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1、高中数学高中数学“130”个快速解题公式“130”个快速解题公式第 1 章 集合第 1 章 集合1、有限集合子集个数1、有限集合子集个数子集个数2个，真子集个数21个;2、集合里面重要结论2、集合里面重要结论AB=AAB;AUB=ABA;ABABABA=B3、同时满足求交集，分类讨论求并集4、集合元素个数公式3、同时满足求交集，分类讨论求并集4、集合元素个数公式n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AB)第 2 章 函数第 2 章 函数5、几个近似值5、几个近似值 21.414，31.732，52.236，3.142，e2.7186、分数指数幂公式6、分数指数幂公式=7、对数换底公式7、对数换
2、底公式logab=logcblogca;logab=1logba8、单调性的快速法8、单调性的快速法.增增增;增减增;.减+减减;减增减;.乘正加常，单调不变;.乘负取倒，单调不变9、奇偶性的快速法9、奇偶性的快速法.奇奇奇;偶偶偶;.奇()奇偶;偶()偶偶;奇()偶奇;10、函数的切线方程10、函数的切线方程y y0=f(x0)(x x0)11、函数有零点11、函数有零点()0()0第1 页,共1 0 页2024年 高中数学130个快速解题公式1 12 2、函函数数无无零零点点()0 或()01 13 3、函函数数周周期期性性(+)=(+)的周期 T=|b-a|;1 14 4、函函数数对对称
3、称性性(+)=()的对称轴=+2;1 15 5、抽抽象象函函数数对对数数型型若()=()+()，则()=ga;1 16 6、抽抽象象函函数数指指数数型型若(+)=()()，则()=;1 17 7、抽抽象象函函数数正正比比型型若(+)=()+()，则()=;1 18 8、抽抽象象函函数数一一次次型型若()=，则()=+;1 19 9、抽抽象象函函数数导导数数型型若()=(),则()=或()=0;2 20 0、两两个个重重要要不不等等式式 +1 1(+1)1（当且仅当 x=0 时“=”成立）2 21 1、洛洛必必达达法法则则lima()()=lima,(),()(当f(x)g(x)00或时使用)2
4、 22 2、恒恒成成立立问问题题(1)()()(2)()()2 23 3、证证明明()()思思路路思路 1(1)()=()()()0（常规首选方法）思路 2()()（思路 1 无法完成）第第 3 3 章章 数数列列2 24 4、等等差差数数列列通通项项公公式式=1+(1)2 25 5、等等差差数数列列通通项项公公式式=(1+)2=1+(1)22 26 6、等等比比数数列列通通项项公公式式=11第2 页,共1 0 页2 27 7、等等比比数数列列通通项项公公式式=1(1)1=1+12 28 8、等等差差数数列列的的性性质质若+=+,则+=+2 29 9、等等比比数数列列的的性性质质若+=+,则=
5、3 30 0、等等差差中中项项若a，A，b成等差数列，则2A=a+b3 31 1、等等比比中中项项若a，G，b成等比数列，则G=ab3 32 2、裂裂项项相相消消法法 1 1若1(+1)=11+1，则有=1 1+1=+13 33 3、裂裂项项相相消消法法 2 2若1(+2)=12(11+2)，则有=12(1+121+11+2)3 34 4、裂裂项项相相消消法法 3 3若1+1=1(11+1)，则有=1(111+1)3 35 5、裂裂项项相相消消法法 4 4若1(2+1)(21)=12(12112+1)，则有=12(112+1)3 36 6、错错位位相相减减法法求求和和通通式式=111+(1)(
6、1)21第第 4 4 章章 三三角角函函数数3 37 7、三三角角函函数数的的定定义义正弦：sin=；余弦：cos=；正切：tan=；其中：=2+23 38 8、诱诱导导公公式式倍加减名不变，符号只需看象限;半加减名要变，符号还是看象限。3 39 9、和和差差公公式式sin（）=sincoscossin（伞科科伞，符号不反）cos（）=coscos sinsin（科科伞伞，符号相反）tan（）=1（上同下相反）4 40 0、二二倍倍角角公公式式sin2=2sincoscos2=cos-sin=1-2sin=2cos-1tan2=21第3 页,共1 0 页4 41 1、降降幂幂公公式式.sinc
