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1、2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题04 和差化积-因式分解的方法（2） 阅读与思考 因式分解还经常用到以下两种方法 1主元法 所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法 2待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是： （1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系
2、数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解例题与求解 【例l】因式分解后的结果是（） A B C D（上海市竞赛题） 解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口 【例2】分解因式： （1）；（“希望杯”邀请赛试题） （2）（天津市竞赛题） 解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解 【例3】分解因式（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因的最高次数低于的最高次数，故将原式整理成字母的二次三项式 【例4】为何值时，多项式
3、有一个因式是（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手 【例5】把多项式写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题） 解题思路：原多项式的最高次项是，因此二次三项式的一般形式为，求出即可 【例6】如果多项式能分解成两个一次因式，的乘积（为整数），则的值应为多少？（江苏省竞赛试题） 解题思路：由待定系数法得到关于的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出的值能力训练A 级1分解因式：_（“希望杯”邀请赛试题）2分解因式：_（河南省竞赛试题）3分解因式：_（重庆市竞赛试题）4多项式的最小值为_（江苏省竞赛试题）5把多项式分解因式
4、的结果是（） A B C D6已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6个7若被除后余3，则的值为（ ） A2 B4 C9 D10（“CASIO杯”选拔赛试题）8若，则的值是（ ） A B C D0 （大连市“育英杯”竞赛试题）9分解因式：（1）；（吉林省竞赛试题）（2）；（昆明市竞赛试题）（3）；（天津市竞赛试题）（4）；（四川省联赛试题）（5）（天津市竞赛试题）10如果能够分割成两个多项式和的乘积（为整数），那么应为多少？（兰州市竞赛试题）11 已知代数式能分解为关于的一次式乘积，求的值（浙江省竞赛试题）B级1若有一个因式是，
5、则_ （“希望杯”邀请赛试题）2设可分解为一次与二次因式的乘积，则_（“五羊杯”竞赛试题）3已知是的一个因式，则_ （“祖冲之杯”邀请赛试题）4多项式的一个因式是，则的值为_（北京市竞赛试题）5若有两个因式和，则（） A8 B7 C 15 D21 E22（美国犹他州竞赛试题）6多项式的最小值为（ ） A4 B5 C16 D25（“五羊杯”竞赛试题）7若（为实数），则M的值一定是（ ） A正数 B负数 C零 D整数 (“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）8设满足，则（ ） A（2，2）或（2，2） B（2，2）或（2，2） C（2，2）或（2，2） D（2，2）或（2，2） （“希望杯”邀请赛
6、试题）9为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10证明恒等式：（北京市竞赛试题）11已知整数，使等式对任意的均成立，求的值（山东省竞赛试题）12证明：对任何整数，下列的值都不会等于33（莫斯科市奥林匹克试题）专题04 和差化积-因式分解的方法(2)例1. A 提示: 将原式重新整理成关于的二次三项式例2. (1) 提示: 原式 (2) 提示: 原式例3. 原式 例4. 提示: 可设原式展开比较对应项系数得解得k12例5原式例6设x2（a5）x5a1（xb）（xc）x2（bc）xbc52得bc5（bc）26，bc5（bc）251，（b5）（c5）1或或故a5A级1（3a2b
7、c）（3a2bc）2（x3y）（x2y1）3（xy1）（xy3）4185C6D7D8D9（1）（2ab）（abc）；（2）（ac2b）2；（3）（x2）（x2xa）；（4）（x2y3）（2x3y4）；（5）（x1）（y1）（x1）（y1）10提示：由题意得4，得（b4）（c4）1，推得或故a411x23xy4y（xy）（x4y），可设原式（xym）（x4yn），展开比较对应项系数得b6或9B级1k522提示：原式x（x23xk）2y（x2），令x235提示：令原式（xy4）A，取一组x，y的值代入上式435C提示：x1，x2是方程x3ax2bx80的解6C提示：原式（x2y）2（2x3）216
