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1、专题15 离散型随机变量及其分布（理科）-2024高考数学母题题源解密（全国通用）（含解析） 专题15 离散型随机变量及其分布（理科）考向一 离散型随机变量分布列与期望【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立（1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望【试题解析】【小问1详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的
2、概率为【小问2详解】依题可知，的可能取值为，所以，,，.即的分布列为01020300.160.440.340.06期望.【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的可能取值，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望.【命题方向】这类试题在考查题型上选择、填空、解答题都有可能出现，题型多样，思路灵活，试题难度不大，是历年高考的热点常见的命题角度有：（1）离散型随机变量分布列；（2）离散型随机变量期望；（3）离散型随机变量方差.【得分要点】（1）正确写出离散型随机变量的所有取值；（2）正确利用相应的概率模型求出各自的概率；（3）根据期望公式求出数学期望.一、单选题1（2022河南洛阳模拟预测（
3、理）已知随机变量，若，则（）A0.36B0.18C0.64D0.822（2022江苏省木渎高级中学模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（）ABCD3（2022浙江三模）设，随机变量的分布列是0p1P则当p在区间内增大时，（）A减小B增大C先减小后增大D先增大后减小4（2022黑龙江鸡西市第四中学三模（理）已知随机变量服从正态分布，若，则（）A0.977B0.954C0.5D0.0235（2022山东潍坊模拟预测）Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法
4、国数学家西莫恩德尼泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Poisson分布的均值当二项分布的n很大而p很小时，Poisson分布可作为二项分布的近似假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（）ABCD6（2022浙江省春晖中学模拟预测）盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望 （）ABCD7（2022湖北省仙桃中学模拟预测）小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老师给了小明满
5、分分，但实际上小明有一处写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣分，但小明自己不会给老师说，小王有的可能告诉老师，小丁有的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小明的听写本上的得分期望（）ABCD8（2022辽宁鞍山一中模拟预测）冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为（）A1B2C3D1
6、.5二、填空题9（2022江苏省赣榆高级中学模拟预测）柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为已知，则_.10（2022江苏南通模拟预测）小强对重力加速度做n次实验，若以每次实验结果的平均值作为重力加速度的估值已知估值的误差，为使误差在内的概率不小于0.6827，至少要实验_次（参考数据：若，则）三、解答题11（2022四川成都模拟预测（理）成都高中为了锻炼高三年级同学的身体，同时也为了放松持续不断的考试带来的紧张感，调节学习状态，特组织学生进行投篮游戏.投篮只有“命中”和“
7、不命中”两种结果，“命中”加10分，“不命中”减10分.某班同学投篮“命中”的概率为，“不命中”的概率为，每次投篮命中与否相互独立.记该班同学次投篮后的总得分为.(1)求且的概率；(2)记，求的分布列与数学期望.12（2022河南安阳模拟预测（理）产品开发是企业改进老产品开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.（
8、i）求5个样品全部测试合格的概率；（ii）求4个样品测试合格的概率.13（2022湖北黄冈中学三模）2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举行近年来，乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军，比赛采用三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束根据以往经验， 甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为、，且每局比赛相互独立(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；(2)比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，
9、直接丢弃裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球记甲、乙决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为，求随机变量的分布列与数学期望14（2022全国模拟预测）经过全国上下的共同努力，我国的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些国家的疫情并没有得到有效控制，疫情防控形势仍然比较严峻，为扎紧疫情防控的篱笆，提高疫情防控意识，某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，他们的得分（满分100分）情况如下表：得分频数2515020025022510050(1)若此次知识竞赛得分X整体服从正态分布
