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1、课时规范练70双曲线的定义、方程与性质一、基础巩固练1.已知双曲线C:x216-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,则|PF2|-|PF1|=()A.-8B.8C.10D.-102.(2024河南平顶山模拟)已知双曲线C:x2m-y24=1(m0)的左焦点与抛物线y2=-16x的焦点重合,则双曲线的实轴长为()A.25B.45C.23D.433.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与直线x+y-1=0垂直,则C的离心率为()A.2B.2C.3D.14.已知双曲线C:x22a-y2a=1(a0),下列结论正确的是()A.C的实轴长为2aB.C
2、的渐近线方程为y=12xC.C的离心率为62D.C的一个焦点的坐标为(5a,0)5.(2024浙江绍兴模拟)已知双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,若左支上的两点A,B与左焦点F1三点共线,且ABF2的周长为8,则|AB|=()A.2B.3C.4D.66.(2024九省适应性测试,8)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与C交于A,B两点,|F1B|=2|F1A|,F2AF2B=4a2,则C的离心率为()A.2B.2C.5D.77.(2020全国,理11)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别
3、为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1PF2P.若PF1F2的面积为4,则a=()A.1B.2C.4D.88.(多选题)(2024山东枣庄模拟)已知曲线C1:5x2+y2=5,C2:x2-4y2=4,则下列说法正确的有()A.C1的长轴长为5B.C2的渐近线方程为x2y=0C.C1与C2的离心率互为倒数D.C1与C2的焦点相同9.(2024江西南昌模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线恰好平分第一、三象限,若C的虚轴长为4,则C的实轴长为.10.(2024山西阳泉模拟)请写出一个焦点在y轴上,且与直线y=2x没有交点的双曲线的标准方程.二、综合提升练11.
4、(2020全国,文11)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则PF1F2的面积为()A.72B.3C.52D.212.(多选题)(2024江苏镇江模拟)已知点P在双曲线C:x216-y29=1上,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,若PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有()A.点P到x轴的距离为203B.|PF1|+|PF2|=503C.PF1F2为钝角三角形D.F1PF2=313.P为双曲线x2-y215=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为.14.(2
5、023新高考,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,F1AF1B,F2A=-23F2B,则C的离心率为.课时规范练70双曲线的定义、方程与性质1.A解析 因为双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,所以|PF2|-|PF1|=-2a=-8.2.D解析 抛物线的焦点为(-4,0),所以m+4=42,得m=12,所以双曲线的实轴长为43.3.A解析 由于双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线和直线x+y-1=0垂直,故该渐近线的斜率ba=1,所以双曲线的离心率为e=ca=1+ba2=
6、1+1=2.4.C解析 对于A,C的实轴长为22a,故A错误;对于B,C的渐近线方程为y=a2ax=22x,故B错误;对于C,C的离心率为2a+a2a=62,故C正确;对于D,C的焦点的坐标为(3a,0),故D错误.5.A解析 因为双曲线C:x2-y2=1,所以a=1.由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a=2,|BF2|-|BF1|=2a=2,两式相加得|AF2|+|BF2|-|AB|=4a=4.ABF2的周长为8,即|AF2|+|BF2|+|AB|=8,两式相减得|AB|=2.6.D解析 如图,由双曲线的对称性可知|F1A|=|F2B|,|F1B|=|F2A|,所以四边形AF1BF2
7、为平行四边形,令|F1A|=|F2B|=m,则|F1B|=|F2A|=2m,由双曲线定义可知|F2A|-|F1A|=2a,故有2m-m=2a,即m=2a,即|F1A|=|F2B|=m=2a,|F1B|=|F2A|=4a,F2AF2B=|F2A|F2B|cosAF2B=4a2acosAF2B=4a2,则cosAF2B=12,即AF2B=3,故F2BF1=23,则有cosF2BF1=|F1B|2+|F2B|2-|F1F2|22|F1B|F2B|=(4a)2+(2a)2-(2c)224a2a=-12,即20a2-4c216a2=-12,即2016-4e216=-12,则e2=7,因为e1,所以e=7
8、.故选D.7.A解析 不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则mn,依题意得,ca=5,12mn=4,m2+n2=4c2,m-n=2a,解得a=1.8.BC解析 曲线C1:5x2+y2=5整理得y25+x2=1,则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆,其中a12=5,b12=1,所以c12=a12-b12=4,离心率为e1=c1a1=25=255,故曲线C1的长轴长2a1=25,故A错误;曲线C2:x2-4y2=4整理得x24-y2=1,则曲线C2是焦点在x轴上的双曲线,其中a22=4,b22=1,所以c22=a22+b22=5,离心率为e2=c2a2=52,C2的渐近线方程为y=1
9、2x,即x2y=0,故B正确;e1e2=25552=1,所以C1与C2的离心率互为倒数,故C正确;C1的焦点在y轴上,C2的焦点在x轴上,焦点位置不同,故D错误.故选BC.9.4解析 由题意可知,双曲线C的一条渐近线为直线y=x,故a=b,故其实轴长为2a=2b=4.10.y24-x2=1(答案不唯一)解析 与直线y=2x没有交点,则y=2x可以作为双曲线的渐近线,故满足y24-x2=(0),取=1,则满足条件的一个双曲线方程可以为y24-x2=1.11.B解析 由题意知a=1,b=3,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0).因为|OP|=2,所
10、以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,故PF1PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4,所以|PF1|PF2|=6,所以PF1F2的面积为12|PF1|PF2|=3.12.BC解析 设点P(xP,yP).因为双曲线C:x216-y29=1,所以c=16+9=5.又SPF1F2=122c|yP|=1210|yP|=20,所以|yP|=4,故A错误.将|yP|=4代入x216-y29=1得xP216-429=1,得|xP|=203.由双曲线的对称性,不妨取点P的坐标为20
11、3,4,得|PF2|=203-52+42=133.由双曲线的定义得|PF1|=|PF2|+2a=133+8=373,所以|PF1|+|PF2|=373+133=503,故B正确.在PF1F2中,|PF1|=3732c=10|PF2|=133,且cosPF2F1=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|F1F2|=-5130,则PF2F1为钝角,所以PF1F2为钝角三角形,故C正确.由余弦定理得cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=31948112,所以F1PF23,故D错误.故选BC.13.5解析 双曲线的两个焦点F1(-4,0),F2
12、(4,0)分别为两圆的圆心,圆F1与圆F2的半径分别为r1=2,r2=1,易知|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2+3=5.14.355解析 (方法1坐标法)设A(x,y),B(0,m),不妨令点A在第一象限,则m0,则F1A=(x+c,y),F1B=(c,m),F2A=(x-c,y),F2B=(-c,m).由F1AF1B,F2A=-23F2B,有F1AF1B=(x+c)c+ym=0,x-c=23c,y=-23m.(*)式由(*)式得x=53c,y=-23m,代入(x+c
13、)c+ym=0中,得m=-2c.则点A坐标为53c,43c,代入x2a2-y2b2=1中,有25c29a2-16c29b2=1,即25e2-16e2e2-1=9,解得e2=95或e2=15(舍去),故e=355.(方法2解三角形法)由F2A=-23F2B,得|F2A|F2B|=23.设|F2A|=2x,|F2B|=3x.由对称性可得|F1B|=3x.由定义可得,|AF1|=2x+2a,|AB|=5x.设F1AF2=,则sin =3x5x=35,从而cos =45=2x+2a5x,解得x=a,所以|AF1|=4a,|AF2|=2a.在AF1F2中,由余弦定理可得cos =16a2+4a2-4c224a2a=45,即5c2=9a2,从而可得e=355.5