7、os=22.sin=122.=1+224 42 2、辅辅助助角角公公式式sinwx+bcoswx=2+2sin（wx+）.(tan=，a0)4 43 3、正正弦弦定定理理=2R4 44 4、余余弦弦定定理理cosA=+2a=b+c-2bccosAcosB=+2b=a+c-2accosBcosC=+2c=a+b-2accosC4 45 5、三三角角形形最最值值原原理理三角形中一个角及其对边已知时、另外两边或两角相等时周长取得最小值，面积取得最大值;第第 5 5 章章 向向量量4 46 6、向向量量加加法法的的作作图图上终下起，中间消去;?+?=?4 47 7、向向量量减减法法的的作作图图起点相同
8、，倒回来读;?=?4 48 8、向向量量平平行行的的判判定定（1）向量法?/?=?;（2）向量法?/?1221=0;4 49 9、向向量量垂垂直直的的判判定定（1）向量法?=0;（2）向量法?12+12=05 50 0、向向量量的的数数量量积积公公式式（1）向量法?|?|?|cos;（2）向量法?=12+125 51 1、向向量量的的夹夹角角公公式式（1）向量法cos=?|?|?|；（2）向量法cos=12+1212+1222+225 52 2、?方方向向上上的的单单位位向向量量（1）向量法?=?|?|；第4 页,共1 0 页（2）向量法：?=?|?|=112+12,112+125 53 3、
9、证证明明A A、B B、C C三三点点共共线线两两种种方方法法（1）两个向量?,?共线且有一个公共点 A;（2)?=?+?(x+y=1)第第 6 6 章章 立立体体几几何何5 54 4、线线线线角角向向量量法法公公式式cos=|?|?|?|5 55 5、线线面面角角（1）向量法公式sin=|?|?|?|;(2)几何法公式：sin=5 56 6、二二面面角角（1）向量法公式cos=|?|?|?|;(2）几何法公式cos=射影原图5 57 7、点点面面距距（1）向量法公式=|?|?|;(2）几何法公式=1125 58 8、多多面面体体的的内内切切球球半半径径=31+2+.+5 59 9、长长方方体
10、体的的外外接接球球半半径径2=2+2+26 60 0、直直棱棱锥锥的的外外接接球球半半径径2=2+(2)2=6 61 1、正正棱棱锥锥的的外外接接球球半半径径2=2+()2=6 62 2、正正三三角角形形的的性性质质高=32，面积：=3426 63 3、正正三三角角形形与与圆圆内切圆半径=36，外切圆半径：=33，且=216 64 4、正正四四面面体体的的高高斜高斜=32，正高正=63第5 页,共1 0 页6 65 5、正正四四面面体体与与球球内切球半径 r，外接球半径 R，且=31且r+R=正第第 7 7 章章 解解析析几几何何6 66 6、圆圆的的定定义义若PAPB，则P的轨迹为以AB为直
11、径的圆6 67 7、椭椭圆圆的的定定义义 若1+2=2(2|12|)，则 P 的轨迹为以12为焦点，2为长轴的椭圆6 68 8、双双曲曲线线的的定定义义若|P1|-|P2|=2(2|12|)，则 P 的轨迹为以12为焦点，2a 为实轴的双曲线6 69 9、抛抛物物线线的的定定义义到定点(p2,0)和到定直线=2的距离相等的点 P 的轨迹为为双曲线7 70 0、直直线线的的纵纵斜斜截截式式方方程程y=k+b;直线过y轴上点为B(0,b)且不竖直于轴7 71 1、直直线线的的横横斜斜截截式式方方程程=y+;直线过 x 轴上点为A(,0)且不平行于轴7 72 2、直直线线平平行行1/2 1=2(1
12、2)；或1221=07 73 3、直直线线垂垂直直12 12=1；或1212=07 74 4、点点点点距距公公式式|=(2 1)+(2 1)7 75 5、点点线线距距公公式式=|0+0+|2+27 76 6、线线线线距距公公式式=|12|2+27 77 7、点点差差法法的的斜斜率率公公式式椭=2020，双=2020，抛=07 78 8、通通用用弦弦长长公公式式=1+2(1+2)412，第6 页,共1 0 页=(1+12)(1+2)4127 79 9、圆圆的的弦弦长长公公式式=2 2 28 80 0、焦焦半半径径公公式式（带带坐坐标标）（1）椭圆中|MF|=e0；（2）双曲线|MF|=e0；（3
13、）抛物线|MF|=0+28 81 1、焦焦半半径径公公式式（倾倾斜斜角角）（1）椭圆中2(1)（2）双曲线2(1)（3）抛物线18 82 2、焦焦点点弦弦公公式式（倾倾斜斜角角）（1）椭圆中2(1)（2）双曲线2(1)；（3）抛物线28 83 3、抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦长长=1+2+=22+22=28 84 4、椭椭圆圆的的焦焦点点三三角角形形面面积积12=228 85 5、双双曲曲线线焦焦点点三三角角形形面面积积12=228 86 6、双双曲曲线线的的焦焦渐渐距距为为b（虚半轴）8 87 7、椭椭圆圆的的离离心心率率公公式式=1 228 88 8、双双曲曲线线的的离离心心率率公公式式=
