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1、高中数学新教材考前回归知识必备全案 12024高中数学考前回归知识必备（2024高中数学考前回归知识必备（上）上）集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 集合与常用逻辑用语 集合 概念=a a aan,123 元素特点：互异性、无序性、确定性。一组对象的全体.xA xA,关系 子集 的子集有n2个，真子集有n21个，非空真子集有n22个 A；AB BCAC,真子集 相等 AB BAAB,运算 交集 且AAxBBxx|,【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂有关问题。并集 或AAxBBxx|,补
2、集 且 xAC Ax xUU|常用逻辑用语 命题 概念 能够判断真假的语句。四种 命题 原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若p，则q逆否命题：若q，则p充要 条件 充分条件 pq，p是q的充分条件 若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则pq等价于AB，pq等价于AB。必要条件 pq，q是p的必要条件 充要条件 pq，p q,互为充要条件 量词 全称量词，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。存在量词，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。非命题 p和p为一真一假两个互为对立的命题。类比集合的补 量词 全称量词，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。存在量词，
3、含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。2 复数与统计与统计案例复数与统计与统计案例 概率概率 复数的概念和运算 概念 虚数单位 规定：i12；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成立。Ziii iii kkkkk1,1,()4414243。复数 形如Rabi a b(,)的数叫做复数，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。b0时叫虚数、ab0,0时叫纯虚数。复数相等 R abicdi a b c dac bd(,),共轭复数 实部相等，虚部互为相反数。即zabi，则zabi。运算 加减法 abicdiacbd i()()()()，Ra b c d(,)。乘法 abi
4、cdiac bdbcad i()()()()，Ra b c d(,)除法 Rcdcdabicdii cdiacbdbcdaa b c d()()(0,),2222几何复数zabi应对一一 复平面内的点Z a b(,)应对一一 向量OZ互 否 为 逆 为 逆 互 否 互否互否互 逆 原命题 若 p 则 q 互 逆 逆命题 若 q 则 p 逆否命题 若q则p逆否命题 若q则p高中数学新教材考前回归知识必备全案 复数 意义 向量OZ的模叫做复数的模，zab22 主 要 性 质 复数运算 *1.运算律：zzzmnm n；zzm nmn()；zzz zm nNmmm()(,)1212.【提示】注意复数、
5、向量、导数、三角等运算率的适用范围.*2.模的性质：z zzz|1 212；zzzz|2211；zznn.*3.重要结论：zzzz1222；ii122；iii11，iii11；i性质：T=4；ii iii innnn 4142434,1,1.【拓展】：1110132或 22i13.统计 与统计案例 统计 随机抽样 简单抽样 从总体中逐个抽取且不放回抽取样本的方法。等概率抽样。分层抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称
6、为层 1.利用分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等 2.在分层随机抽样中，以层数是 2 层为例，如果第 1 层和第 2 层包含的个体数分别为 M 和 N，抽取的样本量分别为 m 和 n，第 1 层和第 2 层的样本平均数分别为 x，y，样本平均数为 w，则 w MMNx NMNy mmnxnmny.统计图表(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等(2)作频率分布直方图的步骤 求极差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图 样本估计总体 百分位数 一般地，一组数据的第 p 百分位数是这
7、样一个值，它使得这组数据中至少有 p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100p)%的数据大于或等于这个值 众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)中位数 从小到大排序后，中间的数或者中间两数的平均数。平均数 x xxn,12的平均数是nxxxxn()112.方差 x xxn,12的平均数为x，nsxxiin()1122,标准差nsxxiin()112 高中数学新教材考前回归知识必备全案 (2)数据 x1，x2，xn与数据 x1x1a，x2x2a，xnxna 的方差相等，即数据经过平移后方差不变巧用三个有关的结论(1)若 x1，x2，xn的平均数为 1，那么 mx1a
