《2024年高考数学专项复习数列考查的九个热点（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学专项复习数列考查的九个热点（解析版）.pdf（31页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1数列考查的九个热点数列考查的九个热点热点题型速览热点题型速览热点一热点一 等差数列的基本计算热点二热点二 等比数列的基本计算热点三热点三 等差数列与等比数列的综合计算热点四热点四 数列与函数的交汇热点五热点五 数列与不等式交汇热点六热点六 数列与解析几何交汇热点七热点七 数列与概率统计交汇热点八热点八 等差数列、等比数列的判断与证明热点九热点九 数列中的“新定义”问题热点一热点一 等差数列的基本计算1(2023春河南开封高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知等差数列 an为递增数列，Sn为其前n项和，a3+a7=34,a4a6=280，则S11=()A.516B.440C.258D.220
2、2(2022秋黑龙江哈尔滨高三哈师大附中校考期中)某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为60mm，满盘时直径为120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约()(3.14，精确到1m)A.65mB.85mC.100mD.120m3(2020全国高考真题(理)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.
3、3474块C.3402块D.3339块2024年高考数学专项复习数列考查的九个热点（解析版）24(2022全国统考高考真题)记Sn为等差数列 an的前n项和若2S3=3S2+6，则公差d=【规律方法】1.等差数列中的基本量a1,an,d,n,Sn，“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想.要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷2.在等差数列an中，若出现am-n，am，am+n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与am有关的条件；若求am项，可由am=12(am-n+am+n)转化为求am-n，am+n或
4、am-n+am+n的值3.数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景.热点二热点二 等比数列的基本计算5(2020全国统考高考真题)设an是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=()A.12B.24C.30D.326(2023广东揭阳惠来县第一中学校考模拟预测)在 增减算法统宗 中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为()A.6B.12C.18D.427(
5、2023全国高考真题)已知 an为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=.【规律方法】1.等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等比数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.3.根据题目特点，可选用等比数列的性质.热点三热点三 等差数列与等比数列的综合计算8(2019北京高考真题)设an是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列()求an的通项公式；()记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值9(2022
6、全国统考高考真题)记Sn为数列 an的前n项和已知2Snn+n=2an+1(1)证明：an是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值10(2023天津统考高考真题)已知 an是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4(1)求 an的通项公式和2n-1i=2n-1ai(2)已知 bn为等比数列，对于任意kN*，若2k-1n2k-1，则bkanbk+1，()当k2时，求证：2k-1bk1，则A.a1a3,a2a3,a2a4C.a1a4D.a1a3,a2a412(2023秋湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习)如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图