14、1+22=1+渐8 89 9、圆圆锥锥曲曲线线的的离离心心率率公公式式|=|1|+1|9 90 0、椭椭圆圆、双双曲曲线线通通径径公公式式|=2第7 页,共1 0 页9 91 1、抛抛物物线线的的通通径径公公式式|=29 92 2、抛抛物物线线焦焦点点弦弦圆圆以抛物线焦点弦为直径的圆必与准线相切;9 93 3、抛抛物物线线焦焦点点弦弦性性质质1|+1|=29 94 4、抛抛物物线线焦焦点点直直线线的的韦韦达达定定理理12=24，1+2=2+22，12=，1+2=29 95 5、解解析析几几何何中中的的向向量量问问题题?=12+12，?+?=(1+2，1+2)9 96 6、向向量量与与夹夹角角问
15、问题题（1）AOB钝角?0;（2）AOB锐角?0;（3）AOB直角(OAOB)?=09 97 7、向向量量与与圆圆的的问问题题P P与与以以A AB B为为直直径径的的圆圆的的位位置置关关系系（1）P在圆内APB钝角?0;（2）P在圆上APB直角?=0;（3）P在圆外APB锐角?0;9 98 8、坐坐标标轴轴平平分分角角问问题题1=2 k1+k2=0第第 8 8 章章 概概率率统统计计9 99 9、频频方方图图的的频频率率=小小矩矩形形面面积积=；频率=频数/总数1 10 00 0、频频方方图图的的频频率率之之和和 1+2+.+=1;同时1+2+.+=11 10 01 1、频频方方图图的的众众
16、数数最高小矩形底边的中点。1 10 02 2、频频方方图图的的平平均均数数?=中11+中22+中33+.+中?=中11+中22+中33+.+中1 10 03 3、频频方方图图的的中中位位数数从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时的值。第8 页,共1 0 页1 10 04 4、频频方方图图的的方方差差2=(中1?)1+(中2?)2+.+(中?)1 10 05 5、古古典典概概型型公公式式()=1 10 06 6、几几何何概概型型公公式式()=1 10 07 7、常常见见的的排排列列问问题题任职问题、数字问题、排队照相问题、逐个抽取问题1 10 08 8、排排列列公公式式=(1).(+1)1
17、10 09 9、常常见见的的组组合合问问题题产品抽查问题、一次性抽取问题1 11 10 0、组组合合公公式式=(1).(+1)(1).3211 11 11 1、均均值值公公式式()=11+22+.+1 11 12 2、方方差差公公式式()=1()1+2()2+.+()1 11 13 3、互互斥斥事事件件概概率率公公式式P（A+B）=P（A）+P（B）1 11 14 4、对对立立事事件件概概率率公公式式P（?）=1-P（A）1 11 15 5、独独立立事事件件概概率率公公式式P(AB)=P(A)P(B)1 11 16 6、独独立立事事件件至至少少有有一一个个发发生生概概率率公公式式P(A+B)=
18、1-P(?)1 11 17 7、超超几几何何分分布布的的概概率率公公式式(=)=1 11 18 8、二二项项分分布布的的概概率率公公式式(=)=(1)1 11 19 9、二二项项分分布布的的均均值值()=；方差()=(1)。第第 9 9 章章 极极参参方方程程1 12 20 0、极极坐坐标标方方程程与与直直角角方方程程互互换换=2+2，=，=1 12 21 1、过过原原点点且且倾倾斜斜角角的的直直线线极极坐坐标标方方程程=()1 12 22 2、过过原原点点且且倾倾斜斜角角的的射射线线极极坐坐标标方方程程=或=(0)第9 页,共1 0 页1 12 23 3、极极坐坐标标方方程程为为=()的的直
19、直线线上上两两点点的的距距离离公公式式|=|12|=(12)4121 12 24 4、圆圆的的参参数数方方程程=+=+(为参数)1 12 25 5、直直线线的的参参数数方方程程=+=+(为参数)1 12 26 6、椭椭圆圆的的参参数数方方程程=(为参数)1 12 27 7、直直线线参参数数t t的的意意义义1 1|=|1|，|=|2|1 12 28 8、直直线线参参数数t t的的意意义义2 2|=|12|1 12 29 9、直直线线参参数数t t的的意意义义3 3|=|12|=(1+2)4121 13 30 0、直直线线参参数数t t的的意意义义4 4|+|=|1|+|2|=|1+2|1、2同