8、，mx2a，mxna 的平均数为 ma；(3)若 x1，x2，xn的方差为 s2，那么 ax1b，ax2b，axnb 的方差为 a2s2.总体(样本)方差和总体(样本)标准差(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为 Y1，Y2，YN，总体平均数为 Y，则总体方差 S21Ni1N(Yi Y)2.(2)加权式：如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有 k(kN)个，不妨记为 Y1，Y2，Yk，其中 Yi出现的频数为 fi(i1,2，k)，则总体方差为 S21Ni1kfi(Yi Y)2.概率 样本点和有限样本空间 样本点：随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点，常用 表示 全体样本点的集
9、合称为试验 E 的样本空间，常用 表示 有限样本空间：如果一个随机试验有 n 个可能结果 1，2，n，则称样本空间 1，2，n为有限样本空间 定义 如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将发生的频率nm作为事件A发生的概率的近似值，即nP Am。事件关系 互斥事件 事件A和事件B在任何一次实验中不会同时发生 类比集合关系。对立事件 事件A和事件B，在任何一次实验中有且只有一个发生。性质 基本性质 P A0()1，P()0，P()1。互斥事件 事件A B,互斥，则P ABP AP B()()()。古典概型 特征 基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性 计算公式
10、nP Am()，n基本事件的个数、m事件A所包含的基本事件个数。3 平面向量平面向量 平面向量 重要概念 向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。0向量 长度为0，方向任意的向量。【0与任一非零向量共线】平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。向量的模 axyaaxy|,|222222 高中数学新教材考前回归知识必备全案 两点间的距离 若A x yB x y,1122，则ABxxyy|212122 向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是0,。a b,的夹角记为a b,。a b,锐角a b0,a b,不同向；a b,为直角a b0；
11、a b,钝角a b0,a b,不反向.向量的夹角带有方向性：向量是有方向的，向量间的夹角表示两个向量正方向的夹角 投影向量 设 a，b 是两个非零向量，它们的夹角是，e 与 b 是方向相同的单位向量，ABa，CDb，过AB的起点 A 和终点 B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量 a 向向量 b 投影，A1B1 叫做向量 a 在向量 b上的投影向量记为|a|cos e.重要法则定理 基本定理 e e,12不共线，存在唯一的实数对(,)，使aee12。若e e,12为x y,轴上的单位正交向量，(,)就是向量a的坐标。一般表示 坐标表示 共线条件
12、 ab/（b0共线存在唯一实数，ab x yy x121 20 垂直条件 aba b0。x yx y01122。各种运算 加法 运算 法则 设ABa BCb,，那么向量AC叫做a与b的和，即 abABBCAC；向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQR AR，但这时必须“首尾相连”。abxxyy(,)1212。算律 交换律abba，结合律abcabc()()减法 运算 法则 用“三角形法则”：设ABa ACb,么那ab ABACCA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。abxxyy(,)1212 数乘 运算 概念 a为向量，0与a方向相同
13、，0与a方向相反，aa。axy(,)算律 分配律()()aa，()aaa，分配律()abab 与数乘运算有同样的坐标表示。数量积运算 概念 a ba ba bcos,a bx xy y1212。主要性质 a aa2，|ab|a|b|axyaaxy|,|222222 算律 a bb a，分配律ab ca cb c()，a baba b()()()。算律 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）a b ca b c()()向
14、量的 表示方法 几何表示法 用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；符号表示法 用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；坐标表示法 在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为axiy jx y,，称x y,为向量a的坐标，ax y,叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三角形的五个“心”重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交
