《一个等式的证明和推广.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一个等式的证明和推广.docx（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一个等式的证明及推广高中数学课程标准(实验)指出：倡导积极主动、合作交流、勇于探索的学习方式, 发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”的过程。在数学高考复 习教学中，我们要充分展示典型例题的“再创造”，发挥其辐射功能，挖掘其内在的教学价 值，引导学生探究学习，促使学生充分发挥潜能，让学生感受知识的生成和发展过程，在感 悟中掌握数学知识。本文就以课本上的一道习题为例展示探究和再创造的过程。题目：+。；=2一分析1：这是一个与自然数n有关的命题,所以我们会很自然想到用数学归纳法来解决。证明1：n=l时，左边二右边=1等式成立；假设n=k时等式成立，即c；+2c；+3c； +
2、Z/=h2-成立，则n=k+l时，4+i + 2ch+ 3c；+i + + 姐+i + (4 +1)= (c；+c；) + 2&+c；) + 3 代+/)+ +碓3+* + (左+ 1)= 2(c：+2c；+3c；+ +&) + &+，+ +)=2k .+ 2k=(4+ 1).2分析2：等式左边的系数满足等差数列，而等差数列的求和可以用倒序相加法，那么这 个等式的求和是否也可以用倒序相加法呢？证明 2：设s = c： + 2q；+3c：+ + 则 s = c：+ .+2q； +q；= %:+(-1)4+2c；2+c尸，两式相加得2s=财 +l+(n-l)(:i +2 + (-2)q； + +(
3、n-l) + l1+nc：=& + q； + + C：) = 2，即 s = 2T。推广：由上可以看出我们的猜想是成立的。那么是不是所有的只要系数满足等差数列的 上述式子，都可以用倒序相加法呢？答案是肯定的。S =+an=。1-则 s = ancnn+ ac=ann + an-C + an-2Cn +*- 2s = ac： + (4 + an_x) ；+(%+ 42 ) + + (%-i + 4 )。丁 +=(% +4T 乂 d+q； +，+c：) + 2(d-%)=(q + a d) 2 + 2(d _ 4)即 s = (q + a - d) 2 1 + (d 4 )。分析3：我们还可以考虑
4、利用组合数的性质，对通项进行变换，寻求解题途径;证明 3： q；+2q；+3c：+ +h(h-1)(h-2)I3-2-1(1)+5刍+ . + ( 1) + 1=n2n-证明4：k k _k n _(n-1)!n f1 几 k!(几一k)!(左_1)!(_左)!c + 2c； + 3c： + + ncnn=c2 + nc_x + + 几 c：;十 几卑:=2t+1+k-k推广：由kc；= q：可变形为进而得到knCnXnd c2c 2n-l= + + -+=n nn n分析4：巧妙构造函数，利用函数的导数进行求解；证明5：由二项式定理得(1 + %)=或+q%+q)2 +小1+q；%对上述等式
5、两边求导得+=q； +2c%+ +(几l)cx-2令x = l,则几2t =c；+2c、；+3c：+ +c；得证。推广：当我们注意到(股：/ j =r时，便可求出s = 2cln+22c + - + n2c：的值。解：设“同=廿0： + 22 c) + + /c：xT则/(%) =卜;x + 2c52 + + 几 c：x) =k+2c；x+ +q：xT) =+1=(1 + %广| +n(n-l)x(l + x) 2令 X = 1 ,得 /(1) = . 2，I + 1)2A2 = ( +1)2一2即 s = ( + 1)2-2。分析5： %q：还可以变形为c；d，即n个中选出k个，再从k个中选
6、出1个，这样启示我们还可以通过利用组合数的意义，巧编组合问题来求证。证明5：某班有n个人，组织一队人做交通安全的宣传，并选出一名同学当队长，请 问这样的有队长的宣传队共可组成多少组？一种解法是按宣传队的人数分类计数，在每类中分别选出队长，由加法原理可知应有Lc、； + 2c；+3c：+碇；组队方法。另一种解法是先决定队长，有q；种办法，然后对余下的(-1)人分别选派，每个人都有选上和选不上的两种可能，由乘法原理知共有2t种组队方法。由上述两种算法可知：q；+2c；+3q： +- +几c：=几2一二推广：某班有n个人，组织一队人做交通安全的宣传，并选出1名同学当队长，1名同 学当秘书，并且可以兼
7、任，请问这样的宣传队共可组成多少组？一种解法是按宣传队的人数分类计数，在每类中分别选出队长和秘书，由加法原理可知应有+ 22c + +种组队方法。另一种解法是先决定队长和秘书，然后考虑剩下的人的分步求法。若队长和秘书为同一 人,则有2一1种方法；若队长和秘书不是同一人，则有(-1)2一2种方法。所以共有几2t+ (九1)2-2 =( + 1”1种方法。由上述两种算法可知：12C；Z+ 22 q； +.+ 2,=( + 1) 2一2。再推广：某班有n个人，组织一队人做交通安全的宣传，并选出1名同学当队长，1名 同学当秘书，1名同学当联络员，并且可以兼任，请问这样的宣传队共可组成多少组？一种解法是按宣传队的人数分类计数，在每类中分别选出队长、秘书和联络员，由加 法原理可知应有+ 23 q： + + /q：种组队方法。另一种解法是先决定队长、秘书和联络员，然后考虑剩下的人的分步求法。若3个职 位3个人则有(加 1)( 2)2一3种方法；若3个职位2个人则有3M 1)2一2种方法； 若3个职位1个人兼任则有种方法。所以共有(九1)( 2)2一3( 1)2-2 + 加2a =(+3)2一3种方法。由上述两种算法可知：F。+ 23c；+ c： = /( + 3)2-3。总之，我们在学习的过程中要善于思考，勇于探索，不断追求。在探究的过程中有所收 获、有所喜悦。