20、号|12|1、2异号第1 0 页,共1 0 页目录第一章 数列11.1等差与等比数列.11.1.1等差数列.11.1.2等比数列.41.1.3差比混合型数列.71.1.4中心对称函数与等差数列.81.2通项公式求法.91.2.1阶差法.101.2.2累加累乘法.111.2.3待定系数法.131.2.4倒数法、对数变换法.161.2.5隔项递推数列通项公式求法.181.3数列求和.211.3.1错位相减法.211.3.2裂项相消法.231.3.3待定系数法裂项.291.3.4区分奇偶项的求和.301.3.5变号数列的绝对值求和.321.3.6类周期数列求和.331.4互嵌式数列组的解题策略.34
21、1.5利用“整除”思想求解数列中“不定方程”.371.6数列放缩.391.6.1伪等比变等比.391.6.2二次函数型裂项.401.6.3利用平均不等式放缩.41第二章 向量422.1重心质量法.422.2向量的线性运算.442.3平面向量共线定理.462.4追本溯源,等和线解向量.48I2.5对面的女孩看过来.512.6向量恒等式.532.6.1平行四边形恒等式.532.6.2极化恒等式.532.6.3矩形的两个小性质.572.7四边形对角线向量定理（斯坦纳定理）.582.8向量的形.602.9三角形的心.632.10 向量投影.68第三章 圆锥曲线713.1预备知识.713.2圆.713.
22、2.1圆到直线距离相等点.713.2.2阿波罗尼斯圆.723.2.3同构之两圆方程之差.763.3椭圆直线联立.773.4焦半径与焦三角形.783.4.1焦三角形的心.793.4.2焦三角形角平分线.813.4.3焦三角形求离心率.833.4.4椭圆双曲线共焦点.903.4.5椭圆第二定义.923.4.6原曲焦点弦.933.5准点弦.1013.6点差法.1023.6.1中心弦.1023.6.2非对称韦达.1063.6.3中点弦.1113.6.4圆曲中的 8 字.1163.7定点定值.1183.7.1直角引定点.1183.7.2两垂直弦中点连线过定点.1193.7.3两斜率互为相反数.1213.
23、7.4和双曲线渐近线有关的定值.1233.7.5抛物线的弦引发的结论.1323.7.6抛物线几何平均.1333.7.7中心张直角两半弦.1353.7.8椭圆中有趣的六个定值.1383.7.9伴侣点.142第 II 页3.7.10 抛物线性质归纳.1463.8两点距离公式见奇效.1473.9曲线系与蝴蝶.1523.10 面积最值.1573.11 圆锥曲线中的向量.1603.11.1 共线型.1603.11.2 线性组合型.1623.12 二次曲线的切线.1633.12.1 切线方程.1633.12.2 求出切点.1663.12.3 阿基米德三角形.1683.13 同构原理构造一元二次方程.174
24、3.13.1 双切线及蒙日圆.1743.13.2 蒙日圆即伴随圆.1763.13.3 双斜率.1773.13.4 双定比.1803.13.5“同构法”处理与圆的切线有关的一类问题.1833.14 圆曲中的外接圆方程.187第四章 立体几何1894.1正方体中的截面问题.1894.2翻折问题的探究.1924.3动点位置关系.1964.3.1平行关系.1964.3.2垂直关系.1974.4几何体的外接、内切球.2014.4.1几何体外接球.2014.4.2过球内一点截面圆面积的最值.2134.4.3外接球估算.2144.5异面直线的夹角.2164.6动态求解一组变式立体几何题.2204.7三余弦、
25、三正弦定理.2224.8直棱柱截取后几何体体积.2244.9共面向量定理处理截面.226第五章 三角函数2285.1万能公式.2285.2和差化积公式.2295.3换元求值.2315.4活用导数解三角函数.231阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根第 III 页5.5简单的平移.2325.6单调性与 的关系.2345.7线性正余弦函数.236第六章 解三角形2376.1三角形解的个数.2376.2常考性质.2376.3面积周长最值.2406.4线段比中构造相似.2436.5三角形中的二倍角.2456.6三角形中的等差等比.2476.7三角形著名定理.2486.8奔驰形状找正弦.252
26、6.9边长比值.2536.10 四边形的四边确定，求面积最值.254第七章 函数2567.1函数的基本性质.2567.1.1奇偶性.2567.1.2周期性与对称性.2627.1.3抽象函数找原型.2697.2比较大小.2707.3热点函数图象.2717.3.1一比一型函数图象.2717.3.2对勾函数图象.2727.3.3一些超越函数的图象.2737.4三次函数.2767.4.1三次函数的单调性.2777.4.2三次函数的切线.2787.4.3三次函数的对称.2807.4.4三次方程中的韦达定理.2817.5讨论含参函数单调性.2817.6两曲线公切线.2827.7巧“变”洛必达.2857.8