8、7A提示：原式2（x2y）2（x2）2（y3）20，且这三个数不能同时为零，M08C9k3提示：因x23x2（x1）（x2），故可令原式（xmy1）（x十ny2），展开比较对应项系数求出k10提示：左边（a2b2）22a2b2（a2b22ab）2（a2b2）22a2b2（a2b2）24ab（a2b2）4a2b22（a2b2）4ab（a2b2）2a2b22（a2b2ab）2右边11将原等式展开x2（abc）xabl0cx210x1110得ab10a10b111（a10）（b10）11或或或或或或代入得c0或2012原式（x53x4y）（5x3y15x2y3）（4xy412y5）x4（x3y）5x
9、2y2（x3y）4y4（x3y）（x3y）（x45x2y24y2）（x3y）（x24y2）（x3y）（xy）（xy）（x2y）（x2y）当y0时，原式x533;当y0时，x3y，xy，x2y，x2y，xy互不相同，而33不可能分解为4个以上不同因数的积，所以，当x取任意整数，y取不为0的任意整数，原式33专题05 和差化积 因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1复杂的数值计算；2代数式的化简与求值；3简单的不定方程（组）；4代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到
10、，我们应熟悉这些结果：1. ;2. ;3. ；4.；5. 例题与求解【例1】已知，那么的值为_ . （全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b之间的关系，代入关系求值【例2】a，b，c是正整数，ab，且，则等于(). A. 1 B1或7 C1 D.1或7 （江苏省竞赛试题）解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手， 在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值
11、； (3)整体代入求值【例3】计算：(1) （“希望杯”邀请赛试题） （2） （江苏省竞赛试题）解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究的规律【例4】求下列方程的整数解 (1); （上海市竞赛试题） (2). （四川省竞赛试题）解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手解不定方程的常用方法有： (1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识
12、.【例5】已知，求下列各式的值：(1) ； (2) ； (3)解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数恰等于另一个自然数的立方，则称自然数为完全立方数，如2733，27就是一个完全立方数若1995199319951995319951994199519923，求证：是一个完全立方数 （北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将分解为完全立方式的形式即可能力训练A 级 1. 如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，边长分别为，的长方形卡片6张，边长为的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 _（烟台市初中考试题） 2已知，则的值为_（江苏省竞赛试题）3方
13、程的整数解是_ （“希望杯”邀请赛试题）4. 如果是完全平方式，那么的值为_ （海南省竞赛试题）5. 已知()，则的值是( ) A2， B2 C D6当，的值为( ) A. 1 B0 C2 D17已知，则M与N的大小关系是( ) A. MN BMN CMN D不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8为某一自然数，代入代数式中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( ) A. 388944 B.388945 C.388954 D.388948（五城市联赛试题）9计算：(1) （北京市竞赛试题）(2) (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数恰好等于另一个自然数的平方，则称自然数为完全平
14、方数，如6482，64就是一个完全平方数，若19982199821999219992，求证：是一个完全平方数（北京市竞赛试题）12 已知四个实数，且，若四个关系式，同时成立. (1)求的值； (2)分别求，的值（湖州市竞赛试题）B 级1已知是正整数，且是质数，那么_ .（“希望杯”邀请赛试题）2已知三个质数的乘积等于这三个质数的和的5倍，则_ .（“希望杯”邀请赛试题）3. 已知正数，满足，则 _ . （北京市竞赛试题）4在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取9，9时，则各个因式的值是：，于是就可以把“018
