《湖南省长沙市雅礼中学2024届高三4月综合测试数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省长沙市雅礼中学2024届高三4月综合测试数学试题含答案.pdf（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCC
2、oOABAMoAAByQNABAA=#数学（YL）答案（第 1 页，共 11 页）雅礼中学雅礼中学 2024 届届高三高三综合自主测试（综合自主测试（4 月）月）数学参考答案一、选择题一、选择题（本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分）1、D【解析】因为0.5|log(1)0|12Axxxx，24=|2xBxx x，所以AB且AB，所以 A 错，B 错，|12ABxxA，C 错，|2ABx xB，D 对，故选：D.2、C【解析】由(1i)12i0z，得1 2i(1 2i)(1 i)1 3i13i1 i(1 i)(1 i)222z ，则复平面内z对应
3、的点位于第三象限.故选：C3、B【解析】因为椭圆x25y2m1 的长轴长为 6，所以椭圆的焦点在y轴上，且m329，所以该椭圆的离心率为95323.故选 B.4、C【解析】64 个格子放满麦粒共需6464112212，1kg麦子大约 20000 粒，1 吨麦子大约72 10粒，64646363637777721222,lglg2lg1063lg2763 0.3711.92 102 101010，63127210,10故选：C.5、D【解析】令 12xfxx，其在 R 上单调递减，又 11010,11022ff ，由零点存在性定理得0,1a，则logayx在0,上单调递减，画出112xy与log
4、ayx的函数图象，#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#数学（YL）答案（第 2 页，共 11 页）可以得到0,1b，又2xya在 R 上单调递减，画出2xya与312logyx的函数图象，可以看出0,1c，因为011122b，故log1logaaab ，故ba，因为,0,1a c，故1caaa，由12logcac得，1122caaca综上，cab故选：D6、D【解析】2222(4851)11C01148511C11148510(1)C2114859(1)2C10114851(1)10C1111(1)11，由此可知 2222
5、除以 5 的余数即为 C1111(1)111 除以 5 的余数，故所求余数为 4故选 D7、B【解析】由465160a aa可得255160aa，故516a，设 na的公比为q，则3528aqa，即2q=，故2122nnnaa q，则121441416422143nnnnSnn 123n由于2n时，10nnbb，#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#数学（YL）答案（第 3 页，共 11 页）故2nS随着n的增大而增大，而510412 533136033S，6124126135336033S，故满足2360nS的最小正整数n
6、的值为 6故选：B.8、B【解析】fx的定义域为R，且 31313131xxxxfxfx ，故 fx为R上的奇函数.而 2131xfx ，因31xt=+在R上为增函数，21yt 在1,为增函数，故 fx为R上的增函数.又 1230f af aa即为123f afaa，故1230aaa，因为*3Nnnaan，故 na为周期数列且周期为 3.因为20232022 13 674 1 ，所以202312320231167401iiaaaaaa.故选：B.二、选择题二、选择题（本题共本题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 1818 分分）9、BC【解析】由函数解析式可知，a是不变
7、号零点，b是变号零点，对于 A，变号零点是 0，则b0，则f(x)0，不成立，故 A 不符合题意；对于 B，变号零点小于 0，不变号零点为 0，则b0，a0，此时f(x)b(xb)x2，当x0，当bx0，f(x)0 时，f(x)a0，f(x)b(xb)(xa)2，当xa时，f(x)0，当axb时，f(x)b时，f(x)0，满足图象，故 C 符合题意；对于 D，ab0，f(x)b(xb)(xa)2，当x0，与图象不符，故 D 不符合题意故选 BC.10、BD【解析】g(x)f（x）f（x）ex，当x1 时，f(x)f(x)0，故g(x)在(1，)上为增函数；当x1 时，f(x)f(x)0，则yg
8、(x)没有零点，C 错误g(x)在(1，)上为增函数，则g(2)g(e)，即f（2）e2eef(2)，D 正确故选 BD#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#数学（YL）答案（第 4 页，共 11 页）11、AD【解析】对于 A，球的体积为V43r3323，圆柱的体积为Vr2(2r)16，则球与圆柱的体积之比为 23，A 正确；对于 B，设d为点E到平面BCD的距离，0dr，而平面BCD经过线段EF的中点O1，四面体CDEF的体积VCDEF2VEO1DC23SO1DCd231244d16d3323，B 错误；对于 C，过O作