27、双变量处理策略.2877.8.1A-L-G 不等式.2877.8.2极值点偏移.2927.8.3“切割线夹”秒解零点差.2947.9同构换元秒解导数题.2977.9.1反函数.297第 IV 页7.9.2同构换元解导数题.2997.10 不等式链.3017.10.1 子依母怀.3017.10.2 换汤不换药.3027.11 泰勒展开.3047.12 经典正弦不等式.3057.13 导数零点问题.3067.13.1 指数函数与分式函数乘积.3067.13.2 虚设零点.3087.13.3 含三角的导数问题.3107.13.4 超越函数零点区间的找点策略.3147.14 母不等式与数列求和.318
28、7.14.1 不等式短边为数字.3187.14.2 不等式短边含 n.3207.15 高考导数试题命制背景.3237.15.1 化曲为直命制背景.3237.15.2 嵌入不等式命制背景.325第八章 排列组合与概率3288.1排列组合方程组解法.3288.2环排涂色问题.3298.3相同元素有序分组的“隔板式”方法.3328.4比赛问题.3328.5映射问题.3338.5.1映射.3338.5.2单射.3338.5.3满射.3348.6灵活分组求概率.3348.7概率问题“浓度”法.3358.8混合方差.3358.9方差和期望的关系.337第九章 不等式3389.1基本不等式.3389.2权方
29、和不等式.3399.3构造平方差求二元最值.3409.4糖水不等式.341第十章 高中数学二级结论342第十一章 变式训练参考答案344知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。老子第 V 页第十二章 变式训练答案速递394第 VI 页第一章数列1.1等差与等比数列1.1.1等差数列等差数列性质1.等差数列 an 的通项公式是关于 n 的一次函数,并且一次项系数就是公差.2.等差数列 an 的前 n 项和公式是关于 n 的无常数项的二次函数,并且二次项系数为公差的12.3.等差数列 an 的前 n 项和 Sn=nan+12;4.数列S11,S22,S33,Snn亦为等差数列,公差为d2,(原等
30、差数列公差的一半).5.若 am=n,an=m(m,n),则 am+n=0.6.若 am=1n，an=1m(m,n)，则 am+n=1.7.若 Sm=Sn(m,n),则 Sm+n=0.8.若 Sm=n,Sn=m(m,n),则 Sm+n=(m+n).9.anbn=S2n1T2n1,其中 Sn，Tn为等差数列 an,bn 的前 n 项和.10.若等差数列 an 有 2n 项,则 S偶 S奇=nd.11.若等差数列 an 有 2n 1 项,则S奇S偶=nn 1.12.等差数列求前 n 项和取最值时对应的 n 值,若利用二次函数的对称轴求法,对称轴靠近那个整数,n 的值就取这个整数;对称轴恰好在两个整
31、数中间,则 n 的值就取这两个整数.证 逐个证明1.an=a1+(n 1)d=nd+a1 d;2.Sn=a1n+n(n 1)d2=d2n2+a1d2!n;13.Sn=n(a1+an)2=n a1+an2=nan+12;4.由 2 可得;5.若 am=n,an=m(m,n),则 am+n=am+(m+n m)m nn m=n n=0;6.若Sm=Sn(m 0，S10 0 时,n 的最大值为 2011.设等差数列 an 满足 a1=3,公差 d (0,10),Sn为其前 n 项和,若数列npSn+1o也是等差数列,则Sn+10an+1的最小值为.12.已知等差数列 an 满足 a21+a25=8,
32、则 a1+a2的最大值为()(A)2(B)3(C)4(D)5批星戴月上学去，万家灯火回家来！第 3 页13.已知数列 an 满足 a1=21,(2n 5)an+1=(2n 3)an+4n2 16n+15pan+2+9,则 an的最小的一项是()(A)a5(B)a6(C)a7(D)a814.已知单调递增数列 an 满足 a1=0,(an+1+an 1)2=4an+1 an(n N),则 an=.15.已知等差数列 an 满足 a1,0,2020 a2019=2019 a2020,Sn表示 an 的前 n 项和,则S2019S2020=.16.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 an,0