7、2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y=1.1x，第n根弦(nN N，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线l：y=x+1交于点Anxn,yn和Bnxn,yn，则20n=0ynyn=.(参考数据：取1.122=8.14.)13(2023秋福建厦门高三厦门一中校考阶段练习)已知数列 an满足a10，an+1=log2an,n=2k-1,kN2an+2,n=2k,kN.(1)判断数列 a2n-1是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列 an的前10项和为361，记bn=1lo
8、g2a2n+1a2n+2，数列 bn的前n项和为Tn，求证：Tn12.14(2023全国高三专题练习)已知A x1,y2、B x2,y2是函数 f x=2x1-2x,x12-1,x=12 的图象上的任意两点，点M在直线x=12上，且AM=MB(1)求x1+x2的值及y1+y2的值；(2)已知S1=0，当n2时，Sn=f12+f2n+f3n+fn-1n，设an=2Sn，Tn数列 an的前n项和，若存在正整数c，m，使得不等式Tm-cTm+1-c12成立，求c和m的值；热点五热点五 数列与不等式交汇15(2022浙江统考高考真题)已知数列 an满足a1=1,an+1=an-13a2nnN N，则(
9、)A.2100a10052B.52100a1003C.3100a10072D.72100a100416(2023浙江嘉兴统考模拟预测)如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为12的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为S1；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为S2以此类推，操4作n次，若S1+S2+Sn20232024，则n的最小值是()A.9B.10C.11D.1217(2023秋四川绵阳高三绵阳中学校考阶段练习)已知等差数列 an的前n项和为Sn，且S4=4S2,a3n=3an+2 n
10、N*(1)求 an的通项公式，(2)设bn=1anan+1，且 bn的前n项和为Tn，证明，13Tn12.18(2022全国统考高考真题)记Sn为数列 an的前n项和，已知a1=1,Snan 是公差为13的等差数列(1)求 an的通项公式；(2)证明：1a1+1a2+1an219(2021全国统考高考真题)设 an是首项为1的等比数列，数列 bn满足bn=nan3已知a1，3a2，9a3成等差数列(1)求 an和 bn的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为 an和 bn的前n项和证明：TnSn220(2023河南郑州统考模拟预测)已知数列 an与 bn的前n项和分别为An和Bn，且对任意nN N
11、*，an+1-an=32bn+1-bn恒成立.(1)若An=3n2+3n2，b1=2，求Bn；(2)若对任意nN N*，都有an=Bn及b2a1a2+b3a2a3+b4a3a4+bn+1anan+10，函数 f x=ax2+b(xR).若 f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列，则平面上点 s,t的轨迹是()A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线热点七热点七 数列与概率统计交汇25(2023秋江西高三校联考阶段练习)甲同学现参加一项答题活动，其每轮答题答对的概率均为13，且每轮答题结果相互独立.若每轮答题答对得5分，答错得0分，记第i轮答题后甲同学的总得分为Xi，其
12、中i=1,2,n.(1)求E X99；(2)若乙同学也参加该答题活动，其每轮答题答对的概率均为23，并选择另一种答题方式答题：从第1轮答题开始，若本轮答对，则得20分，并继续答题；若本轮答错，则得0分，并终止答题，记乙同学的总得分为Y.证明：当i24时，E XiE Y.26(2023秋湖北荆州高三沙市中学校考阶段练习)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点A处有一只小蚂蚁，每次随机等可能地沿各条棱或侧面对角线向另一顶点移动，设小蚂蚁移动n次后仍在底面ABC的顶点处的概率为Pn.6(1)求P1，P2的值.(2)求Pn.27(2019全国高考真题(理)为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道
13、哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=
14、0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)假设=0.5，=0.8(i)证明：pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性热点八热点八 等差数列、等比数列的判断与证明28【多选题】(2022广东茂名模拟预测)已知数列 an的前n项和为S，a1=1，Sn+1=Sn+2an+1，数列2nanan+1 的前n项和为Tn，nN N*，则下列选项正确的为()A.数列 an+1是等比数
