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1、图论课件第一章图的基本概念目录CATALOGUE图论简介图的定义与表示图的类型与特性图的度数与连通性特殊图与图的运算图论中的著名问题与猜想图论简介CATALOGUE01欧拉解决哥尼斯堡七桥问题，标志着图论的诞生。18世纪19世纪20世纪图论研究开始受到重视，出现了一些经典问题，如四色问题。图论与计算机科学的结合，促进了离散数学的快速发展。030201图论的发展历程图论的应用领域物理学生物学量子力学、统计物理、复杂系统等。神经网络、基因调控网络等。计算机科学化学社会学计算机网络、数据结构、算法设计等。分子结构、化学反应网络等。社交网络、交通网络等。图的定义与表示CATALOGUE02图是由顶点（
2、或节点）和边构成的集合，用于表示事物之间的关系。总结词图论中的图是由两个集合构成，一个是顶点集合，另一个是边集合。顶点集合中的元素称为顶点或节点，边集合中的元素称为边。在图中，边连接两个顶点，表示事物之间的关系。详细描述图的定义总结词图可以用各种方式表示，包括邻接矩阵和邻接表。详细描述图的表示方法有多种，其中最常用的是邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵是一个二维矩阵，其中矩阵的行和列对应于图的顶点，矩阵中的元素表示顶点之间的连接关系。邻接表是一种链式数据结构，它使用链表来表示每个顶点的邻居。图的表示方法顶点和边具有一些基本的性质，如度数和权重。总结词顶点具有度数性质，即与该顶点相连接的边的数量。在有向
3、图中，顶点的度数可以分为入度和出度。边具有权重性质，表示连接两个顶点之间的某种度量或关系。根据具体应用场景，权重可以是距离、时间、成本等。详细描述顶点和边的性质图的类型与特性CATALOGUE03在图论中，简单图是指没有多重边和环的有限非空图。简单图是图论中最基本和最直观的图，是研究复杂图的基础。简单图与简单图相对，多重图允许多条边连接同一对顶点。在多重图中，可以有多条具有相同起点和终点的边。多重图简单图和多重图在有向图中，边是有方向的，表示从一个顶点到另一个顶点的单向关系。有向图的边常用箭头表示方向。在无向图中，边是没有方向的，表示顶点之间的双向关系。无向图的边常用直线表示。有向图和无向图无
4、向图有向图欧拉图欧拉图是指存在一条或多条路径，使得这些路径上的所有边都不重复地经过图中的每一条边至少一次的连通图。欧拉路径是指一条路径上的所有边都不重复地经过图中的每一条边至少一次的路径。哈密顿图哈密顿图是指存在一条哈密顿回路，即一条路径经过每个顶点恰好一次的连通图。哈密顿回路是指一条路径经过每个顶点恰好一次的回路。欧拉图和哈密顿图图的度数与连通性CATALOGUE04总结词顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。详细描述在图论中，每个顶点都有一个与之关联的度数，表示与该顶点直接相连的边的数量。对于无向图，顶点的度数等于与之相连的边的数量；对于有向图，顶点的度数分为入度和出度，分别表示指向该顶点
5、和从该顶点出发的边的数量。顶点的度数顶点的度数计算顶点的度数有助于分析图的连通性和稳定性。总结词通过计算图中每个顶点的度数，可以了解图的连通性。如果一个顶点的度数为0，则表示该顶点孤立，与其他顶点没有边相连；如果一个顶点的度数大于0，则表示该顶点与其他顶点相连，具有连通性。此外，通过分析度数分布，还可以评估图的稳定性，例如在社交网络中，度数较少的顶点可能更容易受到信息传播的影响。详细描述VS边的连通性是指两条边在图中的连接关系。详细描述在图论中，边的连通性表示两条边在图中的连接状态。如果图中存在一条路径（即一系列相连的边和顶点）连接两条边，则称这两条边是连通的。边的连通性是图论中一个重要的概念
6、，用于研究图的连通性质、最小生成树等问题。总结词边的连通性边的连通性与图的最短路径、最小生成树等问题密切相关。边的连通性是研究图的最短路径和最小生成树等问题的关键因素。在最短路径问题中，边的连通性决定了图中两点之间是否存在路径以及路径的长度；在最小生成树问题中，边的连通性决定了连接所有顶点的最小代价的子图的结构。因此，了解边的连通性有助于解决一系列图论问题。总结词详细描述边的连通性完全图和二分图总结词：完全图是指每对不同的顶点之间都有一条边相连的图。详细描述：完全图是图论中一个特殊的图，其中任意两个不同的顶点之间都直接相连。完全图具有高度的连通性，其所有顶点的度数都相等且为最大的可能值。完全图
7、在组合数学、概率论和统计学等领域有广泛的应用。总结词：二分图是指一个图可以被划分为两个非空子集，使得所有的边只连接这两个子集中的顶点。详细描述：二分图是一种特殊的图，可以被划分为两个非空子集，使得任意一条边都只连接这两个子集中的顶点。二分图在许多实际问题中有应用，例如社交网络中的群组划分、化学中的分子结构分析等。判断一个图是否为二分图是图论中的一个经典问题，有多种算法可以解决。特殊图与图的运算CATALOGUE05树的性质与结构树的性质树是一种特殊的图，它没有环且连通。树具有一些重要的性质，如树的边数等于其节点数减一。树的结构树的结构包括叶节点、内部节点和分支。叶节点是树的最末端节点，内部节点
8、是连接叶节点的节点，分支是连接内部节点的边。图的同构如果两个图可以通过一系列的节点和边的对应关系相互转化，则这两个图称为同构。同构是图的一种重要性质，用于研究图的内在结构。图的同胚同胚是图的一种特殊类型的同构，它要求两个图的节点和边的对应关系保持一致的顺序。图的同构与同胚图的运算图的运算是指对图进行一系列的操作，如添加边、删除边、合并节点等。这些运算可以用来改变图的形状和结构。要点一要点二图的变换图的变换是指对图进行一系列的变换操作，如旋转、翻转、对称等。这些变换可以用来研究图的对称性和几何特性。图的运算与变换图论中的著名问题与猜想CATALOGUE06四色猜想是一个著名的图论问题，它指出任何
9、平面地图都可以用四种颜色进行染色，使得相邻区域颜色不同。总结词四色猜想最初由Francis Guthrie于1852年提出，经过多年的研究，至今仍未被证明或反驳。尽管已经有了大量的计算机验证，但尚未找到反例或证明。详细描述四色猜想总结词欧拉回路问题是寻找一个路径，该路径从图的任意一点出发，经过每条边一次且仅一次，最后回到起始点。详细描述欧拉回路问题是一个古老的图论问题，由数学家Leonhard Euler在18世纪提出。该问题已被证明在某些图上存在，但在其他图上可能不存在。欧拉回路问题总结词哈密顿回路问题是指在一个图中寻找一个路径，该路径经过每个顶点一次且仅一次，最后回到起始顶点。详细描述哈密顿回路问题是一个经典的图论问题，由数学家William Rowan Hamilton在19世纪提出。该问题在某些图上存在，但在其他图上可能不存在。哈密顿回路问题THANKS感谢观看