33、,若 a5=3a3,则S5S9=()(A)59(B)95(C)53(D)52717.记 Sn为递增等差数列 an 的前 n 项和,若数列(Snan)也为等差数列,则S3a3=()(A)3(B)2(C)32(D)118.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,函数 f(x)=x3+an+1 an cosn3为奇函数,则S2020=()(A)20232(B)1011(C)1008(D)33619.已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,若 S9=54,且 a3=2.(1)求数列 an 的通项公式;(2)证明:s1a1+3+s1a2+3+s1a3+3+r1a100+3 13.20.
34、已知 Sn为等差数列 an 的前 n 项和,若 S2018 S2020 S2019,设 bn=anan+1an+2,则数列(1bn)的前 n 项和 Tn取最大值时 n 的值为()(A)2020(B)2019(C)2018(D)20171.1.2等比数列常考性质公比不为 1 时1.等比数列前 n 项和 Sn=Aqn A.第 4 页2.等比数列前 n 项和 Sn=a1(1 qn)1 q,前 2n 项和 S2n=a1?1 q2n?1 q,则S2nSn=1+qn.3.等比数列前 n 项和 Sn与通项公式 an成线性关系(充要)Sn=qq 1ana1q 1=1q 1an+1a1q 1 a1q 1,0!例
35、 1.4 等比数列 an 前 n 项和 Sn=22n+1+t,则 t=.解 Sn=22n+1+t=2 4n+t t=2.例1.5已知等比数列an的前n项和Sn=3n+a,（a为常数）,则数列na2no的前n项和为Sn=()(A)12(9n 1)(B)14(9n 1)(C)18(9n+a)(D)3+a8(9n 1)解 依题意可知 a=1,故 Sn=3n 1,所以等比数列 an 的通项公式 an=2 3n1,于是 a21=4,选A.变式训练 EXERCISES21.【2020 全国 II 理】数列 an 中，a1=2，am+n=aman，若 ak+1+ak+2+ak+10=21525，则 k的值为
36、()(A)2(B)3(C)4(D)522.【2020 全国 I 文】设等比数列 an 满足 a1+a2=4,a3 a1=8.(1)求 an 的通项公式;(2)记 Sn为数列?log3an?的前 n 项和,若 Sm+Sm+1=Sm+3,求 m.23.【2020 全国新高考 I】已知公比大于 1 的等比数列 an 满足 a2+a4=20,a3=8.(1)求 an 的通项公式;(2)记 bm为 an 在区间(0,m(m N)中的项的个数,求数列 bn 的前 100 项和 S100.24.记 Sn是数列 an 的前 n 项和,若 an=Sn2 1,则 S7=.25.设数列 an 的前 n 项和为 Sn
37、,且 2Sn=3(an+1),若 a10=ka8,则 k=.26.已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn=a 4n1+b(a R,b R),则ba=.27.在等比数列 an 中,已知 anan+1=9n,则该数列的公比是()(A)3(B)3(C)3(D)9业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。韩愈第 5 页28.数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+an+1=4 3n1,则 S2020=.29.等比数列 an 前 n 项和为 Sn,则“a1 0”是“S2021 0”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件30.等比数列 an 的前
38、n 项和 Sn满足S6S3=6,则S9S6=()(A)116(B)316(C)56(D)331.【2018 全国 I】Sn为数列 an 的前 n 项和,若 Sn=2an+1,则 S6=.32.公比不为零的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,下列说法正确的是()(A)若 an 是递增数列,则 a1 0,q 0,0 q 0,则 S4+S6 2S5(D)若 bn=1an,则 bn 为等比数列33.正项等比数列 an 中,a1a11+2a5a9+a3a13=25,则 a1a13的最大值是()(A)25(B)254(C)5(D)2534.已知数列 an 和 bn 的前 n 项和分别为 Sn，Tn，a