15、列B.数列 an+1是等差数列C.数列 an的通项公式为an=2n-1D.Tn129(2021全国统考高考真题)记Sn为数列 an的前n项和，bn为数列 Sn的前n项积，已知2Sn+1bn=2(1)证明：数列 bn是等差数列;(2)求 an的通项公式热点九热点九 数列中的“新定义”问题30(2020全国统考高考真题)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2an满足ai0,1(i=1,2,)，且存在正整数m，使得ai+m=ai(i=1,2,)成立，则称其为0-1周期序列，并称满足ai+m=ai(i=1,2,)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2an，C(
16、k)=1mmi=1aiai+k(k=1,2,m-1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足C(k)15(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010B.11011C.10001D.1100131【多选题】(2023秋湖南长沙高三周南中学校考阶段练习)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列 an，正方形数构成数列 bn，则下列说法正确的是()7A.1b1+1b2+1b3+1b
17、n2；B.1225既是三角形数，又是正方形数；C.10i=11bi+1-ai+1=95；D.mN*，m2总存在p，qN N*，使得bm=ap+aq成立；32(2022秋山东高三校联考阶段练习)若项数为n的数列 an满足：ai=an+1-ii=1，2，3，n我们称其为n项的“对称数列”例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”设数列 cn为2k+1项的“对称数列”，其中c1，c2ck+1是公差为2的等差数列，数列 cn的最大项等于8，记数列 cn的前2k+1项和为S2k+1，若S2k+1=32，则k=1数列考查的九个热点数列考查的九个热点热点题型速览
18、热点题型速览热点一热点一 等差数列的基本计算热点二热点二 等比数列的基本计算热点三热点三 等差数列与等比数列的综合计算热点四热点四 数列与函数的交汇热点五热点五 数列与不等式交汇热点六热点六 数列与解析几何交汇热点七热点七 数列与概率统计交汇热点八热点八 等差数列、等比数列的判断与证明热点九热点九 数列中的“新定义”问题热点一热点一 等差数列的基本计算1(2023春河南开封高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知等差数列 an为递增数列，Sn为其前n项和，a3+a7=34,a4a6=280，则S11=()A.516B.440C.258D.220【答案】D【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求
19、出a4,a6，再利用前n项和公式求解作答.【详解】等差数列 an为递增数列，则a4a6，由a3+a7=34，得a4+a6=34，而a4a6=280，解得a4=14,a6=20，所以S11=11(a1+a11)2=11a6=220.故选：D2(2022秋黑龙江哈尔滨高三哈师大附中校考期中)某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为60mm，满盘时直径为120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约()(3.14，精确到1m)A.65mB.85mC.100mD.120m【答案】B【分析】依题意，可以把绕在盘上的卫生纸长度，近似看成300个半径成等差数列的圆周长，然后分别计
20、算各圆的周长，再借助等差数列前n项和公式求总和即可.【详解】因为空盘时盘芯直径为60mm，则半径为30mm，周长为230=60 mm，又满盘时直径为120mm，则半径为60mm，周长为260=120 mm，又因为卫生纸的厚度为0.1mm，则60-300.1=300，即每一圈周长成等差数列，项数为300，于是根据等差数列的求和公式，得：S300=300 60+1202=27000 mm，2又27000mm84780mm85m，即满盘时卫生纸的总长度大约为85m，故选：B.3(2020全国高考真题(理)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天
21、心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为an，第一层共有n环，则 an是以9为首项，9为公差的等差数列，an=9+n-19=9n，设Sn为 an的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n-S2n=S2n-Sn+729，即3n 9+27n2-2n 9+18n2=2n 9+
22、18n2-n 9+9n2+729即9n2=729，解得n=9，所以S3n=S27=27 9+9272=3402.故选：C4(2022全国统考高考真题)记Sn为等差数列 an的前n项和若2S3=3S2+6，则公差d=【答案】2【分析】转化条件为2 a1+2d=2a1+d+6，即可得解.【详解】由2S3=3S2+6可得2 a1+a2+a3=3 a1+a2+6，化简得2a3=a1+a2+6，即2 a1+2d=2a1+d+6，解得d=2.故答案为：2.【规律方法】1.等差数列中的基本量a1,an,d,n,Sn，“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想.要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算
