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1、2024年初三上册数学专项圆的有关概念及圆的确定巩固练习【巩固练习】一、选择题1.（2015春张掖校级月考）有下列四个说法：半径确定了，圆就确定了；直径是弦；弦是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆其中错误说法的个数是（）A1B2C3D42.下列语句中，不正确的个数是（ ） 直径是弦；弧是半圆；长度相等的弧是等弧；经过圆内一定点可以作无数条直径 A1个 B2个 C3个 D4个3.如图，O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）A2条 B3条 C4条 D5条 第3题 第4题4.如图，已知O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）A
2、1个 B2个 C3个 D4个5已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )A5个圆B8个圆C10个圆D12个圆6. 如图，点A 、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式正确的是（ ）A.abc B.bca C.cab D.a=b=c 第6题 第7题二、填空题7.如图，P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，猜想这样的P点一共有 .8若ABC中，C=90，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径为_9.（2014春定陶县期末）下
3、列说法正确的是 （填序号）半径不等的圆叫做同心圆； 优弧一定大于劣弧； 不同的圆中不可能有相等的弦； 直径是同一个圆中最长的弦10.如图，在半径不等的同心圆中，圆心角AOB所对的的长度有_ _关系；的度数有_ _关系.11.如图，已知O内一点P，过P点的最短的弦在圆内的位置是_ _；过P点的最长的弦在圆内的位置是_ _；并分别将图画出来.12.在同一平面内，1个圆把平面分成01+2=2个部分，2个圆把平面最多分成12+2=4个部分，,3个圆把平面最多分成23+2=8个部分，4个圆把平面最多分成34+2=14个部分，（1）10个圆把平面最多分成 个部分；（2）n个圆把平面最多分成 个部分.三、解
4、答题13.已知O的半径r5cm，圆心O到直线的距离dOD3cm，在直线上有P、Q、R三点，且有PD4cm，QD4cm，RD4cm，P、Q、R三点与O位置关系各是怎样的?14（2014秋江宁区校级期中）如图，BD=OD，AOC=114，求AOD的度数15如图所示，AB是O的一条弦（不是直径），点C，D是直线AB上的两点，且AC=BD （1）判断OCD的形状，并说明理由（2）当图中的点C与点D在线段AB上时（即C，D在A，B两点之间），（1）题的结论还存在吗？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题
5、，故此说法正确；弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确其中错误说法的是两个故选：B2.【答案】C；【解析】直径是弦符合弦的定义正确；弧是半圆，这句话不对，可能是半圆，也可能使优弧或劣弧；长度相等的弧是等弧，这句话不符合等弧的定义：能够完全重合的弧，故错误；经过圆内一定点只能作一条直径所以原题不正确. 故都不正确. 3.【答案】B；【解析】图中的弦有弦AB、弦BC、弦CE共三条. 4.【答案】
6、C；【解析】在弦AB所在直线的两侧分别有1个和两个点符合要求,故选C；5.【答案】C.【解析】过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆. 6.【答案】D；【解析】如图，连接OM、OD、OA、根据矩形的对角线相等，得BC=OA，EF=OD，NH=OM再根据同圆的半径相等，得a=b=c故选D； 二、填空题7.【答案】12.【解析】每个象限有2个符合要求的点，坐标轴上有4个点，共12个. 即：（3，4）、（4，3）、（3，-4）、（4，-3）、（-3，4）、（-4，3）、（-3，-4）、（-4，-3）、（0，5）
7、、（0，-5）、（5，0）、（-5，0）.8【答案】26cm；9.【答案】；【解析】半径不等的圆叫做同心圆，错误；优弧一定大于劣弧，错误； 不同的圆中不可能有相等的弦，错误；直径是同一个圆中最长的弦，正确故答案为：10.【答案】；相等；11.【答案】垂直于过p点的直径的弦；过p点的直径. 如图： 12.【答案】（1）92； （2）n2-n+2.【解析】（1）910+2=92；（2）（n-1）n+2=n2-n+2.三、解答题13【答案与解析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P、Q、R三点到圆心的距离与圆的半径比较大小连接PO，QO，RO PD4cm，OD3cm， PO 点P在O上， 点Q在O外
8、， 点R在O内14【答案与解析】解：设B=x，BD=OD，DOB=B=x，ADO=DOB+B=2x，OA=OD，A=ADO=2x，AOC=A+B，2x+x=114，解得x=38，AOD=180OADADO=1804x=180438=2815【答案与解析】（1）OCD是等腰三角形 如图（1）所示，过点O作OMAB，垂足为M，由圆的对称性有MA=MB 又AC=BD， AC+MA=BD+MB， 即CM=DM 又OMCD，即OM是CD的垂直平分线， OC=OD，OCD为等腰三角形 （1） （2）（2）当点C，D在线段AB上时，（1）题的结论还存在.如图（2）所示， 同上问，作OMAB，垂足为M， 由圆
9、的对称性，得AM=BM 又AC=BD，CM=AM-AC=BM-BD=DM， OC=OD， OCD为等腰三角形圆的有关概念及圆的确定知识讲解【学习目标】1知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.2能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆.3情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会
10、用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 【要点梳理】要点一、圆的定义1. 圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”要点诠释： 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内
11、的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释： 定点为圆心，定长为半径；圆指的是圆周，而不是圆面；强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内 d r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；
12、要点三、与圆有关的概念1. 弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是O的直径，CD是O中任意一条弦，求证：ABCD.证明：连结OC、OD AB=AO+OB=CO+ODCD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)直径AB是O中最长的弦.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆
13、的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：半圆是弧，而弧不一定是半圆；无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； 圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直