39、1=2，b1=1,且 an+1=a1+2Tn.(1)若数列 an 为等差数列,求 Sn;(2)若 bn+1=b1+2Sn,证明:数列 an+bn 和 an bn 均为等比数列.35.正项等比数列 an 中,a7=a6+2a5,若存在两项 am,an,使得aman=4a1,则1m+4n的最小值为，()(A)32(B)53(C)256(D)不存在36.已知在等比数列 an 中,a1a2a3=1,1a1+1a2+1a3=72,则数列 an 的通项公式为.37.【多选】设等比数列 an 的公比为 q,其前 n 项和为 Sn,其前 n 项积为 Tn,并满足条件 a1 1，a2019a2020 1，a20
40、19 1a2020 1 0,下列结论正确的是()(A)S2019 S2020(B)a2019a2021 1 0，乙：Sn 是递增数列，则()(A)甲是乙的充分条件但不是必要条件第 6 页(B)甲是乙的必要条件但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解 a1=1，q=2 时，Sn 是递减数列，充分性不成立，若 Sn 是递增数列，则 an+1=Sn+1 Sn 0，可以推出 q 0，故选 A.1.1.3差比混合型数列等比性质等差含等比:利用等比性质:ab=cd=a cb d.例 1.7 等差数列 an 的公差不为零,首项 a1=1,a2是 a1和 a5的等比中
41、项,则 S10=.解 由比例的等比性质可知a2a1=a5a2=a5 a2a2 a1=3dd=3,所以 a2=3a1=3,于是 an=2n 1,可得Sn=n2,所以 S10=100.例 1.8 等差数列 an 的公差为 2,若 a2,a4,a8成等比数列,则 Sn=()(A)n(n+1)(B)n(n 1)(C)n(n+1)2(D)n(n 1)2解 由比例的等比性质可知a4a2=a8a4=a8 a4a4 a2=4d2d=2,所以 a4=2a2,又 a4=a2+4,所以 a2=4,于是 an=2n,可得 Sn=n(n+1),故选 A.变式训练 EXERCISES38.已知等差数列 an 的首项为 5
42、,公差不为零,且 a2,a4,a5成等比数列,则 a2020=()(A)12(B)32(C)32(D)201439.记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和,已知 a1=4,公差 d 0,a4是 a2与 a8的等比中项.(1)求数列 an 的通项公式;(2)求数列(1Sn)的前 n 项和 Tn.40.已知等差数列 an 的公差不为零,且 a2,a3,a9成等比数列,则a2+a3+a4a4+a5+a6=()(A)13(B)38(C)37(D)35敏而好学，不耻下问。孔子第 7 页41.在公差大于 0 的等差数列 an 中,2a7 a13=1,且 a1,a3 1,a6+5 成等比数列,则数列(1)
43、n1an 的前 21 项和为.例 1.9 已知等比数列 an 的通项公式为 an=3n，等差数列 bn 的通项公式为 bn=4n+3将数列an 与 bn 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一新数列 cn，求数列 cn 的通项公式分析 求等差数列与等比数列的公共项，可以将等比数列通项中的底数写成等差数列公差的整数倍与一常数(小于公差)的和与差，用二项式定理展开，根据整数的性质得到相应字母所满足的条件解 设 3k=4m+3（k,m N），即(4 1)k=4m+3，用二项式定理展开得C0k 4kC1k 4k1+Ck1k 4 (1)k1+(1)k=4(m+1)1结合等式左右两边的形式知 k 必为
44、奇数，而 4(m+1)1 7，则 k 的最小值为 3，故 cn=32n+1.例 1.10 设 an 是公比大于 1 的等比数列，Sn是数列 an 的前 n 项和，已知 S3=7，且 a1+3，3a2，a3+4 构成等差数列(1)求数列 an 的通项公式；(2)已知 bn 的通项公式为 bn=3n1令集合 A=a1,a2,an,，B=b1,b2,bn,，将集合 A B 中的元素按从小到大的顺序排列构成数列记为 cn，求数列 cn 的前 45 项的和 T45.解(1)an=2n1；(2)易知数列 an 与 bn 的公共项组成的数列 dn 是数列 an 的偶数项，因此数列 cn 的项就是将 bn 中