23、的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷2.在等差数列an中，若出现am-n，am，am+n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与am有关的3条件；若求am项，可由am=12(am-n+am+n)转化为求am-n，am+n或am-n+am+n的值3.数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景.热点二热点二 等比数列的基本计算5(2020全国统考高考真题)设an是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=()A.12B.24C.30D.32【答案】D【分析】根据已知条件求得q的值，再由a6+a7+a8=q5a1+a2+a3可求
24、得结果.【详解】设等比数列 an的公比为q，则a1+a2+a3=a11+q+q2=1，a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q 1+q+q2=q=2，因此，a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q51+q+q2=q5=32.故选：D.6(2023广东揭阳惠来县第一中学校考模拟预测)在 增减算法统宗 中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为()A.6B.12C.18D
25、.42【答案】D【分析】设第n nN N天走an里，其中1n6，由题意可知，数列 an是公比为12的等比数列，利用等比数列的求和公式求出a1的值，然后利用等比数列的求和公式可求得此人后3天共走的里程数.【详解】设第n nN N天走an里，其中1n6，由题意可知，数列 an是公比为12的等比数列，所以，a11-1261-12=6332a1=378，解得a1=3783263=192，所以，此人后三天所走的里程数为a4+a5+a6=192181-1231-12=42.故选：D.7(2023全国高考真题)已知 an为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=.【答案】-2【分析】根据
26、等比数列公式对a2a4a5=a3a6化简得a1q=1，联立a9a10=-8求出q3=-2，最后得a7=a1qq5=q5=-2.【解析】设 an的公比为q q0，则a2a4a5=a3a6=a2qa5q，显然an0，则a4=q2，即a1q3=q2，则a1q=1，因为a9a10=-8，则a1q8a1q9=-8，则q15=q53=-8=-23，则q3=-2，则a7=a1qq5=q5=-2，故答案为：-2.【规律方法】1.等比数列运算问题的一般求法是设出首项 a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求4解.2.等比数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其
27、中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.3.根据题目特点，可选用等比数列的性质.热点三热点三 等差数列与等比数列的综合计算8(2019北京高考真题)设an是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列()求an的通项公式；()记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值【答案】()an=2n-12；()-30.【分析】()由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得 an的通项公式；()首先求得Sn的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.【详解】()设等差数列 an的公差为d，因为a2+10，a3+8，a4+6成等比数列，所以(a3+8)2=(a2+1
28、0)(a4+6)，即(2d-2)2=d(3d-4)，解得d=2，所以an=-10+2(n-1)=2n-12.()由()知an=2n-12,所以Sn=-10+2n-122n=n2-11n=n-1122-1214；当n=5或者n=6时，Sn取到最小值-30.9(2022全国统考高考真题)记Sn为数列 an的前n项和已知2Snn+n=2an+1(1)证明：an是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值【答案】(1)证明见解析；(2)-78【分析】(1)依题意可得2Sn+n2=2nan+n，根据an=S1,n=1Sn-Sn-1,n2，作差即可得到an-an-1=1，从而得证；(2)