10、，用样本来估计总体，设，分别为抽取的1000名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求，的值；（结果保留整数）(2)在（1）的条件下，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分的可获得2次抽奖机会.假定每次抽奖，抽到10元红包的概率为，抽到20元红包的概率为.已知胡老师是这次活动中的参与者，估算胡老师在此次活动中所获得红包的数学期望.（结果保留整数）参考数据：；，.专题15 离散型随机变量及其分布（理科）考向一 离散型随机变量分布列与期望【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】甲、乙两个学校进行体育比
11、赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立（1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望【试题解析】【小问1详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为【小问2详解】依题可知，的可能取值为，所以，,，.即的分布列为01020300.160.440.340.06期望.【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的可能取值，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望.【命题方向】这类试题在考查
12、题型上选择、填空、解答题都有可能出现，题型多样，思路灵活，试题难度不大，是历年高考的热点常见的命题角度有：（1）离散型随机变量分布列；（2）离散型随机变量期望；（3）离散型随机变量方差.【得分要点】（1）正确写出离散型随机变量的所有取值；（2）正确利用相应的概率模型求出各自的概率；（3）根据期望公式求出数学期望.一、单选题1（2022河南洛阳模拟预测（理）已知随机变量，若，则（）A0.36B0.18C0.64D0.82【答案】C【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】因为，所以，所以故选:C2（2022江苏省木渎高级中学模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政
13、策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式，再结合不等式求解作答.【详解】因，且，则有，即，不等式为：，则，所以，A，B，D均不正确，C正确.故选：C【点睛】关键点睛：涉及正态分布概率问题，运用正态密度函数曲线的对称性是解题的关键.3（2022浙江三模）设，随机变量的分布列是0p1P则当p在区间内增大时，（）A减小B增大C先减小后增大D先增大后减小【答案】D【解析】【分析】先求出，令，求导确定单调性即可.【详解】，令，则，易得单调递减，又，故存在，使得，则
14、在单增，在单减，即先增大后减小.故选：D.4（2022黑龙江鸡西市第四中学三模（理）已知随机变量服从正态分布，若，则（）A0.977B0.954C0.5D0.023【答案】B【解析】【分析】随机变量服从正态分布，依据正态曲线的性质去求即可【详解】随机变量服从正态分布，若，则依据正态曲线的性质有故选：B5（2022山东潍坊模拟预测）Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩德尼泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Poisson分布的均值当二项分布的n很大而p很小时，Poisson分布可作为二项分布的近似假设每个大肠杆菌基因组含有100
15、00个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】结合题意，此时Poisson分布满足二项分布的近似条件，再计算二项分布的均值为Poisson分布的均值，再代入公式先求不致死的概率，再用对立事件的概率和为1计算即可【详解】由题， ，此时Poisson分布满足二项分布的近似的条件，此时，故不致死的概率为，故致死的概率为故选：A6（2022浙江省春晖中学模拟预测）盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望 （）ABCD
16、【答案】B【解析】【分析】依题意的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望【详解】解：盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个球，记摸到白球的个数为，的可能取值为0，1，2，3，所以，的分布列为： 0 1 2 3 故选：B7（2022湖北省仙桃中学模拟预测）小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老师给了小明满分分，但实际上小明有一处写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣分，但小明自己不会给老师说，小王有的可能告诉老师，小丁有的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小明的听写本上的得分期望（）ABCD【答案】D【解析
17、】【分析】分析可知的可能取值为：、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值.【详解】由题意可知的可能取值为：、，则，因此，.故选：D.8（2022辽宁鞍山一中模拟预测）冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为（）A1B2C3D1.5【答案】B【解析】【分析】设小华收到的“冰墩墩”的个数为，则,求出对应的概率即得
18、解.【详解】解：设小华收到的“冰墩墩”的个数为，则.则；.所以.故选：B二、填空题9（2022江苏省赣榆高级中学模拟预测）柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为已知，则_.【答案】#0.25【解析】【分析】由概率密度函数得其关于对称，由对称性求得概率【详解】由已知，概率密度函数图象关于对称，又，故答案为：10（2022江苏南通模拟预测）小强对重力加速度做n次实验，若以每次实验结果的平均值作为重力加速度的估值已知估值的误差，为使误差在内的概率不小于0.6827，至少要实验_次