45、的项按顺序排列好后，将 an 中奇数项按大小插入即可由于 b41=122，a1=1，a3=4，a5=16，a7=64，a9=256 122，故数列 cn 的前 45 项是由 bn 前 41 项与 an 中奇数项 a1，a3，a5，a7构成，所以 T45=41(2+122)2+85=2627.1.1.4中心对称函数与等差数列中心对称函数与等差数列已知中心对称函数 f(x)的对称中心为(h,k),且 f(x)为单调函数,数列 an 是公差不为 0 的等差数列,若 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(an)=nk,则 a1+a2+a3+an=nh.例1.11设函数 f(x)=(x3)3+x1，a
46、n为公差不为零的等差数列，f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a7)=14，则 a1+a2+a3+a7=.第 8 页解 易知 f(x)=(x3)3+(x3)+2，所以对称中心为(3,2)，由 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a7)=14=7 2 可知 a1+a2+a3+a7=7 3=21.例 1.12 设函数 f(x)=sin x+tan x,项数为 27 的等差数列 an 满足 an?2,2?,且公差 d 不为零,若 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a27)=0,则当 k=时,f(ak)=0.解 易知 f(x)的对称中心为(0,0),所以 f(a1)+f(a2)+f(a2
47、7)=0,可知a1+a2+a27=0 a14=0例1.13设函数 f(x)=exex，若函数h(x)=f(x4)+x，则函数h(x)的图象的对称中心为；若数列 an 为公差不为零的等差数列，a1+a2+a3+a11=44，则 h(a1)+h(a2)+h(a3)+h(a11)=.解 函数 h(x)的图象的对称中心为(4,4)，h(a1)+h(a2)+h(a3)+h(a11)=4 11=44.变式训练 EXERCISES42.设函数 f(x)=2xcos x,an 是公差为8的等差数列,若 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a5)=5,则 f(a3)2 a1a5=()(A)0(B)1162(
48、C)182(D)1316243.设函数 f(x)=sin2x+2cos2x,等差数列 an 满足 a11=38,记 bn=f(an),则数列 bn 的前 21项和为.44.已知数列 an 的前 n 项和 Sn=12+2an,设 f(x)=exe2x+1,则 f(log2a1)+f(log2a2)+f(log2a7)的值等于()(A)0(B)1(C)7(D)141.2通项公式求法数列通项公式是数列的核心,如同函数的解析式,因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点.总结:数列通项公式的求法见下表海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚。林则徐第 9 页数列通项公式的求法已知前几项观察法形如 an
49、+1=p an+f(n)的递推式待定系数法已知前 n 项和 Sn阶差法形如 an+1=panqan+p的递推式取倒法an+1=an+f(n)累加法an+1=A an+B Cnan+1=p an+qan1an相除法an+1=an f(n)累乘法an+1=p arn对数法1.2.1阶差法阶差法Sn是数列 an 的前 n 项和,把已知关系通过 an=S1,n=1Sn Sn1n 2转化为 an或 Sn的递推关系.例 1.14 已知正项数列 an 中,Sn是其前 n 项和,并且 Sn=14(an+1)2,求数列 an 的通项公式.解 当n=1时,4a1=(a1+1)2 a1=1，当n 2时，Sn=14(
50、an+1)2Sn1=14(an1+1)2两式做差得anan1=2，所以数列 an 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.故 an=2n 1.例1.15【多选】已知数列an中，a1=1，a2=2，且n 1，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn1=2(Sn+1),则()(A)a7=13(B)a8=14(C)S7=43(D)S8=64解 由 Sn+1+Sn1=2(Sn+1),得 an+1 an=2(n 2),又因为 a2 a1=1,所以数列 an 从第二项起为等差数列,且公差 d=2,于是 a7=12，a8=14,所以 A%;B!;又 S7=43,S8=57,所以 C!;D%.变式训练 EXERCISE