梳理】要点一、轴对称与轴对称图形1.轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.要点诠释： 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称图形的定义把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合一个轴对称图形的对称轴不一
20、定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.3.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点二、轴对称的性质轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等.要点三、线段的垂直平分线定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线【
21、典型例题】类型一、判断轴对称图形1、下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）ABCD【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是.【答案】D；【解析】轴对称图形即能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合.【总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察，做到不重复、不遗漏.举一反三：【变式】下列图形中，对称轴最少的对称图形是 ( )【答案】A；提示：A一条对称轴，B四条对称轴，C五条对称轴，D三条对称轴.类型二、轴对称的应用2、将一个正方形纸片依次按图的方式对折，然后沿图中的虚线裁剪，成图样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图中的 （ ）【
22、答案】D；【解析】【总结升华】只需要根据对称轴补全图形就找能到答案.举一反三：【变式】将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ） 【答案】A；3、如图，点P在AOB内，M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分别交AO，BO于点E、F，若PEF的周长等于20cm，求MN的长【思路点拨】根据轴对称的性质可得ME=PE，NF=PF，然后求出MN=PEF的周长【答案与解析】解：M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，ME=PE，NF=PF，MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=PEF的周长，PEF的周长等于20cm，MN=2
23、0cm【总结升华】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等举一反三：【变式1】如图，ABC中，ABBC，ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的处，若点D为AB边的中点，A70，求BD的度数【答案】100； ABBC， AC70，B40 又ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的处，点D为AB边的中点， BDD，BDB40， BD1804040100.【变式2】将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形. 若56,则AED的大小是_.【答案】62；类型三、轴对称的作图4、如图
24、，ABC和关于直线MN对称，和关于直线EF对称.（1）画出直线EF； （2）直线MN与EF相交于点O，试探究与直线MN、EF所夹锐角之间的数量关系.【答案与解析】（1）如图；（2）2；（2）ABC和关于直线MN对称，和关于直线EF对称. BOM， ， 2【总结升华】在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.举一反三：【变式】在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（3，1）（1）将ABC沿y轴正方向平移3个单位得到A1B1C1，画出A1B1C1，并写
25、出点B1坐标；（2）画出A1B1C1关于y轴对称的A2B2C2，并写出点C2的坐标【答案】解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求；点B1坐标为：（2，1）；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求，点C2的坐标为：（1，1）轴对称与轴对称图形-知识讲解（提高）【学习目标】1通过具体实例了解两个图形成轴对称的概念，能找出对称轴和对称点2了解两个图形关于某直线成轴对称和轴对称图形的联系与区别，理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形3欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应用和文化价值.4. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线
26、段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题5通过学习，体验数学的对称美，激发学习数学的兴趣【要点梳理】要点一、轴对称与轴对称图形1.轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.要点诠释： 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称图形的定义把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.要点诠释：轴对称图
27、形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.3.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点二、轴对称的性质轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等.要点三、线段的垂直平分线
28、定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线【典型例题】类型一、判断轴对称图形的对称轴1、观察下图中的图案，问这些轴对称图形，各有几条对称轴?【思路点拨】对于一个图形的对称轴一定要按定义全方位地去找或按照定义实际操作一下，否则就容易造成漏解或找不到对称轴.【答案与解析】有 4条对称轴 有1条对称轴 有2条对称轴【总结升华】这类图形必须得认真观察、分析每个图形的特征，最好能动手操作一下举一反三：【变式1】试说出下列图形的对称轴的条数.（1）线段； （2）角； （3）平行线（两条）.【答案】（1）线段沿着本身所在直线或沿着它的中垂线折叠，两旁的部分能够完全重合.故线
29、段有两条对称轴；（2）角沿着它的平分线所在直线对折，两旁的部分能够完全重合，故只有一条对称轴，即角平分线所在直线；（3）两条平行线，沿着和它们都平行且到它们距离相等的一条直线或沿着和它们都垂直的直线对折，两旁的部分能够重合而和它们都垂直的直线有无数条故它的对称轴有无数条综上，线段、角、两条平行线的对称轴分别是 2条、l条、无数条【变式2】在44的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形那么符合条件的小正方形共有 个【答案】3解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形类型二、轴对称的应用2、如图所示，在正方形
30、中均匀地分布着一些数字，小明利用轴对称的思想，用了一种非常巧妙的方法，迅速地将这组数字和求了出来，你也能试试吗？ （1） 【思路点拨】 利用轴对称图形的对称点位置上的两数相加和为10来进行简便计算.【答案与解析】从数字组中可以看出，一条对角线上的数都是5，若把这条对角线当作对称轴，把正方形对折对折一下，对称点位置的两数之和都是10，如图（2）所示.方阵中的数之和为55+1010=125 （1） （2）【总结升华】数形结合是初中数学学习的一种重要的学习方法，在求一组有特殊规律的数字之和时，经常会用到对称的思想及其相关知识.3、如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（
31、1，4）均在正方形网格的格点上（1）画出ABC关于x轴的对称图形A1B1C1；（2）将A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标【思路点拨】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案【答案与解析】解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求，点A2（3，1），B2（0，2），C2（2，4）【总结升华】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键4、已知点A（a，2014）与点B（2015，b）关于x轴对称，则a+b
32、的值为 【思路点拨】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，再根据有理数的加法，可得答案【答案】1；【解析】解：由点A（a，2014）与点B（2015，b）关于x轴对称，得a=2015，b=2014，a+b=20152014=1，故答案为：1【总结升华】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数举一反三：【变式1】已知点A（，）关于轴对称的点的坐标为点B（，），则的值为（ ）A B C D 【答案】B；提示：22，3, 解得2, 1，选B.【变式2】如图，ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ABD与ABC全等，求点D的坐标【答案】共3个满足条件的点：（4，1），（1，3），（1，1）.