9、OHDO1于H，如图，而O1O2DO2，则 sinDO1O2OHOO1DO2DO1，又DO1r2（2r）22 5，于是OH25，设截面圆的半径为r1，球心O到平面DEF的距离为d1，则d125，又r1r2d21 4d2144545，则平面DEF截球的截面圆的面积Sr21165，C 错误；对于 D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接QE，QF，当Q与E，F都不重合时，设QFE，则QF4cos，QE4sin，当Q与E，F之一重合时，上式也成立，因此QF4cos，QE4sin，0，2，则PEPFPQ2QE2PQ2QF22(14sin2 14cos2)，令t 14sin2 14cos2
10、，则t262 54sin22，而 02，即 0sin21，因此 62 5t212，解得 1 5t2 3，所以PEPF的取值范围为22 5，4 3，D 正确故选 AD三、填空题三、填空题（本题共本题共 3 3 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 1515 分分）12、1【解析】由 tancos，得sincoscos，即 sincos2，则 sin(1sin)(1sin)，即11sin1sinsin，所以11sin1sin1sinsin1sin1.#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#数学（YL）答案（第 5 页，共 1
11、1 页）13、371801537【解析】由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D表示“迟到”，则P(A)P(B)P(C)13，P(D|A)14，P(D|B)15，P(D|C)16.P(D)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D|C)13141516 37180.解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是P(A|D)P（AD）P（D）P（A）P（D|A）P（D）1314371801537.解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率P141415161537.14、2，74 74，34【解析】由题意可知，函数f(x)的图象如图
12、所示，根据函数图象，函数f(x)在(，1)，(0，1)上单调递增，在(1，0)，(1，)上单调递减，故当x1 时取得最大值 2，当x0 时取得最小值 0，直线y32是该图象的渐近线令f(x)t，则关于x的方程f(x)22af(x)b0(a，bR R)可写成t22atb0，此时关于t的方程应该有两个不相等的实数根，设t1，t2为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：当t10，32，t232，2时，2at1t232，72，则a74，34；当t12，t232，2时，2at1t272，4，则a2，74.综上可知，实数a的取值范围是2，74 74，34四、解答题四、解答题（本题共本题共 6 6
13、 小小题，共题，共 7070 分分）15、（1）由题设21(1)(21)2()nnnnSSnS，则221(1)2nnnSn S，又12113Sa，故2nn S是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以232(1)21nn Snn，则221nnSn.#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#数学（YL）答案（第 6 页，共 11 页）（2）由（1）得1111()(21)(21)2 2121nbnnnn，所以11111111(1)(1)2335212122121nnTnnnn.16、（1）PBC为等边三角形，D为PC中点，BDPC，
14、又BDPA，PAPCP，PA，PC 平面PAC，BD平面PAC，AC平面PAC，ACBD，取BC中点G，连接PG，PBC为等边三角形，PGBC，平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC，PG 平面PBC.AC平面ABC，PGAC，BD与PG相交，BD，PG 平面PBC，AC 平面PBC；（2）以C为坐标原点，CA，CB所在直线为x轴，y轴，过C且与GP平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0C，0,2,0B，0,1,3P，130,22D，330,22E，设,0,0F a01a，则0,1,0DE，13,22DFa，设平面DEF的一个法向量为,nx y zr，则00n D
15、En DF，所以013022yaxyz，#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#数学（YL）答案（第 7 页，共 11 页）取3x，可得02yza，3,0,2na为平面DEF的一个法向量，取平面ABC的一个法向量为0,0,1m，则221cos,234m nam nm na ，解得12a，此时12CF，在线段AC上存在点F使得平面DEF与平面ABC的夹角为3，且12CF.17、（1）设事件A为“从第 1 组所有鸡冠花中随机选取 1 株，株高增量为7,10厘米”，根据题中数据，第 1 组所有鸡冠花中，有 20 株鸡冠花增量为7,1