15、一点.高中数学新教材考前回归知识必备全案 4 不等式不等式 同向不等式，abbcac，；，abcacbcabcacbc00；，abcdacbd ，abcdacbd00 两个实数的顺序关系：abab0 abab0 取倒数法则ab0，abab11 ；，N abnnababnnnn01*基本不等式 最值定理 由x yxyxy,0,2，若积值定xyP()，则当xy时和xy有最小值p2；由x yxyxy,0,2，若和值定xyS()，则当xy是积xy有最大值s412.【推广】：已知,x yR，则有22()()2xyxyxy.（1）若积xy是定值，则当xy|最大时，xy|最大；当xy|最小时，xy|最小.（
16、2）若和xy|是定值，则当xy|最大时，xy|最小；当xy|最小时，xy|最大 均 值不 等式 平方平均算术平均几何平均调和平均 ababab22()222a bR(,当且仅当ab取“”)）取时当仅且当（ababababababab2211”“2222 na aaaaannn1212（正数 a1=a2=an时取等）算术平均几何平均 重 要不 等式（a、b、c为 正数）ababa bR2|(,22当且仅当ab时取到“”)aba bab3322，abcabcabc abcabacbc3()()333222 abcabc3333（立成可即式等 abc0，abcabc 0或时取等）；abca b c3
17、3 abcabc3()3abc3333 柯 西不 等式 设iia bR in,(1,2,),则a ba ba baaabbbnnnn()()()112212122222222 等号成立当且仅当1122abababnn时成立（约定ai 0时，bi 0）糖 水的 浓度，abam00，则amaambmbbm.【说明】：aambbm（abm0,0）.“1”的 代换 已知a x b y,R，若axby1，则有：xyxyxyaxbyababababbyax()()2()11112 a x b y,R，若xyab1则有：xyxyxyabababaybx()2()2 5 函数基本初等函数函数基本初等函数 I
18、的的概念、图像概念、图像与性质与性质 函数概念及其表示 函数的概念 函数用 f(x)来表示：即 x 按照对应法则 f 对应的函数值为 f(x)函数有解析式和图像两种具体的表示形式。定义域 A：x 取值范围组成集合。值域 B：y 取值范围组成集合。对应法则 f：y 与 x 对应关系。如：函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.定义域题型 (1)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式:使函数解析式有意义(如:分母 0;偶次根式被开方数非负;零指数幂底数 0；实际问题有意义；对数真数 0,底数 0且1；如xlg1的解集：x010；yxln单
19、调增区间(0,)；如：不等式xlg|1的解集 且 xxx|110(2)复合函数定义域求法：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。若f x()的定义域为a b,其复合函数f g x()的定义域可由不等式ag x()b解出；若f g x()的定义域为a b,求f t()的定义域，相当于xa b,时,求tg x()的值域；如若函数f x(1)2的定义域为 2,1)，则f x()定义域为_（答：1,5）区间 数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；（1）区间是集合的另类表示方式，
20、区间就是集合，具有集合的一般性质。（2）它是无限集，连续的实数。xx|12或 x4表示成（1，2）4，不能写成且 x(1,2)4。高中数学新教材考前回归知识必备全案 性质 奇 偶 性 定义 如果fxf x()(),则f x()为偶函数；如果fxf x()(),则f x()为奇函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。确定奇偶性方法有定义法、图像法等；（1）若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断，如判断函数xf xx|2|2()lg(1)22奇偶性 偶函数；（2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单调性；（3）若f x()是偶函数,那么
21、f xfxfx()()(|)；定义域含零的奇函数必过原点(f(0)0)；判断 定义法判断：定义域是关于原点对称的；（2）计算f xfx()()0或 f xf xfx()1()0)()；若函数kf xkxx12()2（a 为常数）在定义域上为奇函数，则 k=1 利用(1).利用公式：f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)，计算或求解析式；(2).利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇；F(x)=f(x)+g(x)，当 f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x 得：F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去 f(x),两式相减可以消去 g(x)
