《2024年初中升学考试九年级数学专题复习解直角三角形的应用方向角问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年初中升学考试九年级数学专题复习解直角三角形的应用方向角问题.docx（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、解直角三角形的应用方向角问题50（2023通辽）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40方向上的B处这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：sin720.95，cos720.31，tan723.08，sin400.64，cos400.77，tan400.84）【答案】B处距离灯塔P约有148海里【分析】根据题意可得：PCAB，EFAB，从而可得AEPA72，BBFP40，然后在RtAPC中，利用锐角三角函数的定义求出PC的长，再在RtBPC中，利用锐角三角函数的定义求出BP的长，即可解答【解答
2、】解：如图：由题意得：PCAB，EFAB，AEPA72，BBFP40，在RtAPC中，AP100海里，PCAPsin721000.9595（海里），在RtBCP中，BP=PCsin40950.64148（海里），B处距离灯塔P约有148海里【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌锐角三角函数的定义是解题的关键解直角三角形的应用方向角问题52（2023眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 63+6海里【考点】解直角三角形的应用方向角问题；勾股定
3、理的应用【分析】过点C作CHAB于H证得BHCH，在RtACH中，解直角三角形求出CH的值即可【解答】解：过点C作CHAB于HDAC60，CBE45，CAH90CAD30，CBH90CBE45，BCH904545CBH，BHCH，在RtACH中，CAH30，AHAB+BH12+CH，tan30=CHAH，CH=33（12+CH），解得CH6（31）答：渔船与灯塔C的最短距离是6（3+1）海里故答案为：63+6【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出辅助线，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键解直角三角形的应用方向角问题49（2023广安）为了美化环境，提高民众的生活
4、质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30方向，点D在点E的北偏东58方向（1）求步道DE的长度；（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近（结果精确到个位）（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60，31.73）【考点】解直角三角形的应用方向角问题【分析】（1）过D作DFAE，垂足为F，根据题意可得：四边
5、形ACDF是矩形，从而可得DFAC200米，然后在RtEFD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；（2）先在RtEFD中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，再在RtABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB，BC的长，从而求出DC的长，然后利用矩形的性质求出AF的长，从而求出AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答【解答】解：（1）过D作DFAE，垂足为F，由题意得：四边形ACDF是矩形，DFAC170米，在RtEFD中，DEF58，DE=DFsin581700.85=200（米），步道DE的长度约为200米；（2）小红从A出发，经过点B到达点D路程较近，理由：在RtEF
6、D中，DEF58，DF170米，EF=DFtan581701.6106.25（米），在RtABC中，BAC903060，AC170米，BCACtan601703（米），AB=170cos60=17012=340（米），BD100米，CDBC+BD（1703+100）米，四边形ACDF是矩形，AFDC（1703+100）米，AEAFEF1703+100106.25287.8米米，某人从A出发，经过点B到达点D路程AB+BD340+100440（米），某人从A出发，经过点E到达点D路程AE+DE287.8+283570.8（米），440米570.8米，小红从A出发，经过点B到达点D路程较近【点评】
7、本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键50（2023重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品经测量，A在灯塔C的南偏西60方向，B在灯塔C的南偏东45方向，且在A的正东方向，AC3600米（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：21.414，31.732）【考点】解直角三角形的应用方向角问题；勾股定理的应用【分析】（1）过点
8、C作CDAB于点D，在RtACD中，解直角三角形求出AD，CD在RtBCD中，解直角三角形即可求出BC；（2）求出AD，BD，进而求出AB，根据速度公式即可得到结论【解答】解：（1）过点C作CDAB于点D，在RtACD中，ACD60，AC3600米，cos60=CDAC，sin60=ADAC，AD360032=18003（米），CD=1236001800（米）在RtBCD中，BCD45，B45BCD，BDCD1800（米），BC=BD2+CD2=1800218001.4142545（米）答：B养殖场与灯塔C的距离约为2545米；（2）ABAD+BD18003+180018001.732+180
9、04917.6（米），60095400（米），5400米4917.6米，能在9分钟内到达B处【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度一般51（2023重庆）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：ADCB；AEB经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60方向（参考数据：21.41，31.73）（1）求AD的长度（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计
10、算说明他应该选择线路还是线路？【考点】解直角三角形的应用方向角问题；勾股定理的应用【分析】（1）过D作DFAE，垂足为F，根据题意可得：四边形ABCF是矩形，从而可得AFBC10千米，然后在RtAFD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；（2）先在RtADF中，根据等腰三角形的判定求出AF的长，再在RtABE中，利用锐角三角函数的定义求出AB，AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答【解答】解：（1）过D作DFAE，垂足为F，由题意得：四边形ABCF是矩形，AFBC10千米，在RtADF中，DAF45，AD=AFsin45=1022=102101.4114（千米）AD的长
11、度约为14千米；（2）小明应该选择线路，理由：在RtADF中，DAF45，AF10千米，ADF45DAF，DFAF10千米，在RtABE中，ABE906030，ABDF+CD24千米，AEABtan302433=83（千米），EB2AE163千米，按路线ADCB走的路程为AD+DC+CB14+14+1038（千米）按路线AEB走的路程为AE+EB83+163241.7341.52（千米）38千米41.52千米，小明应该选择线路【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键解直角三角形的应用方向角问题52（2023聊城）东昌湖西岸的明珠大
