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1、1专题专题 19 列举法策略列举法策略例 1三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过 5 次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有()A5 种B10 种C8 种D16 种例 2设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为45例 3工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的 2 个螺栓则不同的固定螺栓方式的种数是60例 4.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别
2、标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法例 5从，1，2，3，20 中选取四元数组1(a，2a，3a，4)a，且满足213aa，324aa，435aa，则这样的四元数组1(a，2a，3a，4)a的个数是()A48CB411CC414CD416C例 6定义“有增有减”数列na如下：*tN，满足1ttaa，且*sN，满足1SSaa已知“有增有减”数列na共 4 项，若iax，y，(1z i，2，3，4)，且xyz，则数列na共有()A64 个B57 个C56 个D54 个例 7若一个三位数的各位数字之和为 10，则称这个三位数为“十全十
3、美数”，如 208，136 都是“十2024年高考数学专项复习排列组合专题19 列举法策略（解析版）2024年高考数学专项复习排列组合专题19 列举法策略（解析版）2全十美数”，则这样的“十全十美数”共有()个A32B64C54D96例 8集合1I，2，3，4，5选择I的两个非空子集A和B，要使B中的最小数大于A中的最大数，则不同的选择方法有49种例 9定义域为集合1，2，3，12上的函数()f x满足：f（1）1；|(1)()|1(1f xf xx，2，11)；f（1）、f（6）、(12)f成等比数列；这样的不同函数()f x的个数为155例 10由海军、空军、陆军各 3 名士兵组成一个有不
4、同编号的3 3的小方阵，要求同一军种不在同一行，也不在同一列，有2592种排法例 11设集合1I，2，3，4，选择I的两个非空子集A和B，使得A中最大的数不大于B中最小的数，则可组成不同的子集对(,)A B49个例 12若集合(Ep，q，r，)|04sps，04qs，04rs且p，q，r，sN，(Ft，u，v，)|04wtu，04vw且t，u，v，wN，用()card X表示集合X中的元素个数，则card（E）()(card F)A200B150C100D50例 13某城市街道的平面图如图所示，若每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，从A至B的路径条数有n条：若P、Q两处因故施工，不能通行，
5、从A至B的路径条数有m条，则n，m分别为()A1552；256B1440；256C1552；288D1440；288例 14某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为 2 个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1i i，32，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A22 种B24 种C25 种D27 种例 15如图所示，玩具计数算盘的三档上各有 7 个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数 2，右侧的每个算珠表
6、示数 1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c例如，图中上档的数字和9a 若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有()种A12B24C16D32例 16.若一个三位数中任意两相邻数位上两数差的绝对值小于或等于1，则称此三位数为“灵犀数”，这样的三位“灵犀数”共有个1专题专题 19 列举法列举法策略策略例 1三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过 5 次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有()A5 种B10 种C8 种D16 种【解析】解：根据题意，做出树状图，注意第四次时球不能在甲的手中分析可得，共有 10 种不同的传球方式；故选：B例 2设有编号为
7、 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为45【解析】解：先选出 1 个小球，放到对应序号的盒子里，有155C 种情况，例如：5 号球放在 5 号盒子里，其余四个球的放法为(2，1，4，3)，(2，3，4，1)，(2，4，1，3)，(3，1，4，2)，(3，4，1，2)，(3，4，2，1)，(4，1，2，3)，(4，3，1，2)，(4，3，2，1)共 9 种，故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相
8、同，则这样的投放方法总数为5945种，故答案为：45例 3工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓若按一定顺序将每个螺栓固2定紧，但不能连续固定相邻的 2 个螺栓则不同的固定螺栓方式的种数是60【解析】解：第一步任意选取一个螺栓，有 6 种方法，第二步，按照要求以此固定不妨第一次固定紧螺栓 1，则有如下的固定方法：1，3，5，2，4，6；1，3，5，2，6，4；1，3，6，4，2，5；1，5，2，4，6，3；1，5，3，6，2，4；1，5，3，6，4，2；1，4，2，6，3，5；1，4，2，5，3，6，1，4，6，3，5，2，1，4，6，2，5，3；有 10 种，共有6