22、,从而解决问题；（4）奇偶函数图像的对称性 周 期 性 对定义域内任意x，存在非零常数T，f xTf x()()，T为f x()周期 若yf x()对xR时f xaf xa()()恒成立,则 f x()的 周 期 为a2|；若yf x()是偶函数,其图像又关于直线xa对称,则f x()的周期为a2|；f xaf x()()，f xf xa()()1或f xa f xk()()或f xaf xk()()T为a2|；单调性 定义 定义域内一区间I，x xI xx,1212增xxf xf x()()1212；减xxf xf x()()1212 求 单调 区间 定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题
23、)等（提醒：求单调区间时注意定义域）导数法：i求定义域：ii求fx()；iii fx()0的解构成增区间；注意：区间表示。如：函数yxxlog(2)221的单调递增区间是 .(1,2)；函数xyx1单调增区间是 .(,0)和(0,)证明 定义法、导数法。判断单调性：小题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。（1）定义法：i 取值xx12ii 作差变形判断f xf x()()12符号；（2）导数法：i 求 fx()；ii 判断 fx()符号；利用(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，断。(2).比较函数值的大小：画图看(3)解不等式：增xxf xf x()()1212
24、或f xf xxx()()1212；减xxf xf x()()1212或f xf xxx()()1212(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。a5log13，则a范围是或aa5103；已知f xx aaalog(0,1)为 R 上增，则f x(1)0的实数x的取值范围。(0,1)(1,2)复 合函数 由“同增异减”判定：分解为基本函数：内函数ug x()与外函数yf u()；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内单调性.已知复合函数单调性，求字母范围：i 分解出内外层函数；ii 研究内外层函数的单调性的关系；iii 兼顾函
25、数的定义域；6 函数基本初等函数函数基本初等函数 I 的图像与性质的图像与性质 求函数解析式的常用方法 待定系数法基本步骤 确定所求问题含有待定系数的解析式；二次函数解析式的三种形式：一般式：f xaxbxc a()(0)2；顶点式：f xa xhk a()()(0)2；零点式：f xa xxxxa()()()(0)12.根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。如一元二次不等式f xx()1解集是2(-1,),可设 f x x()-+1=a(x+1)(x-2)配凑法 若xxf xx()1122，则函数f x(1)=_（答：xx232）坐标转移 函
26、数yf x()关于函数yxln1图形关于直线yx对称，则f x()ex22 函数yf x()与 的图像关于原点成中心对称；yfx()方程的思想 对已知等式进行赋值，从而得到关于f x()及另外一个函数的方程组；函数f x()是一个偶函数，g x()是一个奇函数，且xf xg x1()()1，则f x()等于 x112；若函数f x g x(),()分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f xg xex()()，则有f x()=eexx2 高中数学新教材考前回归知识必备全案 图象几种常见变换 对称 变换 函数yf x()与 yfx()的图像关于原点成中心对称函数yf x()与yfx()图像关于直线x
27、 0(y轴)对称；函数yf x()对xR，f axf ax()()或f xfax()(2)恒成立,图像关于xa对称；若yf x()对xR时,f axf bx()()恒成立,则yf x()图像关于xab2对称；函数yf ax(),yf bx()的图像关于直线xba2对称(由axbx确定)；函数yf axa(0)的图象是把函数yf x的图象沿x轴伸缩为原来的a1得到的。如若函数yfx(21)是偶函数，则函数yfx(2)的对称轴方程是_(答：x21)平移变换 左右平移-“左加右减”（针对x而言）；上下平移-“上加下减”(针对y而言)翻折变换 f xf x()|()|；f xfx()(|).注意翻折时
28、机和翻折的本质：如yx2|3|由yx2|向右平移 3单位 求函数值域（最值）的方法 配方法 二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间m n,上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如求函数 yxxx25,1,22的值域（答：4,8）；换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如 yxx211的值域为_（答：(3,)）（令 xt1，t0。运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；有界性 利用已学过函
