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1、第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司2024 届高三年级届高三年级 TOP 二十名校冲刺一数学二十名校冲刺一数学全卷满分全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟注意事项：分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡
2、上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回4本卷命题范围：高考范围一本卷命题范围：高考范围一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数z满足1 i1 iz ，则z（）A 2iB.2iC.iD.i2.已知集合219,1,0,2,32AxxB Z，则AB中元素的个数为（）A.9B.8C.5D
3、.43.若,a bR，则“ab”是“3322abba”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数 2lnf xxx与直线0 xy相切于点A，则点A的横坐标为（）A.1eB.1C.2D.e5.设0.49332log 2,log 3 3,log 2 2,2abcd，则（）A.abcdB.dcbaC.adbcD.cadb6.在ABC中，若coscosacBbcA，则ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形.2024届河南省TOP二十名校高三下学期4月冲刺（一）数学试卷第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公
4、司7.如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的函数关系式是 cos0,0,2 2yKtK，其中0,1,4,1AB，振幅为 2，则前 3 秒该质点走过的路程为（）A.3cmB.3cmC.53 cmD.73 cm8.已知点P在水平面内，从P出发的三条两两垂直的线段,PQ PR PS位于的同侧，若,Q R S到的距离分别为1,2,3，则222149PQPRPS的值为（）A.1B.2C.3D.2二二多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，
5、有多项符合要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9.某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A 真否有关，调查了 400 人，得到如图所示的22列联表，其中12ba，则（）患疾病A不患疾病A合计过量饮酒3ab不过量饮酒a2b合计400参考公式与临界值表：22()n adbcabcdacbd0.1000.0500.0100.001x2.7063.8416.63510.828A.任意一人不患疾病A 的概率为 0.9第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司B.任意一人不过量饮酒的概率为38C.任意一人在不过量饮酒条件下不患疾病A 的概率
6、为2425D.依据小概率值0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A 有关10.已知椭圆22122:1(0)xyabab的左，右焦点分别为12,F F，将1上所有点的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的(0,1)k kk倍得到椭圆2，则下列说法正确的是（）A.若0t，则bbtaatB.若12,的离心率分别为12,e e，则12eeC.若12,的周长分别为12,C C，则12CCkD.若1的四个顶点构成的四边形面积为2124FF，则1的离心率为22111.将圆柱12OO的下底面圆1O置于球O的一个水平截面内，恰好使得1O与水平截面圆的圆心重合，圆柱12OO的上底面圆2O的圆周始终与球O的内壁相接（
7、球心O在圆柱12OO内部）已知球O的半径为 3，132OO 若R为上底面圆2O的圆周上任意一点，设RO与圆柱12OO的下底面所成的角为，圆柱12OO的体积为V，则（）A.可以取到0,2中的任意一个值B.227cos12sin2VC.V的值可以是任意小的正数D max814V三三填空题：本题共填空题：本题共 3 小题；每小题小题；每小题 5 分，共分，共 15 分分12.若5,12,3,4ab，则cos,a b的值为_13.如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上下底的面积分别为24cm和29cm，高为3cm.现在搜集到的雨水平面与上下底面的距离相等，则该地的降雨量为_mm.（降雨量等于