9、1060种方法故答案为：60例 4.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三3色齐备,则共有多少种不同的取法【解析】共有 150 种.5从，1，2，3，20 中选取四元数组1(a，2a，3a，4)a，且满足213aa，324aa，435aa，则这样的四元数组1(a，2a，3a，4)a的个数是()A48CB411CC414CD416C【解析】解：将1a连同其右边的 2 个空位捆绑，2a连同其右边的 3 个空位捆绑，3a连同其右边的 4 个空位捆绑分别看作一个元素，四元数组1(a，2a，3a，4)a的个数相当于从 11 个元素中选取
10、 4 个，故这样的四元数组1(a，2a，3a，4)a的个数是411C故选：B例 6定义“有增有减”数列na如下：*tN，满足1ttaa，且*sN，满足1SSaa已知“有增有减”数列na共 4 项，若iax，y，(1z i，2，3，4)，且xyz，则数列na共有()A64 个B57 个C56 个D54 个【解析】解：由题意可知 4 个数值的数列中，只有 2 个数值，例如：x，x，y，y类型，共有23412C 种只有 2 个数值相同，例如：x，x，y，z类型共有：231030C 种；有 3 个数值相同，例如x，x，x，y类型，共有：1132212C C 种满足题目的数列类型共有：54 种故选：D例
11、 7若一个三位数的各位数字之和为 10，则称这个三位数为“十全十美数”，如 208，136 都是“十全十美数”，则这样的“十全十美数”共有()个红111223黄123121兰321211取法1415CC2415CC3415CC1325CC2325CC1235CC4A32B64C54D96【解析】解：任取一个“十全十美三位数”，包含含有一个 0 的三位数：44218109，190，901，910，208，280，802，820，307，370，703，730，406，460，604，640，505，550，含有相同数字的三位数：4312，分别为：118，181，811，226，262，622，3
12、34，343，433，442，244，424，不含有 0，并且没有相同数字的三位数33424A，分别为：127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，235，253，352，325，523，532，共 54 个，故选：C例 8集合1I，2，3，4，5选择I的两个非空子集A和B，要使B中的最小数大于A中的最大数，则不同的选择方法有49种5【解析】解：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从 5 个元素中选出 2 个元素，有2510C 种选法，小的给A集合，大的给B集合；从 5 个元素中选出 3
13、个元素，有3510C 种选法，再分成 1 一个元素一组、2 个元素一组，有两种分法，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2 1020种方法；从 5 个元素中选出 4 个元素，有455C 种选法，再分成 1 个元素一组、3 三个元素一组；2 个元素一组、2个元素一组；3 个元素一组、1 一个元素一组，共三种分法，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3 515种方法；从 5 个元素中选出 5 个元素，有551C 种选法，再分成 1 个元素一组、4 个元素一组；2 个元素一组、3 个元素一组；3 个元素一组、2 个元素一组；4 个元素一组、1 两个元素一组组，有四
14、种分法，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4 14 种方法；总计为102015449种方法故答案为：49例 9定义域为集合1，2，3，12上的函数()f x满足：f（1）1；|(1)()|1(1f xf xx，2，11)；f（1）、f（6）、(12)f成等比数列；这样的不同函数()f x的个数为155【解析】解：经分析，()f x的取值的最大值为x，最小值为2x，并且成以 2 为公差的等差数列，故f（6）的取值为 6，4，2，0，2，4(12)f的取值为 12，10，8，6，4，2，0，2，4，6，8，10，所以能使()f x中的f（1）、f（6）、(12)f成等比数列时，
15、f（1）、f（6）、(12)f的取值只有两种情况：f（1）1、f（6）2、(12)4f；f（1）1、f（6）2、(12)4f|(1)()|1(1f xf xx，2，11)，(1)()1f xf x，或者(1)()1f xf x，即得到后项时，把前项加 1 或者把前项减 1（1）当f（1）1、f（6）2、(12)4f时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）6变化到f（6），第二步：从f（6）变化的(12)f从f（1）变化到f（6）时有 5 次变化，函数值从 1 变化到 2，故应从 5 次中选择 3 步加 1，剩余的两次减 1对应的方法数为3510C 种从f（6）变化到(12)f
16、时有 6 次变化，函数值从 2 变化到 4，故应从 6 次变化中选择 4 次增加 1，剩余两次减少 1，对应的方法数为4615C 种根据分步乘法原理，共有10 15150种方法（2）当f（1）1、f（6）2、(12)4f时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的(12)f从f（1）变化到f（6）时有 5 次变化，函数值从 1 变化到2，故应从 5 次中选择 1 步加 1，剩余的4 次减 1对应的方法数为155C 种从f（6）变化到(12)f时有 6 次变化，函数值从2变化到 4，故应从 6 次变化中选择 6 次增加 1，对应的方法数为66
17、1C 种根据分步乘法原理，共有5 15 种方法综上，满足条件的()f x共有：1505155种故填：155例 10由海军、空军、陆军各 3 名士兵组成一个有不同编号的3 3的小方阵，要求同一军种不在同一行，也不在同一列，有2592种排法【解析】解：假设海军为a，空军为b，陆军为c，先将a，b，c，填入3 3的小方阵，则有33212A 种，每个a，b，c填入 3 名士兵均有336A 种，故共有126662592 ，故答案为：25927例 11设集合1I，2，3，4，选择I的两个非空子集A和B，使得A中最大的数不大于B中最小的数，则可组成不同的子集对(,)A B49个【解析】解：根据题意，分 4