29、数的有界性，确定值域，最常用的就是三角函数的有界性，如y1 sin2sin12(,1 单调性 利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求xyx1sinsin922；2,911；数形结合 函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如已知点P x y(,)在圆xy122上，求xy2的取值范围（答：33,33）；求yxx(2)(8)22的值域（答：10,)）；判别式 求xyx12的值域（答：2 2,1 1）；不等式 利用基本不等式abab a bR2(,)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添
30、项和两边平方等技巧。导数法 一般适用于高次多项式函数，如求函数f xxxx()244032，x 3,3的最小值。（答：48）提醒：求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合包括区间形式了吗？7 函数与方程函数模型及其应用函数与方程函数模型及其应用 基本初等函数 指数函数 且ya aax(0,1)定义域 R 值域(0,)a01 (,)单调递减，x0时y1，x0时y01 a1 (,)单 调 递 增，x0时y01，x0时y1 对数函数：函数yx aalog(0,且 a1)；yaaax(33)2是指数函数，则有（a2.）函数的定义域为(0,)函数的值域为 R；函数yx2()11的值域是_（0，）；a01
31、 在(0,)单调递减，x01时y0，x1时y0 a1 在(0,)单调递增，x01时y0，x1时y0 高中数学新教材考前回归知识必备全案 幂函数 一 般 地，形 如 yxaR()的函数称为幂函数，其中为常数 0 幂函数的图象通过原点，并且在区间0,)上是增函数 1 幂函数的图象下凸 01 幂函数的图象上凸 0 幂函数的图象在区间(0,)上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 指数函数对数函数 对数与对数性质：bbaannloglogaabn(0,1,0,0)；对数恒等式aN aaNNa(0,1,0)log
32、NM NMNMNMnMMaaaaaaaanlog()loglog;logloglog;loglog；MnMaanloglog1；对数换底公式aNNbbalogloglogaabb(0,1,0,1)函数零点 概念 函数yf x()的零点就是方程f x()0实数根，亦即函数yf x()的图象与x轴交点的横坐标即：方程f x()0有实数根函数yf x()的图象与x轴有交点函数yf x()有零点；如：函数 f xxx()|lg|在定义域上零点个数为 1 存在定理 图象在a b,上连续不断，若f a f b()()0，则yf x()在a b(,)内存在零点。二 分 法 方法 对于在区间a，b上连续不断，
33、且满足f a()f b()0的函数yf x()，通过不断地把函数f x()的零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 步骤 第一步 确定区间a b,，验证f af b()()0，给定精确度。第二步 求区间a b,的中点c；第三步 计算f c：（1）若f c0，则c就是函数的零点；（2）若f af c0，则令bc（此时零点xa c,0）；（3）若f cf b0，则令ac（此时零点xc b,0）（4）判断是否达到精确度:即若ab，则得到零点近似值a（或b）；否则重复（2）（4）函数xf xx()ln(1)2的零点所在的大致区间是（0，1）或(1,2)（画
34、图xxln(1)2；注意：fx()0只能说明函数在(1,0),(0,)分别增，不是在定义域内增，不能误认为零点只有一个（错）8 导数及其应用导数及其应用 导数及其应用 概念与几何意义 概念 f x()在点x0处的导数 xf xxf xfxx()()()lim0000如当 x0,xx33sin()sin .几何 意义（1）“在”点x y(,)11处的切线：斜率=kfx()1切线yyfxxx()()111 曲线yf x()在点P x f x0,0处的切线的斜率是 fx0，相应地切线的方程是yyfxxx000。（2）“过”点x y(,)11在曲线上yf x()00切线：设切点xy(,)00；求切线方
35、程；iii 列方程组：切点xy(,)00在曲线上yf x()00；切点在切线yyfxxx()()101上；iv 解方程组，得x0，求切线。如f xxx()33，过P(2,6)作yf x()的切线，求此切线的方程（答：xy30或 xy24540）。如经过原点且与曲线 y=xx59相切的方程是 新疆源头学子小屋特级教师王新敞/wxc/com.xjktyg.www:/httpcom.126wxcktcom.126wxckt/wxc/com.xjktyg.www:/http王新敞特级教师源头学子小屋新疆 两个切点 A(3，3)或 B(15,53)x+y=0 或x25+y=0；在求曲线的切线方程时，要注
36、意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；物瞬时速度；Vs/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。高中数学新教材考前回归知识必备全案 理意义 如一物体的运动方程是 stt12，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t3时的瞬时速度为_（5 米/秒）运算 基本 公式 C 0；xnxnn()1；xx(sin)cos；xx(cos)sin；aaaxx()ln；eexx()；xaxaln(log)1；xx(ln)1。xx()112；xx(ln)1 运算 法则 vvuvuvuvuvuvuu