8、集雨器中积水体积除以集雨器口的面积）的.第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司14.若点A 在抛物线2:4E yx上运动，点B在圆221(1)4xy上运动，2,0C，则2|ACAB的最小值为_四四解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出必要的文字说明分解答应写出必要的文字说明证明过程及演算步骤证明过程及演算步骤15.在直四棱柱1111ABCDABC D中，底面为矩形，133,ABADa AAh，,O E分别为底面的中心和CD的中点，连接1111,OE AO AE D B DC（1）求证：平面1AOE 平面11CDDC；（2）若62ha，求平面1AOE与平
9、面1D BC所成角余弦值16.某公司拟从水平相当的普通程序员中篮选出若干高级程序员，方法如下：首轮每位普通程序员被要求设计难度相同的甲乙丙丁四种程序，假设每位普通程序员每种设计合格的概率都为12，其中四种设计全部合格直接晋升为高级程序员；至少有两种（包括两种）“不合格”的直接被淘汰，否则被要求进行二轮设计：在,A B C三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计，且抽取的两种设计都合格方可晋升为高级程序员已知每位普通程序员设计,A B C合格的概率分别为1 11,2 4，同一普通程序员不同的设计相互不影响（1）已知,A B C设计合格的得分分别为80,90,100，不合格得 0 分，若二轮设计中
10、随机抽取到,B C的得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率17.在平面直角坐标系中，点F E的坐标分别为 2 2,0,2 2,0，以F为圆心作一个半径为 4 的圆，点H是圆上一动点，线段EH的重直平分线与直线HF相交于点P（1）求P的轨迹的方程；（2）已知2,0A，点Q是轨迹在第一象限内的一点，R为QA的中点，若直线OR的斜率为5，的第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司求点Q的坐标18.已知函数 ln1,2,xkxkxf xkxk.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）当*nN时，求证：3ln14nn.19.在等差数列 na中，已知34527
11、,4aa aa成等差数列（1）求数列 na的通项公式；（2）数列2na是否为等比数列？若是求其前n项和，若不是，请说明理由；（3）设11log0322nqnnadqn，且*12,knkkkndddd NN，求q所有取值的第 1 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司2024 届高三年级届高三年级 TOP 二十名校冲刺一二十名校冲刺一数学数学全卷满分全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
12、指定位置2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回4本卷命题范围：高考范围本卷命题范围：高考范围一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
13、要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数z满足1 i1 iz ，则z（）A.2iB.2iC.iD.i【答案】C【解析】【分析】利用复数除法法则计算出答案.【详解】因为1 i1 iz ，所以i 1 i1 ii1 i1 iz 故选：C2.已知集合219,1,0,2,32AxxB Z，则AB中元素的个数为（）A.9B.8C.5D.4【答案】B【解析】【分析】利用列举法表示出集合 A，再求出并集即可得解.【详解】依题意，解不等式29x，得33x，33 3,2,1,0,1,2,3Axx Z，而1 1,0,2,32B ，因此1 3,2,1,0,1,2,3,2AB ，第 2 页/
14、共 18 页学科网（北京）股份有限公司所以AB中元素的个数为 8故选：B3.若,a bR，则“ab”是“3322abba”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】构造函数 32xxf x，根据函数单调性得到3232aabb，故ab.【详解】构造函数 32xxf x，则 f x在R上单调递增，所以 33223232abbaaabbf af bab故选：C4.函数 2lnf xxx与直线0 xy相切于点A，则点A 的横坐标为（）A.1eB.1C.2D.e【答案】B【解析】【分析】设出00,A xy，求导，直线0 xy的斜率为1，根据导
15、数的几何意义得到方程，求出横坐标详解】设函数 2lnf xxx与直线0 xy相切于点00,A xy，直线0 xy的斜率为1，12fxxx，所以00121xx，所以01x 故选：B5.设0.49332log 2,log 3 3,log 2 2,2abcd，则（）A.abcdB.dcbaC.adbcD.cadb【答案】C【解析】【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得a b c d,的取值范围，即可求解.【第 3 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司详解】由00.5333233log 2log 31,log 3 3,log 2 2,122222abcd，即3122d，所以adbc故选：C