29、法一：由(1)及等比中项的性质求出a1，即可得到 an的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得【详解】(1)因为2Snn+n=2an+1，即2Sn+n2=2nan+n，当n2时，2Sn-1+n-12=2 n-1an-1+n-1，-得，2Sn+n2-2Sn-1-n-12=2nan+n-2 n-1an-1-n-1，即2an+2n-1=2nan-2 n-1an-1+1，即2 n-1an-2 n-1an-1=2 n-1，所以an-an-1=1，n2且nN*，所以 an是以1为公差的等差数列(2)方法一：二次函数的性质由(1)可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a
30、9成等比数列，所以a72=a4a9，即 a1+62=a1+3 a1+8，解得a1=-12，5所以an=n-13，所以Sn=-12n+n n-12=12n2-252n=12n-2522-6258，所以，当n=12或n=13时，Snmin=-78方法二：【最优解】邻项变号法由(1)可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4a9，即 a1+62=a1+3 a1+8，解得a1=-12，所以an=n-13，即有a1a2a120,a13=0.则当n=12或n=13时，Snmin=-78【整体点评】(2)法一：根据二次函数的性质求出Sn的最小值，适用于
31、可以求出Sn的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解10(2023天津统考高考真题)已知 an是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4(1)求 an的通项公式和2n-1i=2n-1ai(2)已知 bn为等比数列，对于任意kN*，若2k-1n2k-1，则bkanbk+1，()当k2时，求证：2k-1bk2k+1；()求 bn的通项公式及其前n项和【答案】(1)an=2n+1，2n-1i=2n-1ai=34n-1；(2)()证明见解析；()bn=2n，前n项和为2n+1-2.【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得a1=3,d=2，据此可求得数列的通项公式
32、，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n项和公式计算可得2n-1i=2n-1ai=34n-1.(2)()利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当2k-1n2k-1时，bkan，取n=2k-1，当2k-2n2k-1-1时，anbk，取n=2k-1-1，即可证得题中的不等式；()结合()中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前 n项和公式即可计算其前n项和.【详解】(1)由题意可得a2+a5=2a1+5d=16a5-a3=2d=4，解得a1=3d=2，则数列 an的通项公式为an=a1+n-1d=2n+1，求和得2n-1i=2n-1ai=2
33、n-1i=2n-12i+1=22n-1i=2n-1i+2n-1-2n-1+1=2 2n-1+2n-1+1+2n-1+2+2n-1+2n-1=2 2n-1+2n-12n-12+2n-1=34n-1.(2)()由题意可知，当2k-1n2k-1时，bkan，取n=2k-1，则bka2k-1=22k-1+1=2k+1，即bk2k+1，当2k-2n2k-1-1时，anbk，取n=2k-1-1，此时an=a2k-1-1=2 2k-1-1+1=2k-1，据此可得2k-1bk，综上可得：2k-1bk2k+1.()由()可知：2k-1bk2k+1，2k+1-1bk+12k+1+16则数列 bn的公比q满足2k+
34、1-12k+1=2-32k+1q=bk+1bk2k+1+12k-1=2+32k-1，当kN*,k+时，2-32k+12,2+32k-12，所以q=2，所以2k-1b12k-12k+1，即2k-12k-1=2-12k-1b11，则A.a1a3,a2a3,a2a4C.a1a4D.a1a3,a2a4【答案】B【分析】先证不等式xlnx+1，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令 f(x)=x-lnx-1,则 f(x)=1-1x，令 f(x)=0,得x=1，所以当x1时，f(x)0，当0 x1时，f(x)0，则a1+a2+a3+a4a1+a2+a3ln(a1+a2+a3)，不合题意；若公比q-
35、1，则a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)0,但ln(a1+a2+a3)=lna1(1+q+q2)lna10，即a1+a2+a3+a40ln(a1+a2+a3)，不合题意；因此-1qa1q2=a3,a2a2q2=a40，an+1=log2an,n=2k-1,kN2an+2,n=2k,kN.(1)判断数列 a2n-1是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列 an的前10项和为361，记bn=1log2a2n+1a2n+2，数列 bn的前n项和为Tn，求证：Tn12.【答案】(1)数列 a2n-1成等比数列，证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)推导出a2n+
