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1、网络流算法课件(清华)BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA目录CONTENTS网络流算法概述增广路算法最大流算法最小割算法网络流算法的优化与改进BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01网络流算法概述定义与特点定义网络流算法是一种用于解决具有特定特性的网络流问题的算法。特点网络流算法通常具有高效、精确的特点，能够处理大规模的网络流问题，广泛应用于计算机科学、运筹学、电子工程等领域。最大流问题寻找在网络中从源点到汇点的最大流量。最小割问题确定将网络划分为两个子集的最小割点，使得两个子集之间的流量最小。最短路问题寻找网络中两个节点之间的最短路径。匹配问
2、题在图中寻找最大匹配数，即在网络中寻找最多可匹配的边数。网络流算法的应用场景在网络中从一个节点流向另一个节点的单位量。流容量残量网络中每条边的容量限制，表示该边能够传输的最大流量。当前剩余的流量限制，表示当前边还能够传输的流量。030201网络流算法的基本概念BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02增广路算法01增广路算法是一种基于增广路径的Ford-Fulkerson方法，用于求解最大流问题。02基本思想是通过不断寻找增广路径（从源点出发到汇点的路径，路径上每条边的容量都小于其容量上限），并沿该路径增广容量，直到找不到增广路径为止。03增广路算法的核心是利用了网络流的
3、性质，通过不断寻找和增广增广路径来逼近最大流。增广路算法的基本思想123设置源点s和汇点t，初始化所有边的流量为0。初始化从s出发，沿着可行流方向搜索路径，直到t或遇到无法再前进一步的点。寻找增广路径如果找到的路径是增广路径，则沿该路径增加每条边的容量。增广路径增广路算法的实现步骤时间复杂度01O(VE2)，其中V是顶点数，E是边数。分析02增广路算法的时间复杂度主要来自于寻找增广路径的过程，每次找到一条增广路径需要进行一次DFS（深度优先搜索），而DFS的时间复杂度为O(E)，因此总的时间复杂度为O(VE2)。优化03在实际应用中，可以通过预处理和记忆化搜索等技术来降低时间复杂度。增广路算法
4、的时间复杂度分析BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03最大流算法最大流算法的基本思想最大流算法的基本思想是寻找一条从源点到汇点的最大流量路径，使得路径上的所有边的流量之和最大。最大流算法基于容量和流量两个概念，容量表示边的容量上限，流量表示边的实际流量。最大流算法的目标是在满足网络流守恒的前提下，找到一条流量最大的路径，使得源点发出的流量等于终点接收的流量。03第三步重复第一步和第二步，直到找不到增广路径为止。此时，从源点到汇点的最大流量即为所求。01第一步寻找增广路径。增广路径是从源点到汇点的一条路径，该路径上的所有边的流量都可以增加。02第二步沿着增广路径增广流量
5、。将增广路径上的所有边的流量增加最小割，得到新的网络流。最大流算法的实现步骤常见的寻找增广路径的算法有Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。Ford-Fulkerson算法的时间复杂度为O(V2E)，Edmonds-Karp算法的时间复杂度为O(VE2)。其中，V表示顶点的数量，E表示边的数量。因此，最大流算法的时间复杂度与网络的大小成正比。最大流算法的时间复杂度主要取决于寻找增广路径的算法。最大流算法的时间复杂度分析BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA04最小割算法最小割算法是一种求解网络最大流的算法，其基本思想是将网络流问题转化为割问题，通
6、过寻找最小割来获得最大流。割是指将源点与汇点之间的边划分为两个部分，一部分属于源点，另一部分属于汇点，割的大小即为这两部分边的权值之和。最小割算法的核心思想是不断寻找最小割，直到达到最大流或无法再找到更小的割为止。最小割算法的基本思想初始化设置源点、汇点和所有边的初始流量为0，设置最小割为无穷大。寻找最小割从源点开始遍历所有边，找到一条从源点到汇点的路径，该路径上的流量即为当前的最小割。更新流量对于路径上的每一条边，如果该边的流量小于当前的最小割，则更新该边的流量为最小割的流量。最小割算法的实现步骤03因此，对于大规模的网络流问题，最小割算法可能会比较耗时。01最小割算法的时间复杂度主要取决于
7、寻找最小割的步骤，即遍历所有边的次数。02如果网络中边的数量为E，则最小割算法的时间复杂度为O(E)，其中E的数量与网络中节点的数量和边的数量有关。最小割算法的时间复杂度分析BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA05网络流算法的优化与改进通过找到并利用增广路径，降低网络流问题的计算复杂度。增广路径预处理将原始网络转化为割点更少的网络，减少不必要的计算。最小割预处理通过预计算和存储部分流，减少在算法运行过程中的计算量。预流推进预处理技术将网络流问题分解为多个子问题，并行处理以提高计算效率。并行化算法设计利用现代并行计算框架，如Hadoop、Spark等，实现大规模网络流的计算。并行计算框架通过优化并行算法的通信和同步，提高并行计算的效率。并行化优化并行化技术近似算法设计设计能够在多项式时间内得到近似解的算法，满足实际应用的需求。近似比分析分析近似算法的近似比，评估其在实际问题中的性能表现。近似算法的应用将近似算法应用于大规模网络流问题，解决实际问题的同时提高计算效率。近似算法