16、6.在ABC中，若coscosacBbcA，则ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理将coscosacBbcA化简为222222abcabcab，从而可求解.【详解】由coscosacBbcA，得22222222acbbcaacbcacbc ，化简得222222abcabcab，当2220abc时，即222abc，则ABC直角三角形；当2220abc时，得ab，则ABC为等腰三角形；综上：ABC为等腰或直角三角形，故 D 正确.故选：D.7.如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移y（单位：cm）与时间t（单位：
17、s）之间的函数关系式是 cos0,0,2 2yKtK，其中0,1,4,1AB，振幅为 2，则前 3 秒该质点走过的路程为（）A.3cmB.3cmC.53 cmD.73 cm【答案】D【解析】【为第 4 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，求得2cos23yt，分别令23t、23t 和3t，求得相应的函数值，进而求得前 3 秒该质点走过的路程，得到答案.【详解】由函数cosyKt的图象，可得2K，周期为4T，可得242，所以2cos2yt，因为0,1A在函数图象上，可得2cos1，即1cos2，又因为,2 2，所以3，因为1t 时，0y，所以3，所以2cos23yt，令,
18、23tk kZ，则22+,3tkkZ，故函数图像在y轴右侧第一条对称轴和第二条对称轴分别为28,33tt,令23t，则22cos2233y；令83t，则82cos2233y；令3t，则2cos3323y ，所以质点在22 880,333 33 的路程分别2 11,224,3223 ，所以前 3 秒该质点走过的路程为73 cm.故选：D8.已知点P在水平面内，从P出发的三条两两垂直的线段,PQ PR PS位于的同侧，若,Q R S到的距离分别为1,2,3，则222149PQPRPS的值为（）A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】【分析】以,PQ PR PS 为空间的一个基底，由此表示出平面的
19、单位法向量，再利用数量积的运算律求第 5 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司解即得.【详解】由,PQ PR PS两两垂直，取空间的一个基底,PQ PR PS ，设n是平面的一个单位法向量，依题意，可使n与PQ PR PS 的夹角都是锐角，则存在唯一的有序实数组(,)x y z，使得nxPQyPRzPS ，显然,PQ PR PS 在n方向上的投影向量的长度分别为1,2,3，于是1n PQ，即()1xPQyPRzPSPQ ，则21x PQ，即21|xPQ ，同理2223,|yzPRPS ，因此222123|nPQPRPSPQPRPS ，而1n，所以222221231|PQPRPSPQPRP
20、S ，因此2222221231|PQPRPSPQPRPS ，所以2221491|PQPRPS 故选：A【点睛】关键点点睛：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的关键，解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量二二多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9.某研究机构为了探究过量饮酒
21、与患疾病A 真否有关，调查了 400 人，得到如图所示的22列联表，其中12ba，则（）患疾病A不患疾病A合计过量饮酒3ab不过量饮酒a2b合计400第 6 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司参考公式与临界值表：22()n adbcabcdacbd0.1000.0500.0100.001x2.7063.8416.63510.828A.任意一人不患疾病A 的概率为 0.9B.任意一人不过量饮酒的概率为38C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A 的概率为2425D.依据小概率值0.001独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A 有关【答案】ACD【解析】【分析】先求出10,120ab，利用古
22、典概型概率公式求解判断 AB，利用条件概率概念求解判断 C，求出2的观测值，即可判断 D.【详解】由已知得43400ab，又12ba，所以10,120ab.任意一人不患疾病A 的概率为30.9400b，所以 A 正确；任意一人不过量饮酒的概率为254008ab，所以 B 错误；任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A 的概率为224225bab，所以 C 正确；对于 D，22列联表如下：患疾病A不患疾病A合计过量饮酒30120150不过量饮酒10240250合计40360400则2的观测值2240030 240 120 108026.6740 360 150 2503，由于26.6710.828