12、剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2方向，南关桥C在南偏东56.31方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离（结果精确到1m）（参考数据：sin68，20.928，cos68.20.371，tan68.22.50，sin56.310.832，cos56.310.555，tan56.311.50）【答案】明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m【分析】过P作PEBC于E，过A作ADPE于D，根据矩形的性质得到DEAB5
13、20m，设PDxm，解直角三角形即可得到结论【解答】解：过P作PEBC于E，过A作ADPE于D，则四边形ADEB是矩形，DEAB520m，设PDxm，在RtAPD中，PAD68.2，AD=PDtan68.2x2.5m，BEAD=x2.5m，PEPD+DE（x+520）m，CEBCBE（12002x5）m，在RtPCE中，tanCtan56.31=PECE=x+52012002x51.5，解得x800，PD800m，PEPD+DE800+5201320（m），答：明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线构造直角三角
14、形是解题的关键，53（2023郴州）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：21.41，31.73结果精确到0.1km）【答案】该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2海里【分析】由题意得，AB40280（海里），CAB30，ABC45，过C作CDAB于D，解直角三角形即可得到结论【解答】解：由题意得，AB40280（海里），CAB30，ABC45，过C作CDAB于D，ADCBDC90，AD=3CD，BD=CD，AB80海里，3CD+CD
15、80，解得CD4034029.2，答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2海里【点评】本题考查解直角三角形应用方向角问题、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线解直角三角形的应用方向角问题54（2023株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路上点A处等候“绿灯”，一辆车从被山峰POQ遮挡的道路的点B处由南向北行驶已知POQ30，BCOQ，OCOQ，AOOP，线段AO的延长线交直线BC于点D（1）求COD的大小；（2）若在点B处测得点O在北偏西方向上，其中tan=35，OD12米问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当
16、该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）【答案】（1）30；（2）24米【分析】（1）根据垂直的定义得到POD90，根据三角形的内角和定理得到DOQPODPOQ903060，根据垂直的定义得到COQ90，于是得到结论；（2）根据平行线的性质得到BCO180COQ90，解直角三角形即可得到结论【解答】解：（1）AOOP，POD90，POQ30，DOQPODPOQ903060，OCOQ，COQ90，CODCOQDOQ906030，即COD的大小为30；（2）BCOQ，BCO180COQ90，在RtCOD中，COD30，OD12米，CD=12OD=6（米），OC=OD2CD2=12262=63（
17、米），tan=tanOBC=35=OCBC，BC=OCtan=6335=30（米），BDBCCD30624（米），即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，平行线的性质，正确地求出结果是解题关键解直角三角形的应用方向角问题57（2023内蒙古）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为ABCAB点在A点的南偏东25方向32km处，C点在A点的北偏东80方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角ABC为45（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角BCA的度数；（2）
18、求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）【答案】（1）行进路线BC和CA所在直线的夹角BCA的度数为60；（2）检查点B和C之间的距离（33）km【分析】（1）根据题意可得：NAC80，BAS25，从而利用平角定义可得CAB75，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；（2）过点A作ADBC，垂足为D，在RtABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，再在RtADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答【解答】解：（1）由题意得：NAC80，BAS25，CAB180NACBAS75，ABC45，ACB180CABABC60，行进路线BC和CA
19、所在直线的夹角BCA的度数为60；（2）过点A作ADBC，垂足为D，在RtABD中，AB32km，ABC45，ADABsin453222=3（km），BDABcos453222=3（km），在RtADC中，ACB60，CD=ADtan60=33=3（km），BCBDCD（33）km，检查点B和C之间的距离（33）km【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键解直角三角形的应用坡度坡角问题44（2023连云港）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48的山坡向上走了92m到达
20、B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin480.74，cos480.67，sin370.60，cos370.80）【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题版权所有【分析】过点B作BEAD，作BFCD，分别在RtABE和RtCBF中分别解三角形求出BE，CF的长，二者相加就是CD的长【解答】解：如图，过点B作BEAD于E，在RtABE中，sinBAE=BEAB，BEABsinBAE92sin48920.7468.08m，过点B作BFCD于F，在RtCBF中，sinC
21、BF=CFBC，CFBCsinCBF300.6018.00m，FDBE68.08m，DCFD+CF68.08+18.0086.0886.1m答：从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC约为86.1m【点评】本题主要考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟练掌握把实际问题转化成解直角三角形的问题是解决问题的关键解直角三角形的应用坡度坡角问题50（2023十堰）如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，ACB45，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使D30，则CD的长度约为（）（参考数据：21.414，31.732）A1.59米B2.07米C3.55米D3.
22、66米【答案】D【分析】由BAC90，ACB45，得ABCACB45，则ACAB5米，由BAD90，D30，得ABD60，则ADAB=tan60=3，所以AD=3AB，则CDADAC=3ABAC3.66米，于是得到问题的答案【解答】解：在RtABC中，BAC90，ACB45，ABCACB45，ACAB5米，在RtABD中，BAD90，D30，ABD60，ADAB=tanABDtan60=3，AD=3AB，CDADAC=3ABAC1.732553.66（米），CD的长度约为3.66米，故选：D【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等腰直角三角形的判定、锐角三角函数与解直角三角形等知识，推导出AD=3AB是解题的关键