《2024年高考数学专项概率递推与马尔科夫（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学专项概率递推与马尔科夫（解析版）.pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1递推方法计算概率与一维马尔科夫过程一、基本原理虽然贝叶斯公式贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻t=0时，位于点x=i(iN+)，下一个时刻，它将以概率或者(a 0,1,+=1)向左或者向右平移一个单位.若记状态 Xt=t表示：在时刻t该点位于位置x=i(iN+)，那么由全概率公式可得：P Xt+1=i=P Xt=i-1P Xt+1=iXt=i-1+P Xt=i+1P Xt+1=iXt=i+1另一方面，由于P Xt+1=iXt
2、=i-1=，P Xt+1=iXt=i+1=代入上式可得：Pi=Pi+1+Pi-1进一步，我们假设在 x=0与x=m(m0,mN+)处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，P0=0，Pm=1.随机游走模型是一个典型的马尔科夫马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为 a，原地不动，其概率为b，向右平移一个单位，其概率为c，那么根据全概率公式可得：Pi=aPi1+bPi+cPi+1有了这样的理论分析，下面我们看全概率全概率公式及以为随机游走模型随机游走模型在2019年全国1卷中的应用.二、典例分析1 1(23届佛山二模)有n个编号分别为1，2，n
3、的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第 2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是，从第n个盒子中取到白球的概率是2024年高考数学专项概率递推与马尔科夫（解析版）22 2(23届杭州二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用其数学定义为：假设我们的序列状态是，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，那么 Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 Xt，即P Xt+1,Xt-2,Xt
4、-1,Xt=P Xt+1Xt现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博记赌徒的本金为A AN*,A0,mN+)处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，P0=0，Pm=1.随机游走模型是一个典型的马尔科夫马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为 a，原地不动，其概率为b
5、，向右平移一个单位，其概率为c，那么根据全概率公式可得：Pi=aPi1+bPi+cPi+1有了这样的理论分析，下面我们看全概率全概率公式及以为随机游走模型随机游走模型在2019年全国1卷中的应用.二、典例分析1 1(23届佛山二模)有n个编号分别为1，2，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第 2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是，从第n个盒子中取到白球的概率是解析：记事件Ai表示从第i i=1,2,n个盒子里取出白球，则P A1=23，P A1=1-P A1=13，所以P
6、 A2=P A1A2+P A1A2=P A1P A2A1+P A1P A2A1=2323+1313=59，P A3=P A2P A3A2+P A2P A3A2=P A223+P A213=13P A2+13=1427，P A4=P A3P A4A3+P A3P A4A3=P A323+P A313=13P A3+13，进而可得P An=13P An-1+13，P An-12=13P An-1-12，又P A1-12=16，P A2-212=118，P A2-12=13P A1-12，所以 P An-12 是首项为16，公比为13的等比数列，所以P An-12=1613n-1=1213n，即P
7、An=1213n+12，故答案为：59；1213n+12.2 2(23届杭州二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用其数学定义为：假设我们的序列状态是，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，那么 Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 Xt，即P Xt+1,Xt-2,Xt-1,Xt=P Xt+1Xt现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元赌
8、徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博记赌徒的本金为A AN*,A14，P20=34-1319+14P20，故第19次触球者是甲的概率大5 5马尔可夫链是因俄国数学家安德烈马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第 n 次的状态有关，与第 n-1,n-2,n-3,次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行 n nN*次操作后，记甲盒子中黑球个数为 Xn，甲盒中恰有 1 个黑球的概率
9、为an，恰有2个黑球的概率为bn.(1)求X1的分布列；(2)求数列 an的通项公式；(3)求Xn的期望.5解析：(1)由题可知，X1的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：P X1=0=1323=29;P X1=1=1313+2323=59;P X1=2=2313=29，故X1的分布列如下表：X10 01 12 2P295929(2)由全概率公式可知：P Xn+1=1=P Xn=1P Xn+1=1 Xn=1+P Xn=2P Xn+1=1 Xn=2+P Xn=0P Xn+1=1 Xn=0=1313+2323P Xn=1+231P Xn=2+123P Xn=0=59P Xn=1+
10、23P Xn=2+23P Xn=0，即：an+1=59an+23bn+231-an-bn，所以an+1=-19an+23，所以an+1-35=-19an-35，又a1=P X1=1=59，所以，数列 an-35 为以a1-35=-245为首项，以-19为公比的等比数列，所以an-35=-245-19n-1=25-19n，即：an=35+25-19n.(3)由全概率公式可得：P Xn+1=2=P Xn=1P Xn+1=2 Xn=1+P Xn=2P Xn+1=2 Xn=2+P Xn=0P Xn+1=2 Xn=0=2313P Xn=1+131P Xn=2+0P Xn=0,即：bn+1=29an+13
11、bn,又an=35+25-19n,所以bn+1=13bn+2935+25-19n,所以bn+1-15+15-19n+1=13bn-15+15-19n,又b1=P X1=2=29,所以b1-15+15-19=29-15-145=0,所以bn-15+15-19n=0,所以bn=15-15-19n,所以E Xn=an+2bn+0 1-an-bn=an+2bn=1.例6(山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试)甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束(1)记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望
12、；(2)已知甲先掷，求甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率解析：(1)依题意，抛掷骰子一次获胜的概率p=16，X的可能值为1，2，3，4，P(X=1)=16，P(X=2)=1-1616=536，P(X=3)=1-16216=25216，P(X=4)=61-163=125216，所以X的分布列为；X1 12 23 34 4P1653625216125216期望E(X)=116+2536+325216+4125216=671216.(2)设甲抛掷第n次骰子且不获胜的事件的概率为an,nN，依题意，a1=56，当n2时，an=an-15656=2536an-1，因此数列an是以56为首项，2536为公比的等比数列，则an=562536n-1，当n2时，甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率Pn=an-15616=562536n-25616=162536n-1，显然当n=1时，P1=16满足上式，所以甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率为Pn=162536n-1,nN.