23、，依据小概率值0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A 有关，所以 D 正确.的第 7 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司故选：ACD10.已知椭圆22122:1(0)xyabab的左，右焦点分别为12,F F，将1上所有点的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的(0,1)k kk倍得到椭圆2，则下列说法正确的是（）A.若0t，则bbtaatB.若12,的离心率分别为12,e e，则12eeC.若12,的周长分别为12,C C，则12CCkD.若1的四个顶点构成的四边形面积为2124FF，则1的离心率为221【答案】AB【解析】【分析】利用糖水不等式判断选项 A；根据椭圆离心率的定义式判
24、断选项 B；利用相似图形的相似比即可判断出选项 C；综合运用椭圆的几何性质和四边形的面积公式判断选项 D 即可.【详解】设点(,)x y为椭圆2上任意一点，则由题意知xkxyky，即xxkyyk，代入椭圆1的方程得 2222221xyk ak b.所以椭圆2的方程为 2222221xyk ak b(0)ab.因为0,0abt，所以bbtaat，所以A正确；由已知得，2222121,abk abeeeaka，所以B正确；由已知得，12，其相似比为1:k，所以121CCk，所以21CkC，因为0,1kk，所以C错误；设22cab，因为1的四个顶点构成的四边形的面积为2124FF，所以21(2)22
25、24cab，所以22abc，所以2222a acc，所以42440ee，所以2244442212e (负舍)，所以 D 错误故选：AB第 8 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司11.将圆柱12OO的下底面圆1O置于球O的一个水平截面内，恰好使得1O与水平截面圆的圆心重合，圆柱12OO的上底面圆2O的圆周始终与球O的内壁相接（球心O在圆柱12OO内部）已知球O的半径为 3，132OO 若R为上底面圆2O的圆周上任意一点，设RO与圆柱12OO的下底面所成的角为，圆柱12OO的体积为V，则（）A.可以取到0,2中的任意一个值B.227cos12sin2VC.V的值可以是任意小的正数D.max
26、814V【答案】BCD【解析】【分析】先画出平面图，得到圆柱的底面半径3cosr，高为33sin2，代入圆柱体积公式求解，再令sint，利用导数求最值.【详解】过 R 作圆柱12OO的轴截面PQRS，过 O 作12MNOO交圆柱轴截面的边于 M，N，由RO与圆柱的下底面所成的角为，则3cos,3sinOMMR，所以222127(3cos)3sincos(12sin)2VOMQROO，即222727cos(12sin)1 sin(12sin)22V，故 B 正确；当点 P，Q 均在球面上时，角取得最小值，此时1232OOOO，所以6，第 9 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司所以,6 2
27、a，故 A 错误；令1sin,12at，所以23227271(12)22122Vttttt，所以2276222Vtt，另26220tt，解得两根12113113,22tt ，所以2227271127622)622022224Vtt ，所以32272212Vttt在1,12t时单调递减，所以32max271118122122224V ，8104V，故 CD 正确；故选：BCD【点睛】关键点睛：本题主要考查运用导数求最值的方法，难度较大，解决问题的关键在于先画出平面图，得到圆柱的底面半径3cosr，高为33sin2，代入圆柱体积公式求解，再令sint，利用导数求最值.三三填空题：本题共填空题：本题
28、共 3 小题；每小题小题；每小题 5 分，共分，共 15 分分12.若5,12,3,4ab，则cos,a b的值为_【答案】3365【解析】【分析】利用向量夹角余弦公式进行求解.【详解】5,123,45 3 12 433cos,13 56525 1449 16a ba ba b 故答案为：336513.如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上下底的面积分别为24cm和29cm，高为3cm.现在搜集到的雨水平面与上下底面的距离相等，则该地的降雨量为_mm.（降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积）第 10 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司【答案】45516【解析】【分析】
29、将三棱台补成三棱锥111OABC，求得三棱锥OABC的体积为38cm，再设000OA B C和111OABC的体积分别为01,V V，结合则30832hVh，求得0V和1V，根据104VV，即可求解.【详解】如图所示，将三棱台补成三棱锥111OABC，设三棱锥OABC的高为h，则439hh，解得6h，所以三棱锥OABC的体积为314 68cm3，再设000111,OA B C OABC的体积分别为01,V V，则30832hVh，所以3086362V，所以30125cm8V，同理318663V，所以3313827cm2V，所以该地的降雨量为1091455cmmm43216VV.故答案为：455