14、平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：O是ABC的外接圆， ABC是O的内接三角形，点O是ABC的外心. 外心的性质：外心是ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【典型例题】类型一、圆的定义1（2014秋邳州市校级月考）如图所示，BD，CE是ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上【思路点拨
15、】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EFBD，CE是ABC的高，BCD和BCE都是直角三角形DF，EF分别为RtBCD和RtBCE斜边上的中线，DF=EF=BF=CFE，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形【答案】C.2 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破
16、点120m以外的安全区域.这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？【思路点拨】计算在导火索燃烧完的时间内人跑的距离与120m比较.【答案与解析】 导火索燃烧的时间为相同时间内，人跑的路程为206.5=130（m）人跑的路程为130m120m,点导火索的人安全.【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示. 类型二、圆的有关计算3已知，点P是半径为5的O内一点，且OP=3，在过点P的所有的O的弦中，弦长为整数的弦的条数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5【思路点拨】在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦是经过
17、这一点与直径垂直的弦.【答案】 C.【解析】作图，过点P作直径AB，过点P作弦，连接OC 则OC=5，CD=2PC， 由勾股定理，得， CD=2PC=8，又AB=10， 过点P的弦长的取值范围是，弦长的整数解为8，9，10，根据圆的对称性，弦长为9的弦有两条，所以弦长为整数的弦共4 条. 故选C.【总结升华】利用垂径定理来确定过点P的弦长的取值范围.根据圆的对称性，弦长为9的弦有两条，容易漏解.举一反三：【变式】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（ ）.A.2.5cm B.6.5cm C. 2.5cm或6.5cm D. 5cm或13cm【答案】C.类型三、确定
18、圆的条件的有关作图与计算4已知：不在同一直线上的三点A、B、C，求作： O使它经过点A、B、C.【思路点拨】作圆的关键是找圆心得位置及半径的大小，经过两点的圆的圆心一定在连接这两点的线段的垂直平分线上，进而可以作出经过不在同一直线上的三点的圆.【解析】作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3、以O为圆心，OB为半径作圆. 所以O就是所求作的圆. 【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置.【变式】（2015江干区二模）给定下列图形可以确定
19、一个圆的是（）A已知圆心B已知半径C已知直径D不在同一直线上的三个点【答案】D.提示：A、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小，故错误；B、C、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误；D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确，故选D5如图，O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是 . 【思路点拨】求出符合条件的OP的最大值与最小值.【答案】3OP5.【解析】OP最长边应是半径长，为5；根据垂线段最短，可得到当OPAB时，OP最短直径为10，弦AB=8OPA=90，OA=5，由圆的对称性得AP=4，由勾股定理的OP=，OP最短为3.
20、OP的长的取值范围是3OP5.【总结升华】关键是知道OP何时最长与最短.举一反三：【变式】已知O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是_ _【答案】 OP最大为半径，最小为O到AB的距离所以5OP13. 圆的对称性巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.下列结论正确的是（） A经过圆心的直线是圆的对称轴 B直径是圆的对称轴 C与圆相交的直线是圆的对称轴 D与直径相交的直线是圆的对称轴2（2015广元）如图，已知O的直径ABCD于点E，则下列结论一定错误的是（）ACE=DEBAE=OEC=DOCEODE3 如图，已知AB，CD是O的两条直径，且AOC=50，作A
21、ECD，交O于E，则弧AE的度数为（）A65 B70 C75 D80 第3题 第5题4AB为O的弦，OCAB，C为垂足，若OA2，OCl，则AB的长为( ) A B C D5如图所示，矩形ABCD与O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（ ） A2 B4 C6 D86已知O的直径AB=12cm，P为OB中点，过P作弦CD与AB相交成30角，则弦CD的长为（ ）ABCD二、填空题7如图，四边形ABCD内接于O，若BOD=138，则它的一个外角DCE等于 度8平分_ _的直径_于弦，并且平分_9（2015黔西南州）如图，AB是O的直径，CD为O的一条弦，CDAB于点E
22、，已知CD=4，AE=1，则O的半径为10如图，CD为O的直径，ABCD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=_cm 第7题 10题图 11题图 12题图11如图，O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=_cm，AOB=_12如图，AB为O的弦，AOB=90，AB=a，则OA=_，O点到AB的距离=_三、解答题13如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60米，拱高18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时是否要采取紧急措施? 14. 如图所示，AB是O的直径，弦CDAB于点P，CD10cm，AP:PB1:5，求O半径 15（2015绵
23、阳模拟）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】图形的对称轴是直线，圆的对称轴是过圆心的直线，或直径所在的直线. 2.【答案】B；【解析】O的直径ABCD于点E，CE=DE，弧CB=弧BD，在OCE和ODE中，OCEODE，故选B3.【答案】D；【解析】解：连接BE，OE，AECDA=AOC=50，AB是直径，E=90，B=40，AOE=80，即弧AE的度数为80故选D 4.【答案】D；【解析】先求AC=.再求AB=2AC=.5.【答案】C；【解析
24、】过O作OHCD并延长，交AB于P，易得DH=5，而AM=2，MP=3，MN=2MP=23=6.6.【答案】A；【解析】作OHCD于H，连接OD,则OH=, OD=6,可求DH=,CD=2DH=. 二、填空题7【答案】69；【解析】BAD=BOD=69，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得DCE=BAD=69.8【答案】弦（不是直径），垂直于，弦所对的两条弧9【答案】； 【解析】连接OC，如图所示：AB是O的直径，CDAB，CE=CD=2，OEC=90，设OC=OA=x，则OE=x1，根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，即22+（x1）2=x2，解得：x=；故答案为：10【答案】8；11【