36、1=2a2n+2=2log2a2n-1+2=4a2n-1，得到结论；(2)先得到a2n-1=a14n-1，a2n=2(n-1)+log2a1，从而得到S10=341a1+5log2a1+20，令 f(x)=341x+5log2x+20，得到函数单调递增，且由特殊点函数值得到a1=1，bn=14n2，求出T1=1474，当n2时，利用裂项相消法求和，得到Tn0，a2n-10，a2n+1a2n-1=4，即数列 a2n-1成等比数列.(2)由(1)得，a2n-1=a14n-1，a2n=log2a2n-1=2(n-1)+log2a1，故S10=a140+41+42+43+44+5log2a1+2(0+
37、1+2+3+4)=341a1+5log2a1+20，由S10=361，得341a1+5log2a1+20=361.令 f(x)=341x+5log2x+20，当x0时，f(x)=341x+5log2x+20单调递增，且 f(1)=361=f a1，故a1=1，a2n+1=4n=22n，a2n+2=log2a1+2n=2n，bn=1log2a2n+1a2n+2=14n2，T1=b1=1412，当n2时，bn=14n214(n-1)n=141n-1-1n8Tn=b1+b2+bn141+1-12+12-13+1n-1-1n=142-1n142=12，综上，知Tn1214(2023全国高三专题练习)已
38、知A x1,y2、B x2,y2是函数 f x=2x1-2x,x12-1,x=12 的图象上的任意两点，点M在直线x=12上，且AM=MB(1)求x1+x2的值及y1+y2的值；(2)已知S1=0，当n2时，Sn=f12+f2n+f3n+fn-1n，设an=2Sn，Tn数列 an的前n项和，若存在正整数c，m，使得不等式Tm-cTm+1-c12成立，求c和m的值；【答案】(1)x1+x2=1,y1+y2=-2(2)存在，c=1,m=1【分析】(1)根据点M在直线x=12上，设M12,yM，利用AM=MB，可得x1+x2=1，分类讨论：x1=12，x2=12；x112时，x212，利用函数解析式
39、，可求y1+y2的值；(2)由(1)知，当x1+x2=1时，y1+y2=-2，fkn+fn-kn=-2，代入k=0，1，2，n-1，利用倒序相加法可得Sn=1-n，从而可得数列 an的通项与前n项和，利用Tm-cTm+1-c12化简即可求得结论.【详解】(1)根据点M在直线x=12上，设M12,yM，则AM=12-x1,yM-y1，MB=x2-12,y2-yM，AM=MB，x1+x2=1当x1=12时，x2=12，y1+y2=f x1+f x2=-1-1=-2；当x112时，x212，y1+y2=2x11-2x1+2x21-2x2=2x11-2x2+2x21-2x11-2x11-2x2=2(x
40、1+x2)-8x1x21-2(x1+x2)+4x1x2=2(1-4x1x2)4x1x2-1=-2；综合得，y1+y2=-2(2)由(1)知，当x1+x2=1时，y1+y2=-2 fkn+fn-kn=-2，k=0,1,2,n-1，n2时，Sn=f1n+f2n+f3n+fn-1nSn=fn-1n+fn-2n+fn-3n+f1n+得，2Sn=-2(n-1)，则Sn=1-n又n=1时，S1=0满足上式，Sn=1-nan=2Sn=21-n，Tn=1+12+12n-1=1 1-12n1-12=2-22nTm-cTm+1-c12，2 Tm-c-Tm+1-c2 Tm+1-c0，9c-2Tm-Tm+1c-Tm+
41、10，Tm+1=2-12m，2Tm-Tm+1=4-42m-2+12m=2-32m，122-32mc2-12m2，c,m为正整数，c=1，当c=1时，2-32m1，12m3，m=1【点评】作为高考热点，数列与函数的交汇问题，等差数列易于同二次函数结合，研究和的最值问题，而等比数列易于同指数函数结合，利用指数函数的单调性解决问题，递推、通项问题往往与函数的单调性、周期性相结合.热点五热点五 数列与不等式交汇15(2022浙江统考高考真题)已知数列 an满足a1=1,an+1=an-13a2nnN N，则()A.2100a10052B.52100a1003C.3100a10072D.72100a10
42、013，累加可求出1an13(n+2)，得出100a1003，再利用1an+1-1an=13-an13-3n+2=131+1n+1，累加可求出1an-152【详解】a1=1，易得a2=23 0,1，依次类推可得an 0,1由题意，an+1=an1-13an，即1an+1=3an3-an=1an+13-an，1an+1-1an=13-an13，即1a2-1a113，1a3-1a213，1a4-1a313，1an-1an-113,(n2)，累加可得1an-113n-1，即1an13(n+2),(n2)，an3n+2,n2，即a100134，100a100100343,又1an+1-1an=13-a
43、n13-3n+2=131+1n+1,(n2)，1a2-1a1=131+12，1a3-1a2131+13，1a4-1a3131+14，1an-1an-1131+1n,(n3)，累加可得1an-113n-1+1312+13+1n,(n3)，1a100-133+1312+13+110033+13124+169639，即1a100140，即100a10052；10综上：52100a10012024，1211=1204812024，且函数y=12x在R上单调递减，所以n的最小值是11.故选：C.17(2023秋四川绵阳高三绵阳中学校考阶段练习)已知等差数列 an的前n项和为Sn，且S4=4S2,a3n=