30、16.14.若点A 在抛物线2:4E yx上运动，点B在圆221(1)4xy上运动，2,0C，则2|ACAB的最小第 11 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司值为_【答案】2【解析】【分 析】设,A s t，根 据 抛 物 线 焦 半 径 得 到1AFs，利 用 两 点 间 距 离 公 式 得 到2222|(2)4ACsts，根据12ABAF得到22|432ACsABs，变形得到24253342ss，利用基本不等式求出最小值.【详解】抛物线24yx的焦点F的坐标为1,0，准线方程为1x ，1,0为圆221(1)4xy的圆心，圆的半径为12，设点,A s t，则由抛物线的定义得21,4A
31、Fsts，22222|(2)4444ACstssss，由三角形三边关系得到12ABAF，当且仅当,A B F共线时，等号成立，所以222|41322ACACsABAFs，令3322s，则32s，所以223442525232323442ss，当且仅当254，即5322时等号成立，故2|ACAB的最小值为 2故答案为：2【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围第 12 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司
32、四四解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出必要的文字说明分解答应写出必要的文字说明证明过程及演算步骤证明过程及演算步骤15.在直四棱柱1111ABCDABC D中，底面为矩形，133,ABADa AAh，,O E分别为底面的中心和CD的中点，连接1111,OE AO AE D B DC（1）求证：平面1AOE 平面11CDDC；（2）若62ha，求平面1AOE与平面1D BC所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）2 23【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，即1DDOE，进而得到OE 平面11CDDC，证明出面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求
33、出两平面的法向量1266,0,3,0,32nn，利用法向量的夹角余弦公式求出答案.【小问 1 详解】因为,O E分别为底面的中心和CD的中点，所以OECD，因为1DD 平面ABCD，OE 平面ABCD，所以1DDOE，又因为1DDCDD，1,DD CD 平面11CDDC，所以OE 平面11CDDC，因为OE 平面1AOE，所以平面1AOE 平面11CDDC【小问 2 详解】以A 为空间坐标原点，1,AB AD AA所在直线分别为,x y z轴建立空间直角坐标系第 13 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司由已知得11330,0,0,0,3,0,0,0,0222a aAhDa hOCa a
34、DaEa a，所以113,3,0,22a aAOhDCah，又0,0,0,02aBCADaOE ，设平面1AOE与平面1D BC的法向量分别为11112222,nx y znxyz，所以111130,220,2aaxyhzay，解得10y，令13z，则12hxa，故12,0,3hna，所以22230,0,axhzay，解得20y，令23z，则1hxa，故2,0,3hna，因为62ha，所以1266,0,3,0,32nn，设平面1AOE与平面1D BC所成角的大小为，所以121266,0,3,0,32332 2cos333 2633322n nn n 16.某公司拟从水平相当的普通程序员中篮选出
35、若干高级程序员，方法如下：首轮每位普通程序员被要求设计难度相同的甲乙丙丁四种程序，假设每位普通程序员每种设计合格的概率都为12，其中四种设计全部第 14 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司合格直接晋升为高级程序员；至少有两种（包括两种）“不合格”的直接被淘汰，否则被要求进行二轮设计：在,A B C三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计，且抽取的两种设计都合格方可晋升为高级程序员已知每位普通程序员设计,A B C合格的概率分别为1 11,2 4，同一普通程序员不同的设计相互不影响（1）已知,A B C设计合格的得分分别为80,90,100，不合格得 0 分，若二轮设计中随机抽取到,B
36、C的得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率【答案】（1）分布列见解析；期望为70 （2）1396【解析】【分析】（1）X的可能取值为0,90,100,190，分别求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可；（2）综合运用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式求解即可.【小问 1 详解】X的可能取值为0,90,100,190，由题意知，113113011,901248248P XP X ，1111111001,190248248P XP X，X的分布列为X090100190P383818183119010019070888E X【小问 2 详解】
