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1、课时规范练21导数的概念及其意义一、基础巩固练1.(2024北京西城模拟)函数f(x)=x+1x在x=2处的切线斜率为()A.-3B.34C.54D.52.(2024广东东莞模拟)设函数f(x)=x2+3x,则limx0f(1+x)-f(1)x=()A.5B.-5C.2D.-23.(2024山东济南模拟)已知函数f(x)=x-1x,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为()A.3x+2y-3=0B.3x-2y-3=0C.2x-3y-2=0D.2x-3y+2=04.(2024河北石家庄模拟)已知直线x-y+3=0是曲线y=x3+mx+1的一条切线,则实数m=()A.2B.1C.-1D
2、.-25.(2024重庆巴蜀中学检测)已知函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5)处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f(5)=()A.2B.3C.4D.-16.(多选题)(2024山东临沂模拟)已知函数f(x)=ln(2x)+x2,下列直线是曲线y=f(x)的切线的是()A.(2e+e)x-y-e24=0B.12x-4y-5=0C.8x-4y-3=0D.3x-y-2+ln 2=07.(2024广东深圳模拟)若曲线y=ln x+1x在x=2处切线的倾斜角为,则tan =.8.(2024福建厦门模拟)曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线垂直于直线2x-y=0,则a=.9.(2024云南玉
3、溪模拟)曲线y=(x-4)ex过坐标原点的切线方程为.二、综合提升练10.(2024湖南长沙模拟)过点(2,0)作曲线f(x)=xex的两条切线,切点分别为(x1,f(x1),(x2,f(x2),则x1+x2=()A.-2B.-2C.2D.211.(2024河南新乡模拟)在曲线y=2x3-1x的所有切线中,与直线y=7x+6平行的共有()A.4条B.3条C.2条D.1条12.(多选题)(2024湖北武汉模拟)若函数y=f(x)的图象上存在不同的两点,使函数图象在这两点处的切线斜率之积小于0且斜率之和等于常数e,则称该函数为“e函数”,下列四个函数中,为“e函数”的是()A.f(x)=2xB.f
4、(x)=sin xC.f(x)=x2+2xD.f(x)=lnxx13.(2024陕西安康模拟)若点P是曲线y=ln x-x2上任意一点,则点P到直线l:x+y-4=0的距离的最小值为.14.(2024福建漳州模拟)已知函数f(x)=-x3+2x2-x,若过点P(1,t)可作曲线y=f(x)的三条切线,则t的取值范围是.15.(2024福建厦门模拟)已知函数f(x)=x2+aln x有两条与直线y=2x平行的切线,且切点坐标分别为P(x1,f(x1),Q(x2,f(x2),则x1x2x1+x2的取值范围是.课时规范练21导数的概念及其意义1.B解析 因为f(x)=x+1x,则f(x)=1-1x2
5、,所以f(2)=1-122=34,因此函数f(x)=x+1x在x=2处的切线斜率为34,故选B.2.A解析 依题意f(x)=2x+3,则f(1)=5,因此limx0f(1+x)-f(1)x=f(1)=5,故选A.3.B解析 因为f(1)=0,所以切点为(1,0),又因为f(x)=12x+1x2,k=f(1)=32,所以切线方程为y=32(x-1),即3x-2y-3=0,故选B.4.D解析 曲线y=x3+mx+1,可得y=3x2+m,直线x-y+3=0是曲线y=x3+mx+1的一条切线,设切点横坐标为a,则切点纵坐标为a+3,则3a2+m=1,a+3=a3+ma+1,解得a=-1,m=-2,故选
6、D.5.A解析 由于函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5)处的切线方程是y=-x+8,故f(5)=-5+8=3,f(5)=-1,故f(5)+f(5)=2,故选A.6.ABD解析 由于f(x)=ln(2x)+x2,x0,所以f(x)=1x+2x22,因此y=f(x)切线斜率的最小值为22.对于选项A,在点(e2,f(e2)处的切线的斜率为2e+e,切点为(e2,1+e24),切线方程为(2e+e)x-y-e24=0,故A满足;对于选项B,在点(12,f(12)处的切线斜率为3,切点为(12,14),切线方程为12x-4y-5=0,故B满足;对于选项C,直线8x-4y-3=0的斜率为20,故x
7、02-2x0-2=0,=120,由题意可知x1,x2为x02-2x0-2=0的两个解,故x1+x2=2,故选D.11.B解析 由y=6x2+1x2,令6x2+1x2=7,得x=1或x=66,当x=1时,切点(1,1)不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意;当x=-1时,切点(-1,-1)在直线y=7x+6上,切线与直线y=7x+6重合,不满足题意;当x=66时,切点(66,-17618)不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意;当x=-66时,切点(-66,17618)不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意.故在曲线y=2x
8、3-1x的所有切线中,与直线y=7x+6平行的共有3条,故选B.12.CD解析 不妨设两点分别为(x1,f(x1),(x2,f(x2),根据导数的几何意义,两点处的切线斜率之积小于0且斜率之和等于常数e,即应满足f(x1)f(x2)0且f(x1)+f(x2)=e.对于选项A,由于f(x)=2x,所以f(x)=-2x20恒成立,因此不存在x1,x2满足f(x1)f(x2)0,故选项A错误;对于选项B,由于f(x)=sin x,所以f(x)=cos x-1,1,因此不存在x1,x2满足f(x1)+f(x2)=e,故选项B错误;对于选项C,由于f(x)=x2+2x,则f(x)=2x+2,由于f(x)
9、值域为R,所以存在x1,x2使f(x1)f(x2)0且f(x1)+f(x2)=e,即f(x)=x2+2x是“e函数”,故选项C正确;对于选项D,由于f(x)=lnxx,所以f(x)=1-lnxx2,令g(x)=1-lnxx2,则g(x)=2lnx-3x3,当x(0,e32)时,g(x)0,所以当x=e32时,g(x)有最小值-12e3,因此g(x)即f(x)值域为(-12e3,+),因此存在x1,x2使f(x1)f(x2)0),y=1x-2x,所以切线斜率为k=1x0-2x0,由题知1x0-2x0=-1,解得x0=1或x0=-12(舍去),所以P(1,-1),此时点P到直线l:x+y-4=0的
10、距离d=|1-1-4|2=22.14.(0,127)解析 设过点P的直线为l:y=k(x-1)+t,f(x)=-3x2+4x-1,设切点为(x0,y0),则-3x02+4x0-1=k,k(x0-1)+t=-x03+2x02-x0,得t+1=2x03-5x02+4x0有三个解,令g(x)=2x3-5x2+4x,g(x)=6x2-10x+4=2(x-1)(3x-2),当g(x)0时,x1或x23,当g(x)0时,23x1,所以g(x)在(-,23),(1,+)内单调递增,(23,1)内单调递减,又因为g(23)=2827,g(1)=1,g(x)=t+1有三个解,得1t+12827,即0t0,得a0,可得0a12,所以x1x2x1+x2=a2(0,14).4