44、3an+2 nN*(1)求 an的通项公式，(2)设bn=1anan+1，且 bn的前n项和为Tn，证明，13Tn0，且无限趋近于0，故Tn=121-12n+112，故13Tn12.18(2022全国统考高考真题)记Sn为数列 an的前n项和，已知a1=1,Snan 是公差为13的等差数列(1)求 an的通项公式；(2)证明：1a1+1a2+1an2【答案】(1)an=n n+12(2)见解析【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得Snan=1+13n-1=n+23，得到Sn=n+2an3，利用和与项的关系得到当n2时，an=Sn-Sn-1=n+2an3-n+1an-13,进而得：anan-1
45、=n+1n-1，利用累乘法求得an=n n+12，检验对于n=1也成立，得到 an的通项公式an=n n+12；(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到1a1+1a2+1an=2 1-1n+1，进而证得.【详解】(1)a1=1，S1=a1=1,S1a1=1,又Snan 是公差为13的等差数列，Snan=1+13n-1=n+23,Sn=n+2an3,当n2时，Sn-1=n+1an-13，an=Sn-Sn-1=n+2an3-n+1an-13,整理得：n-1an=n+1an-1,12即anan-1=n+1n-1,an=a1a2a1a3a2an-1an-2anan-1=13142nn-2n+1n-1=
46、n n+12，显然对于n=1也成立，an的通项公式an=n n+12；(2)1an=2n n+1=21n-1n+1,1a1+1a2+1an=21-12+12-13+1n-1n+1=2 1-1n+1219(2021全国统考高考真题)设 an是首项为1的等比数列，数列 bn满足bn=nan3已知a1，3a2，9a3成等差数列(1)求 an和 bn的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为 an和 bn的前n项和证明：TnSn2【答案】(1)an=13n-1，bn=n3n；(2)证明见解析.【分析】(1)利用等差数列的性质及a1得到9q2-6q+1=0，解方程即可；(2)利用公式法、错位相减法分别求出Sn
47、,Tn，再作差比较即可.【详解】(1)因为 an是首项为1的等比数列且a1，3a2，9a3成等差数列，所以6a2=a1+9a3，所以6a1q=a1+9a1q2，即9q2-6q+1=0，解得q=13，所以an=13n-1，所以bn=nan3=n3n.(2)方法一：作差后利用错位相减法求和Tn=13+232+n-13n-1+n3n，Sn2=12130+131+132+13n-1，Tn-Sn2=13+232+333+n3n-12130+131+132+13n-1=0-1230+1-1231+2-1232+n-1-123n-1+n3n设n=0-1230+1-1231+2-1232+n-1-123n-1
48、，则13n=0-1231+1-1232+2-1233+n-1-123n由-得23n=-12+131+132+13n-1-n-323n=-12+131-13n-11-13-n-323n13所以n=-143n-2-n-3223n-1=-n23n-1因此Tn-Sn2=n3n-n23n-1=-n23n0故TnSn2方法二【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由(1)可得Sn=1 1-13n1-13=321-13n，Tn=13+232+n-13n-1+n3n，13Tn=132+233+n-13n+n3n+1，-得23Tn=13+132+133+13n-n3n+1=131-13n1-13-n3n+1=1
49、21-13n-n3n+1，所以Tn=341-13n-n23n，所以Tn-Sn2=341-13n-n23n-341-13n=-n23n0，所以TnSn2.方法三：构造裂项法由()知bn=n13n，令cn=(n+)13n，且bn=cn-cn+1，即n13n=(n+)13n-(n+1)+13n+1，通过等式左右两边系数比对易得=32,=34，所以cn=32n+3413n则Tn=b1+b2+bn=c1-cn+1=34-34+n213n，下同方法二方法四：导函数法设 f(x)=x+x2+x3+xn=x 1-xn1-x，由于x 1-xn1-x=x 1-xn 1-x-x 1-xn 1-x1-x2=1+nxn
50、+1-(n+1)xn(1-x)2，则 f(x)=1+2x+3x2+nxn-1=1+nxn+1-(n+1)xn(1-x)2又bn=n13n=13n13n-1，所以Tn=b1+b2+b3+bn=131+213+3132+n13n-1=13 f13=131+n13n+1-(n+1)13n1-132=341+n13n+1-(n+1)13n=34-34+n213n，下同方法二20(2023河南郑州统考模拟预测)已知数列 an与 bn的前n项和分别为An和Bn，且对任意nN N14*，an+1-an=32bn+1-bn恒成立.(1)若An=3n2+3n2，b1=2，求Bn；(2)若对任意nN N*，都有a