37、因为同一普通程序员不同的设计相互不影响，所以每位普通程序员晋升为高级程序员的概率为43141111111113C1112223242496P 17.在平面直角坐标系中，点F E的坐标分别为 2 2,0,2 2,0，以F为圆心作一个半径为 4 的圆，第 15 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司点H是圆上一动点，线段EH的重直平分线与直线HF相交于点P（1）求P的轨迹的方程；（2）已知2,0A，点Q是轨迹在第一象限内的一点，R为QA的中点，若直线OR的斜率为5，求点Q的坐标【答案】（1）22144xy （2）3,5【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质及双曲线的定义可得答案；（2）利用
38、中点公式和OR的斜率为5建立方程组，求解方程组可得答案.【小问 1 详解】由题意可知，点P在线段EH的垂直平分线上，所以PHPE，又点H是圆F上一动点，所以4FH 当PHPF时，4PEPFPHPFHF；当PHPF时，4PFPEPFPHFH，所以P的轨迹满足44 2PFPEEF，根据双曲线定义可知，P点的轨迹是以,F E为左右焦点，实轴长为24a 的双曲线，可得222 2,2,2cabca，所以P的轨迹的方程为22144xy【小问 2 详解】设0000,2,0Q xyxy，所以2200002,422xyRxy，因为直线OR的斜率为5，所以0052yx，即0052yx，与22004xy联立解得02
39、x（舍去）或 3所以点Q的坐标为3,5第 16 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司18.已知函数 ln1,2,xkxkxf xkxk.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）当*nN时，求证：3ln14nn.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，然后根据2k 和2k 分类讨论，解导函数不等式即可求得单调区间；（2）根据（1）的结论知3ln13xxx，令*1xmmN得13ln4mm，结合对数运算累加法即可证明.【小问 1 详解】ln1kxf xxxk的定义域为1,.2222211()1()x xkkkfxxxkxxk，当2k 时，0,fxf x在1,上
40、单调递增；当2k 时，1,0 x 时，0,fxf x在1,0上是增函数20,2xkk时，0,fxf x在20,2kk上是减函数，22,xkk时，0,fxf x在22,kk上是增函数.【小问 2 详解】由（1）得，当3k 时，3ln13xf xxx，f x在0,3上是减函数，即当0,3x时，00f xf，所以3ln13xxx，令*1xmmN得，3133ln13143mmmmm，即13ln4mm，所以2312313333lnlnlnlnln112124444nnnnnn，得证.19.在等差数列 na中，已知34527,4aa aa成等差数列第 17 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司（1）
41、求数列 na的通项公式；（2）数列2na是否为等比数列？若是求其前n项和，若不是，请说明理由；（3）设11log0322nqnnadqn，且*12,knkkkndddd NN，求q所有取值【答案】（1）32nan （2）是等比数列，2 817n （3）21【解析】【分析】（1）设等差数列 na的首项为1a，公差为d，依题意得到关于1a、d的方程组，解得即可；（2）根据等比数列的定义判断，再由等比数列求和公式计算可得；（3）依题意可得211,mqqqmnmN当0m 时无解，当1m 时解得q，说明2mmN时无解，即可确定q的值.【小问 1 详解】设等差数列 na的首项为1a，公差为d，因为3452
42、7,4aa aa成等差数列，所以1111272434adadadad，解得113ad，所以32nan【小问 2 详解】因为11222a，11322282nnnnaaaa，所以2na是以2为首项，8为公比的等比数列，所以数列2na的前n项和为2 1 82 811 87nn【小问 3 详解】的第 18 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司因为11log0322nqnnadqn，所以1132nnannndqq，因为*12,knkkkndddd NN，所以212311,mdddqqqmnm N，当0m 时，q无解；当1m 时，解得21q 或21q （舍去）；当2mmN时，21mqqq，即 21*mqqq，令 2mf qqqq，则 f q为关于q的单调递增函数，因为102q，所以 22221111111222222mmf qqqq，所以*无解，所以q的取值为21，进一步得，当21q 时，对任意的正整数k，21211kkkkkkddddqqd qd，满足：*112,1,kkkkkkdddd NN，所以q的所有取值是21【点睛】关键点点睛：第三问由于k的任意性取特殊值确定q的值，再验证其合理性.