16、0厘米,所以 P A估计为201402；（2）设事件B为“从第 2 组所有鸡冠花中随机选取 1 株，株高增量为7,10厘米”，设事件C为“从第 3 组所有鸡冠花中随机选取 1 株，株高增量为7,10厘米”，根据题中数据，P B估计为162405，P C估计为1234010，根据题意，随机变量X的所有可能取值为 0,1,2.3，且 1232101112510100P XP ABCP A P B P C ；11125P XP ABCABCABCP A P B P CP A P B P CP A P B P C；292100P XP ABCABCABCP A P B P CP A P B P CP
17、A P B P C；3350P XP ABCP A P B P C，则X的分布列为：#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#数学（YL）答案（第 8 页，共 11 页）X0123P21100112529100350所以21112936012310025100505EX .（3）132DDD理由如下：1129111,04040PP，所以22112911292929291131910,10404040404040401600ED ；2220111,04022PP，所以22221111111140010,10222222241600
18、ED ；3325531,04088PP，所以223353555531537510,108588888641600ED ；所以132DDD.18、（1）因为虚轴长22b，所以1b.又因为点4,1A 在双曲线上，所以221611ab，解得28a.故双曲线C的方程为2218xy.（2）证明：如下图所示：设000,4S xyx ，则00,Txy#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#数学（YL）答案（第 9 页，共 11 页）所以200020001114416ASATyyykkxxx因为00,S xy在双曲线C上，所以220018xy
19、，可得2200128xy；于是20202200211816168ASATxykkxx，所以直线AS和直线AT的斜率之积为定值，定值是18.（3）证明：设1122,P x yQ xy，直线PQ的方程为1ykx，如下图所示：联立22118ykxxy，消去x整理可得221 816160kxkx则222(16)4 1 816642560,kkk 所以 121212221121 8yykxkxk xxk212121212111 1y ykxkxk x xk xx 直线AP的方程为111414yyxx，令0y，得点M的横坐标为11441Mxxy；同理可得点N的横坐标为22441Nxxy；所以1212448
20、11MNxxxxyy122112121248811x yx yxxyyyy122112121212114881x kxxkxxxyyy yyy121212121222488.1kx xxxyyy yyy将式代入上式，并化简得到#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#数学（YL）答案（第 10 页，共 11 页）2288 1 88484,22 1 8MNkxxk 所以MN的中点的横坐标为22MNxxx，故MN的中点是定点2,0.19、（1）若12a ，可得 412 lnf xxxx，则 3412ln12fxxx，即 3412ln
21、12g xfxxx，可得 2212(1)(1)1212xxxgxxxx，当31,ex时，0gx，所以 yg x在31,e上单调递增，又由3(e)4e 160g，所以 0g x，即 0fx，所以函数 yf x在31,e上单调递减，所以 max11f xf，即函数 f x的最大值为1.（2）解：由1122,P x g xQ xg x，可得1212()()g xg xkxx，因为122gxgxk，所以对任意12,1,)x x 且21xx，都有121212()()2gxgxg xg xxx，因为 4lnf xxaxx，可得 34lng xfxxaxa，则 212agxxx，对任意12,1,)x x 且
22、21xx，令12(1)xt tx，则1212122xxgxgxg xg x 2233121211221212122 4ln4lnaaxxxxxaxxaxxx#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#数学（YL）答案（第 11 页，共 11 页）3322121121212212441212()2 lnxxxxxx xx xaaxxx332214(331)(2ln)0 x ttta ttt 对于21,),(1,)xt 恒成立，由332332224(331)(1)(1)x tttx tt则314(1)(2ln)0ta ttt 对于(1,)t 恒成立，记 314(1)(2ln)tta ttt，可得 222222(1)1212(1)(1)ttattattt，若12a ，则 0t，t在(1,)单调递增，所以 10t，符合题意；若12a ，则 22()()121212(1)aattttt，当(1,)12at时，0t，t在(1,)单调递减；当(,)12at时，0t，t在(1,)单调递增，所以，当(1,)12at时，10t，不符合题意（舍去），综上可得，12a ，即实数a的取值范围为 12,).#QQABRQYUoggAAJBAARgCQQUCCkIQkBGCCCoOABAMoAAByQNABAA=#