19、（参考数据：若，则）【答案】6【解析】【分析】直接由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.【详解】，至少要实验6次.故答案为：6.三、解答题11（2022四川成都模拟预测（理）成都高中为了锻炼高三年级同学的身体，同时也为了放松持续不断的考试带来的紧张感，调节学习状态，特组织学生进行投篮游戏.投篮只有“命中”和“不命中”两种结果，“命中”加10分，“不命中”减10分.某班同学投篮“命中”的概率为，“不命中”的概率为，每次投篮命中与否相互独立.记该班同学次投篮后的总得分为.(1)求且的概率；(2)记，求的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【解析】【分析】（1），则投篮6次，4
20、次命中，2次不命中，然后根据可知第1次和第2次命中，则其余4次可任意命中两次；或者第1次命中，第2次不命中，第3次命中，则其余3次可任意命中2次，根据相互独立事件的乘法公式即可求解.（2）根据随机变量的取值以及对应事件的概率，即可求解.(1)，即投篮6次，4次命中，2次不命中，若第1次和第2次命中，则其余4次可任意命中两次；若第1次命中，第2次不命中，第3次命中，则其余3次可任意命中2次，故所求概率为.(2)的可能取值为 ，的分布列为X103050P故12（2022河南安阳模拟预测（理）产品开发是企业改进老产品开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入
21、到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.（i）求5个样品全部测试合格的概率；（ii）求4个样品测试合格的概率.(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.【答案】(1)（i）（ii）(2)选择甲方案测试的样品个数为，或者【解析】【分析】（1）（i）利用乘法公式即可求解（ii）4个样品测试合格分两种情况,第一种情况, 3个样品甲方案测试合格和1个样品乙方案测试合格,
22、第二种情况, 2个样品甲方案测试合格和2个样品乙方案测试合格,利用互斥的加法公式即可求解（2）设通过甲方案测试合格的样品个数为, 通过乙方案测试合格的样品个数为,则，分类讨论即可求解(1)（i）因为3个样品选择甲方案, 2个样品选择乙方案,所以5个样品全部测试合格的概率为（ii）4个样品测试合格分两种情况,第一种情况, 3个样品甲方案测试合格和1个样品乙方案测试合格,此时概率为第二种情况, 2个样品甲方案测试合格和2个样品乙方案测试合格,此时概率为所以 4 个样品测试合格的概率为(2)设选择甲方案测试的样品个数为, 则选择乙方案测试的样品个数为,并设通过甲方案测试合格的样品个数为, 通过乙方案
23、测试合格的样品个数为, 当时, 此时所有样品均选择方案乙测试, 则,所以, 不符合题意;当时, 此时所有样品均选择方案甲测试, 则 所以,符合题意;当时, ,所以若使, , 则,由于, 故时符合题意,综上, 选择甲方案测试的样品个数为 3,4 或者5时, 测试合格的样品个数的期望不小于3 .13（2022湖北黄冈中学三模）2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举行近年来，乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军，比赛采用三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束根据以往经验， 甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为、，且每局比赛相互
24、独立(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；(2)比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丢弃裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球记甲、乙决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为，求随机变量的分布列与数学期望【答案】(1)(2)分布列见解析，【解析】【分析】（1）甲获得乒兵球比赛冠军这个事件为前两局甲全获胜，或前两局中甲胜一局第三局甲胜，由独立事件与互斥事件概率公式计算；（2）甲乙决出冠军共进行了局比赛，易知或，
25、记表示第局从白盒中抽取的白色球，表示第局从黄盒中抽取的黄色球，的所有可能取值为，根据和分类讨论确定事件，的情形，求出概率得分布列，再由期望公式计算期望(1)记事件:“甲在第局比赛中获胜”，事件:“甲在第局比赛中末胜” .记事件“甲夺得冠军，则.(2)设甲乙决出冠军共进行了局比赛，易知或.则，故.记表示第局从白盒中抽取的白色球，表示第局从黄盒中抽取的黄色球，的所有可能取值为; ;.综上可得，的分布列如下:X123数学期望为14（2022全国模拟预测）经过全国上下的共同努力，我国的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些国家的疫情并没有得到有效控制，疫情防控形势仍然比较严峻，为扎紧疫情防控的篱笆，提高疫
26、情防控意识，某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，他们的得分（满分100分）情况如下表：得分频数2515020025022510050(1)若此次知识竞赛得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为抽取的1000名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求，的值；（结果保留整数）(2)在（1）的条件下，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分的可获得2次抽奖机会.假定每次抽奖，抽到10元红包的概率为，抽到20元红包的概率为.已知胡老师是这次活动中的参与者，估算胡老师在此次活动中所获得红包的数学期望.（结果保留整数）参考数据：；，.【答案】(1)，(2)（元）【解析】【分析】（1）利用平均数和标准差公式直接计算即可.（2）先计算胡老师抽奖次数的期望，然后计算一次抽奖获得红包金额的期望，从而得到在此次活动中所获得红包的数学期望.(1)，所以.(2)设随机变量N表示胡老师的抽奖次数，则N的可能取值为1，2.，其分布列为N12P0.84130.1587所以.设随机变量T为胡老师一次抽奖获得的红包金额，则T的可能取值为10，20，由题意知，所以随机变量T的分布列为T1020P.所以胡老师此次活动所获得红包的数学期望为（元）.