18、种情况讨论：，集合A中最大的元素为 1，此时集合A有 1 种情况，集合B的数目为1，2，3，4的非空子集数目，集合B有421 15 种情况，此时可组成1 1515个不同的子集对(,)A B，集合A中最大的元素为 2，此时集合A可以为2或1，2，有 2 种情况，集合B的数目为2，3，4的非空子集数目，集合B有3217 种情况，此时可组成2714个不同的子集对(,)A B，集合A中最大的元素为 3，此时集合A可以为3或1，3或2，3或1，2，3，有 4 种情况，集合B的数目为3，4的非空子集数目，集合B有2213 种情况，此时可组成4312个不同的子集对(,)A B，集合A中最大的元素为 3，8此
19、时集合A的数目为1，2，3的子集数目，有328种情况，集合B必须为4，有 1 种情况，此时可组成8 18 个不同的子集对(,)A B，则一共可以组成151412849个不同的子集对(,)A B，故答案为：49例 12若集合(Ep，q，r，)|04sps，04qs，04rs且p，q，r，sN，(Ft，u，v，)|04wtu，04vw且t，u，v，wN，用()card X表示集合X中的元素个数，则card（E）()(card F)A200B150C100D50【解析】解：（1）4s 时，p，q，r的取值的排列情况有44464 种；3s 时，p，q，r的取值的排列情况有3 3 327 种；2s 时，
20、有2228 种；1s 时，有1 1 11 种；card（E）642781100；（2）4u 时：若4w，t，v的取值的排列情况有4416种；若3w，t，v的取值的排列情况有4312种；若2w，有428种；若1w，有4 14 种；3u 时：若4w，t，v的取值的排列情况有3412种；若3w，t，v的取值的排列情况有3 39种；若2w，有326种；若1w，有3 13 种；2u 时：若4w，t，v的取值的排列情况有248种；若3w，有236种；若2w，有224种；若1w，有2 12 种；1u 时：若4w，t，v的取值的排列情况有1 44种；9若3w，有1 33种；若2w，有1 22种；若1w，有1
21、11 种；()100card F；card（E）()200card F故选：A例 13某城市街道的平面图如图所示，若每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，从A至B的路径条数有n条：若P、Q两处因故施工，不能通行，从A至B的路径条数有m条，则n，m分别为()A1552；256B1440；256C1552；288D1440；288【解析】解：由于每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，则从点A到任意一点的路径条数为自身左，右下，左下三个点的路径条数之和，故在走到每个点的路径条数如下图所示故选：A例 14某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为 2 个单位）的顶
22、点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1i i，2，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()10A22 种B24 种C25 种D27 种【解析】解：法一：根据题意，正方形ABCD的边长为 2 个单位，则其周长是 8，若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是 8 或 16，若三次骰子的点数之和是 8，有 1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共 5 种组合，若三次骰子的点数之和是 16，有 4、6、6，5、5、6，共 2 种组合，其中
23、 1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这 5 种组合有133C 种顺序，1、2、5，1、3、4，这 2 种组合有336A 种顺序，则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法3 52627种，法二：同法一：分析可得三次骰子的点数之和是 8 或 16，若三次骰子的点数之和是 8，相当于 8 个点数中用 2 个隔板，有2721C 种顺序，若三次骰子的点数之和是 16，有 4、6、6，5、5、6，共 2 种组合，每种组合有133C 种顺序，则此时有236种顺序，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法21627种，故选：D例 15如图所示，玩具计数算盘的三档上各
24、有 7 个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数 2，右侧的每个算珠表示数 1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c例如，图中上档的数字和9a 若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有()种11A12B24C16D32【解析】解：根据题意，a，b，c的取值范围都是从7 14共 8 个数字，故公差d范围是3到 3，当公差0d 时，有188C 种，当公差1d 时，b不取 7 和 14，有16212C种，当公差2d 时，b不取 7，8，13，14，有1428C种，当公差3d 时，b只能取 10 或 11，有1224C种，综上共有8128432种，故选：D例 16.若一个三位数中任意两相邻数位上两数差的绝对值小于或等于1，则称此三位数为“灵犀数”，这样的三位“灵犀数”共有个【解析】【解析】设灵犀数为abc，若0b，则1a，0,1c，此时有2个灵犀数；若1b，则1,2,0,1,2ac，此时有6个灵犀数；若2,3,8b L，对每个b均有3个,a c可取，此时有63个灵犀数，若9b，则,8,9a c 则，此时有4个灵犀数，故三位“灵犀数”共有75个.