15、1 62”作为一个六位数的密码，对于多项式，取10，10时，用上述方法产生的密码是：_（写出一个即可）（浙江省中考试题）5已知，是一个三角形的三边，则的值( ) A.恒正 B恒负 C可正可负 D非负 (太原市竞赛试题)6若是自然数，设，则( ) A. 一定是完全平方数 B存在有限个，使是完全平方数 C. 一定不是完全平方数 D存在无限多个，使是完全平方数7方程的正整数解有( )组 A.3 B2 C1 D0（“五羊杯”竞赛试题）8方程的整数解有( )组 A.2 B4 C6 D.8（”希望杯”邀请赛试题）9设N695569410693106925691.试问有多少个正整数是N的因数？（美国中学生数
16、学竞赛试题）10当我们看到下面这个数学算式时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：，你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有，两数，可按规则扩充一个新数，而以，三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求： (1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； (2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由（重庆市竞赛试题）12.设，为正整数被整除所得的商分别为，.(1)若，互质，证明与互质；(2)当，互质时求的值；( 3)若，的
17、最大公约数为5，求的值（江苏省竞赛试题）专题05和差化积因式分解的应用例1或例2D提示：（ab）（ac）7ab0，ac0例3（1）提示：设1997a，则原式（2）221提示：例4（1）x1，y1提示：（2x3）（23y）1；（2）提示：（2xy）（x2y）2007166932239（1）（669）（9）（223）例5（1）a2bab2ab（ab）236（2）a2b2（ab）22ab32225（3）例6提示：设m19951993，则aA组1a3b2363（x，y）（6，5）或（4，5）41或35A6D7B8A9（1）3（2）提示：设a22223，b11112，则原式10.设，则.11.(1)由,
18、得,故. (2)由 ,得 ,而, ,从而,又. 当时,解得,；当时,解得,；B 级1. 3 提示：原式=， 2. 783. 8 提示： 4. 101030或103010或3010105. 提示：原式=6. 提示： 7. 8. 9. 提示：原式=，共有个因数.10. =11. (1)499就是扩充三次的最大数(2)， 取可得新数 取可得新数 ,设扩充后的新数为，则总可以表示为，式中为整数. 当时,又,故1999可以通过上述规则扩充得到.12.(1)设s为与的最大公因数，则，（于是 .可见,是的因数,互质, 也互质,可见, 即与互质,同理可得: 与互质.(2) ,.又都是正整数，整除.因与互质，整
19、除116，即.而,具有相同的奇偶性,且,或,解得或,互质, .,.(3)若设,则同(2)有即,且.根据(2)有,.专题06 从地平面到脚手架-分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：1分步通分，步步为营；2分组通分，化整为零；3减轻负担，先约分再通分；4拆项相消后通分；5恰当换元后通分，学习分式时应注意： (1)分式与分数的类比整数
20、可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形； (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在分式问题比起整式问题，增加了几个难点； (1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动； (2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序； (3)需要考虑字母的取值范围，例题与求解【例1】_时，分式的值为0.（杭州市中考试题）解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式就不为0【例2】 已知，以，则的值为( ) A.1 B C2 D （太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件，对分母分解因式，分解后再通分.【例3】计算：(1)（武
21、汉市竞赛试题） (2) （天津市竞赛试题）（3）（赣州市竞赛试题）（4）（漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于或的代数式，考虑设，则，通过换元可降低问题的难度当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。这便是解题的分解策略解绝对值问题时用的分类、分段讨论；解分式问题时用的分步分组通分、因式分解的分组分解法以及裂项求值等都是分解策略的具体运用.【例4】求最大的正整数，使得能被10整除（美国数学邀请赛试题）解题思路：运用长除法或把两个整式整除的问题转化为一个分式