37、vuv();();();2复合函数求导法则yf g xfg x g x()()()如等比数列an中，a21，a8=4，函数f xx xaxaxa()()()128，则f 0 212 解：fxx ax ax axx ax ax a1()()()()()()128128故faa aaaa(0)()212381 8412 研究 函数 性质 研究 函数 性质 函数的单调性 若 fx()0,则f x()为增函数；若 fx()0,则f x()为减函数；若 fx()的符号不确定,则f x()不是单调函数。若函数yf x()在区间（a b,）上单调递增，则 fx()0，反之等号不成立；若函数yf x()在区间
38、（a b,）上单调递减，则 fx()0，反之等号不成立 如：已知f x()为减函数求字母取值范围,那么不等式 fx()0恒成立。如：设a0函数f xxax()3在1,)上单调函数，则实数a的取值范围_（答：a03）；已知函数xf xxax x()ln(0),22若f x()在1,)上单调递增，求a的取值范围：a0；如：若函数 y=34x3+bx 有三个单调区间，则 b 的取值范围是_解析：y=4x2+b，若 y值有正、有负，则 b0；如：xf xx()1的单调减区间：减区间(1,0),(0,1)，你会画图吗？求函数的单调区间的具体步骤是：确定f x()的定义域；计算导数fx()/；求出fx()
39、0/的根；用fx()0/的根将f x()的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内fx()/的符号,进而确定f x()的单调区间；思考 1.导数有哪些应用？（求斜率，判断单调性与求单调区间，求极值与最值，证明不等式），导数的几何意义是什么？物理意义呢？知道是牛顿和莱布尼兹发明了微积分吗？2求导数的规则、公式你都记得吗？一共有多少个公式？有两个容易记错！导函数相同的两个原函数一定也相同吗？请举例说明。3导数的定义还记得吗？它的几何意义和物理意义分别是什么？利用导数可解决哪些问题？具体步骤还记得吗？求切线，求极值，求单调区间，求最值，4 导数求曲线的切线步骤是什么？你能区别“在”一点处的切线和
40、“过”一点的切线吗？导数及其应用 极值 函数的极值定义：设函数f x()在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f xf x()()0，就说是f x()0函数f x()的一个极大值。记作值大极yf x()0，如果对x0附近所有的点，都有f xf x()()0，就说是f x()0函数f x()的一个极小值。记作值小极yf x()0。极大值和极小值统称为极值。极值是一个局部概念新疆王新敞奎屯由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小新疆王新敞奎屯并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点新疆王新敞奎屯 而使
41、函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 如：设 f（x）=x33ax2+2bx 在 x=1 处有极小值1，试求 a、b 的值，并求出 f（x）的单调区间；解 abab2320.3620,a=31b=21新疆源头学子小屋特级教师王新敞/wxc/com.xjktyg.www:/httpcom.126wxcktcom.126wxckt/wxc/com.xjktyg.www:/http王新敞特级教师源头学子小屋新疆此时 f（x）=x3x2x，f（x）=3x22x1=3（x+31）（x1）当 f（x）0 时，x1 或 x31，当 f（x）0 时，31 x|F1F2|,则 P 点轨
42、迹为椭圆.双曲线：|PF1|-|PF2|=定值0，i1,2，n，则对任意的事件 B，有 P(B)i1nP(Ai)P(B|Ai)独立事件 事件A与事件B满足P ABP A P B()()()，事件A与事件B相互独立.n 重伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验 典型 分布 超几何 分布 一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品从 N 件产品中随机抽取 n件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 P(Xk)CkMCnkNMCnN，km，m1，m2，r，其中，n，N
43、，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布 超几何分布有时也记为 XH(n，M，N)，其均值 E(X)nMN，D(X)nMN1MN1n1N1.二项分布 一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0p0为参数，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 XN(，2)3 原则(1)P(X)0.682 7；(2)P(2X2)0.954 5；(3)P(3X3)0.997 3.正态分布的均值与方差 若 XN(，2)，则 E(X)，D(X)2.数字 特征 数学期望 EXx px px px pi
