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1、函数的极值与导数-图课件函数极值的概念导数与极值的关系极值在实际问题中的应用导数的几何意义导数的计算方法极值与导数的综合应用目录01函数极值的概念极值是函数在某点附近比其邻近点的函数值大或小的极限值。极值不是函数的所有值，而是在某点的邻域内相对最大或最小的值。极值是局部概念，只关心函数在某点附近的性质。极值的定义 极值的性质极值是局部最大或最小的点，但不改变函数值在整个定义域上的变化趋势。在极值点处，函数的导数可能为零，也可能不存在。在极值点处，函数的二阶导数可能为正、负或零，取决于极值的类型。极值的判定条件若一阶导数在某点的左右两侧变号，则该点可能是极值点。若二阶导数在某点为零，且一阶导数在
2、该点的左右两侧变号，则该点是极值点。通过比较函数在某点附近不同x值的函数值来判断是否为极值点。通过比较函数在某点附近不同x值的函数值的变化趋势来判断是否为极值点。一阶导数判定法二阶导数判定法表格法不等式法02导数与极值的关系导数描述了函数在某一点处的切线斜率，即函数在该点的变化率。定义导数具有连续性、可导性、可积性等基本性质，这些性质在研究函数的极值问题中具有重要作用。性质导数的定义与性质导数与极值的关系是密切的，函数的一阶导数在极值点处为零，即函数的一阶导数等于零的点可能是极值点。二阶导数在极值点处也有特殊性质，例如，如果一个函数的二阶导数在某点处为正，则该点是一个极小值点；如果二阶导数在某
3、点处为负，则该点是一个极大值点。导数与极值的关系利用一阶导数判断极值点的方法首先找到一阶导数为零的点，然后检查该点两侧的一阶导数的符号变化，如果一阶导数由正变为负或由负变为正，则该点可能是极值点。利用二阶导数判断极值点的方法如果一个函数的二阶导数在某点处为正，则该点是一个极小值点；如果二阶导数在某点处为负，则该点是一个极大值点。利用导数判断极值点03极值在实际问题中的应用利用极值理论寻找最大利润总结词在生产和经营活动中，利润最大化是一个重要目标。通过建立利润函数，利用导数研究其极值点，可以找到使得利润最大的生产或经营策略。详细描述最大利润问题总结词利用极值理论寻找最短路径详细描述在交通、物流和
4、通讯等领域，最短路径问题是一个常见的问题。通过建立距离函数，利用导数研究其极值点，可以找到两点之间的最短路径。最短路径问题利用极值理论寻找最大容量在存储、运输和管道设计等领域，需要解决的最大容量问题。通过建立容量函数，利用导数研究其极值点，可以找到容器的最大容量。最大容量问题详细描述总结词04导数的几何意义导数表示函数图像上某一点的切线斜率。当导数大于零时，函数在该点处单调递增；当导数小于零时，函数在该点处单调递减。导数等于零的点可能是极值点。导数在函数图像上的表现导数即为函数图像上某一点的切线斜率。导数的大小反映了切线的斜率，即函数在该点的变化率。切线斜率的正负决定了函数在该点的增减性。导数
5、与切线斜率的关系导数的符号决定了函数图像在该点的变化趋势。当导数大于零时，函数图像在该点附近单调递增；当导数小于零时，函数图像在该点附近单调递减。导数的符号变化点可能是函数的拐点或极值点。通过以上三个方面的解释，可以深入理解导数的几何意义，以及导数在函数图像上的表现、与切线斜率的关系和与函数图像的变化趋势。这些知识点对于理解函数的极值和导数至关重要，也是微积分学中的基础概念。导数与函数图像的变化趋势05导数的计算方法基本初等函数的导数公式余弦函数对数函数(cosx)=-sinx(log_ax)=1/xlna正弦函数指数函数幂函数(sinx)=cosx(ax)=axlna(xn)=nx(n-1)
6、加法法则减法法则乘法法则除法法则导数的四则运算法则01020304(u+v)=u+v(u-v)=u-v(uv)=uv+uv(u/v)=uv-uv/v2对于复合函数y=f(u)和u=g(x)，有(f(g(x)=f(u)*g(x)链式法则对于两个函数的乘积，有(uv)=uv+uv乘积法则对于两个函数的商，有(u/v)=uv-uv/v2商的导数法则如果y=f(x)有反函数x=g(y)，则f(x)=1/g(y)反函数的导数复合函数的导数计算06极值与导数的综合应用首先找到函数的一阶导数为零的点，这些点可能是极值点。确定导数的零点检查单调性确定极值通过检查函数在导数零点附近的单调性，可以确定极值点的类型（极大值或极小值）。根据单调性，确定函数在极值点处的函数值，即极值。030201利用导数求函数的极值利用极值的概念，解决实际生活中的最大最小值问题，如成本最低、利润最大等。最大最小值问题通过求解函数的极值，找到满足一定约束条件下的最优解。最优化问题利用极值解决实际问题VS极值是解决最优化问题的关键，通过找到函数的极值，可以解决许多最优化问题。最优化问题的求解方法利用导数求极值是一种常用的最优化问题求解方法，除此之外还有约束优化、非线性规划等求解方法。极值与最优化问题的关系极值与最优化问题