22、的问题加以解决.类似于分数，当一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化为整数部分与分式部分的和，分式的这种变形称为拆分变形，是拆项变形的一种【例5】已知，求的值（太原市竞赛试题）解题思路：设法求出的值【例6】(1)设，均为非零实数，并且，则等于多少？ （北京市竞赛试题） (2)计算：（上海市竞赛试题）解题思路：对于(1)，通过变换题中等式，即可列出方程组，解得，的值；对于(2)，仔细观察，即可发现其中规律A 级1要使分式有意义，则的取值范围是_ .2代数式的值为整数的全体自然数的和是_ .（全国初中数学联赛试题）3已知为整数，且为整数，则所有符合条件的值的和为_ .（“希望
23、杯”邀请赛试题）4若，则 _ .（“祖冲之杯”邀请赛试题）5关于分式，下列四种说法中正确的是().A含有分母的代数式叫做分式 B. 分式的分母、分子同乘以（或除以）23，分式的值不变C当时分式的值为D分式的最小值为零（重庆市竞赛试题）6已知分式的值为零，则的值为(). A1 Bl C8 D. l或8（江苏省竞赛试题）7. 若取整数，则使分式的值为整数的值有( ) A. 3个 B4个 C6个 D8个（江苏省竞赛试题）8若对于3以外的一切数均成立，则的值是( ) A. 8 B8 C16 D169计算：(1) ；(2) ；(3) ；(4) (5) 10当分别取，1，2，2006，2007，时求出代数
24、式的值，将所得结果相加求其和.（全国初中数学联赛试题）13 已知，求证：（波兰奥林匹克试题）14 已知，则的值（北京市竞赛试题）B 级1如果使分式有意义的一切的值，都使这个分式的值是一个定值，那么，应满足的条件是_ .2已知，其中A，B，C为常数，则B_ .（“五羊杯”竞赛试题）3设正整数，满足且，则_ .（“宇振杯”上海市竞赛试题）4当_时，分式有最小值，最小值是_ .（全国初中数学联赛试题）5已知，那么代数式的值是( ) A5 B7 C3 D6已知，满足ab1，记，则M，N的关系为( ) A.MN BMN CMN D不确定（全国初中数学联赛试题）7以，为非零实数，且，若，解等于( ) A.
25、8 B4 C2 D1（天津市竞赛试题）8已知有理数，满足，0，那么的值是( ) A.正数 B零 C负数 D不能确定（“希望杯”邀请赛试题）9化简：(1) (2) 10. 为自然数，若，则称为1 996的吉祥数，如，4就是1 996的一个吉祥数，试求1 996的所有吉祥数的和（北京市竞赛试题）11.用水清洗蔬菜上残留的农药设用 (1)单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为现有（2）单位的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次试问用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少？说明理由（孝感市中考试题）12.已知正整数大于30，且使得整除2002，求的值.专题06
26、 从地平面到脚手架-分式的运算例1 3例2 D 提示: 再代入原式化简即解.例3 (1) (2) 0 (3) 0 (4)提示(1)分步通分；(2)分组通分；(3)约分后再通分.例4 890 提示:为整数.例5 由已知得,三式相加得.原式=例6 (1)对已知三式取倒数,得.,解得:. .(2),而,原式=.A级1.x0且x12.y=x-1+，即x+1/12.X可取值为1，2，3，5，11，全体自然数x的和为22.3.12 4. 5.D 6.C 7.B.8.D 提示：由已知得（m-n）x-3（m+n）=8x，则9.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）010.取值成对互为倒数，先计算：=0，故其和
27、为0.11.由条件得：，.，即，a=-b，或b=-c，或c=-a.不妨设a=-b，则，左边=；右边=，故等式成立.12.由条件得：=.（1）若x+y+z+u0，则由分母推得x=y=z=u，原式=1+1+1+1=4.（2）若x+y+z+u=0，则x+y=-（z+u），y+z=-（u+x），原式=（-1）+（-1）+（-1）+（-1）=-4.B级1.11a-7b=0 2. 3.（23-m）（n+24）=529 23-m=1，n+24=529 m=22，n=505 m+n=527 4.-1，45.C 6.B 7.A 8.A9.原式=-1+-=-1（2）1，提示：设x-y=a，y-z=b，z-x=c，
28、则x-2y+z=a-b，x+y-2z=b-c，y+z-2x=c-a.10.，；，即又1780=，n+661780的大于6的约数有10，20，89，178，356，445，890，1780，相应的n值是：4，14，83，172，350，439，884，1774.它们的和为4+14+83+172+350+439+884+1774=3720.11.把水平平均分成2份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量比较少.这是因为，设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，则用a单位量的水清洗一次蔬菜上残留的农药量为P=，把a单位量的水平均分成两份后清洗两次，则蔬菜上残留的农药量为：Q=，即Q30且1001=71113，只有4n-1=143n=36.