44、inn1122 E aXbaEXb()方差和 标准差 方差：DXxEXpiiin()12，标准差：XDX D aXba DX()2 22 计数原理与二项式定理计数原理与二项式定理 排列组合二项式定理 基本原理 分类加法计数原理 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法那么完成这件事共有Nmmmn12种不同的方法 分步乘法计数原理 完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有12Nmmmn种不同的方法.排列 定义 从n个不同
45、元素中取出m mn()个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从n个不同元素中取出m mn()个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m mn()个元素的排列数，用符号Anm表示.排列数 公式，nmAn nnnmnmmnnnm()!(1)(2)(1)()!，规定0!1 组合 定义 从n个不同元素中，任意取出m mn()个元素并成一组叫做从n个不同元素中取出m mn()个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m mn()个元素的组合数，用符号nmC表示.组合数 公式 mn nnmnm!C(1)(1)，AAmmnnmmC 性质 CCnmnn m(,且m nNm
46、n)；CCCnmnmnm11(,且m nNmn)二项式定理 定理 abC aC abC abC bnnnnnnnrn rrnn()011（Cnr叫做二项式系数）通项公式 TC abrnrn rr1（其中，NN knkn0）系数和 公式 CCCCCrrrrrrnrnr1211；0122CCCCCnnnnrnnn；CCCCCCCCCnCnnnnnnnnnnnnnn2;232.13502411231 高中数学新教材考前回归知识必备全案 23 成对数据的统计分析成对数据的统计分析 成对数据的统计分析 变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关
47、系称为相关关系相关关系的分类：正相关和负相关 线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 样本相关系数 ri1n xi x yi y i1n xi x 2i1n yi y 2.)当 r0 时，称成对样本数据正相关；当 r0 时，称成对样本数据负相关|r|1；当|r|越接近 1 时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近 0时，成对样本数据的线性相关程度越弱 样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系 r1nxy1n|x|y|cos cos(其中 x(x1，x2，xn)，y(y1，y2，yn)，|x|y|n，为向量 x和向量 y
48、的夹角)一元线性回归模型(1)我们将ybxa称为 Y 关于 x 的经验回归方程，其中 bi1n xi x yi y i1n xi x 2，a y bx.(2)残差：观测值减去预测值，称为残差 1经验回归直线过点(x，y)2求b时，常用公式bi1nxiyin x yi1nx2in x2.决 定系数 决定系数：R21i1n vivi2i1n vi v 2.R2越大，残差平方和越小，回归模型拟合效果越好，R2越小，残差平方和越大，回归模型拟合效果越差.独 立性 检验 列联表 关于分类变量 X 和 Y 的抽样数据的 22 列联表：X Y 合计 Y0 Y1 X0 a b ab X1 c d cd 合计
49、ac bd nabcd 高中数学新教材考前回归知识必备全案 2独立性检验 计算随机变量 2nadbc2abcdacbd，利用 2的取值推断分类变量 X和 Y 是否独立的方法称为 2独立性检验 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解题格式 步骤 1：提出零假设为H0：变量 A 与变量 B 无关（变量 A 与变量 B 相互独立）步骤 2：根据列联表计算计算随机变量 2的值（保留三位有效数字）步骤 3：根据小概率 x取相应值的独立性检验，对零假设H0判定是否成立，当x2时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，
50、该推断犯错误的概率不超 当x2时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 步骤 4：得出结论两个分类变量之间是否有关.24 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 空间向量与立体几何 空间向量 重要概念 共面向量 一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内.空间基底 空间任何三个不共面的向量a b c,都可做空间的一个基底.基本定理 共线定理 a b,（b0共线存在唯一实数，ab.共面定理 p与a b,、（a b,不共线）共面存在实数对x y,，使pxayb 基本定理 a b c,不共面，空间任意向量p存在唯一的x y z(,)，使pxaybzc.立体几何中的向量方法 线面标