25、答案】； 12【答案】， ； 三、解答题13.【答案与解析】设圆弧所在圆的半径为R，则R2-(R-18)2=302， R=34 当拱顶高水面4米时，有， 不用采取紧急措施.14.【答案与解析】连结OC设APk，PB5k， AB为O直径， 半径且OPOAPA3kk2k ABCD于P， CP5在RtCOP中用勾股定理，有， 即， (取正根)， 半径(cm)15.【答案与解析】（1）证明：连接AC，如图直径AB垂直于弦CD于点E，AC=AD，过圆心O的线CFAD，AF=DF，即CF是AD的中垂线，AC=CD，AC=AD=CD即：ACD是等边三角形，FCD=30，在RtCOE中，点E为OB的中点；（2
26、）解：在RtOCE中，AB=8，又BE=OE，OE=2， 圆的对称性知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；2. 通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念 ，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用，通过实际操作、思考、交流等过程增强学生的实践意识和应用方法.【要点梳理】要点一、圆的对称性 圆是轴对称图形
27、，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心要点诠释： 圆具有旋转不变的特性即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合要点二、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.要点三、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直
28、径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不
29、能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1（2015巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长【答案与解析】解：E为弧AC的中点，OEAC，AD=AC=4cm，OD=OEDE=（OE2）cm，OA=OE，在RtOAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，OD=OEDE=3cm【总结升华】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形.举一反三：【变式】如图，O中，弦AB弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm
30、，求圆心O到弦CD 距离。 【答案】2如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ） AMP与RN的大小关系不定 BMPRN CMPRN DMPRN【答案】B；【解析】比较线段MP与RN的大小关系，首先可通过测量猜测MP与RN相等，而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证OMPONR，如果联想到垂径定理，可过O作OEMN于E，则MENE，PERE， MEPENERE，即MPRN【总结升华】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”.举一反三：【变式】已知：如图，割线AC与圆O交于点B、C，割线AD过圆心O. 若圆O的半径是5，且，AD=13. 求弦BC的长.【答案
31、】6.类型二、垂径定理的综合应用3如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（ ） A5m B8m C7m Dm【思路点拨】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.【答案】B；【解析】如图2， 表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为的中点，CDAB于D，CD表示拱高，O为的圆心，根据垂径定理的推论可知，C、D、O三点共线，且OC平分AB在RtAOD中，OA13，AD12，则OD2OA2AD213212225 OD5， CDOCOD1358，即拱高为8m 【总结升华】解决此题的关键是将
32、这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题 4（2015蓬溪县校级模拟）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且AB=26m，OECD于点E水位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案与解析】解：（1）直径AB=26m，OD=，OECD，OE：CD=5：24，OE：ED=5：12，设OE=5x，ED=12x，在RtODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，CD=2DE=2121=24m；
33、（2）由（1）得OE=15=5m，延长OE交圆O于点F，EF=OFOE=135=8m，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满【总结升华】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由【答案】不需要采取紧急措施 设OA=R，在RtAOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18， R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，
34、解得R=34(m). 连接OM，设DE=x，在RtMOE中，ME=16， 342=162+(34-x)2， x2-68x+256=0， 解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)， DE=4m3m， 不需采取紧急措施类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用5. 如图，AB是O的直径，BC、CD、DA是O的弦，且BC=CD=DA，求BCD的度数. 【思路点拨】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得BCD的度数【答案与解析】解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，弦BC和CD和DA对的圆心角均为60，BCD=120【总结升华】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180举一反三：【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC.【答案】证法1：AB=CD，(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等) 证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC， AB=CD，(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等) AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)