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1、2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题25 平面几何的最值问题 阅读与思考 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值 求几何最值问题的基本方法有： 1特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证 2几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理3数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等例题与求解【例1】在RtABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点过点M作MDAC于点D，过M作MECB于点E，则线段DE的最小值为 （四川省竞赛
2、试题）解题思路：四边形CDME为矩形，连结CM，则DE= CM，将问题转化为求CM的最小值 【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值（北京市竞赛试题） 解题思路：作点B关于AC的对称点B，连结BM，BA，则BM= BM，从而BM+MN= BM+MN要使BM+MN的值最小，只需使BM十MN的值最小，当B，M，N三点共线且BNAB时，BM+MN的值最小【例3】如图，已知ABCD，AB=a，BC=b()，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q求AP+BQ的最小值 （永州市竞赛试题）解题思路：设AP=，把
3、AP，BQ分别用的代数式表示，运用不等式以或a+b2（当且仅当a=b时取等号）来求最小值【例4】阅读下列材料： 问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm，高AB为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到C点的最短路线 小明设计了两条路线： 路线1：侧面展开图中的线段AC如图2所示 设路线l的长度为l1，则l12 =AC2=AB2 +BC2 =25+(5) 2=25+252 路线2：高线AB十底面直径BC如图1所示 设路线l的长度为l2，则l22 = (BC+AB)2=(5+10)2 =225 l12 l22 = 25+252225=252200=25(28)，l12 l22
4、， l1l2 所以，应选择路线2(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米”继续按前面的路线进行计算请你帮小明完成下面的计算： 路线1：l12=AC2= 25+2； 路线2：l22=（AB+BC）2= 49 l12 l22，l1 l2（填“”或“”），所以应选择路线 1（填“1”或“2”）较短(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短 （衢州市中考试题） 解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便比较两
5、个数的平方，通常让这两个数的平方相减【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率 （中学生数学智能通讯赛试题）解题思路：设DN=x，PN=y，则S=建立矩形MDNP的面积S与x的函数关系式，利用二次函数性质求S的最大值，进而求钢板的最大利用率【例6】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，DAB=DCB=90，BC，AD的延长线交于P，求ABSPAB的最小值 （中学生数学智能通讯赛试题）解题思路：设PD=x(x1)，根据勾股定理求出PC，证Rt
6、PCDRtPAB，得到，求出AB，根据三角形的面积公式求出y=ABSPAB，整理后得到y4，即可求出答案能力训练A级1如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 （烟台市中考试题） 2D是半径为5cm的O内一点，且OD=3cm，则过点O的所有弦中，最短的弦AB= cm （广州市中考试题）3如图，有一个长方体，它的长BC=4，宽AB=3，高BB1=5一只小虫由A处出发，沿长方体表面爬行到C1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 （“希望杯”邀请赛试题） 第1题图 第3题图 第4题图 第5题图 4如图，在ABC中，
7、AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是( ) （兰州市中考试题）A4 B4.75 C5 D4.8 5如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题） A12 B4 C6 D6 6如图，已知MON= 40，P是MON内的一定点，点A，B分别在射线OM，ON上移动，当PAB周长最小时，APB的值为( ) （武汉市竞赛试题） A80 B100 C120 D140 7如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为AD上
8、任意一点若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是( ) （福州市中考试题） A15 B20 C15+5 D15+5 第6题图 第7题图 第8题图 8如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合），BE的垂直平分线交AB于M，交DC与N (1) 设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式(2) 当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题） 9如图，六边形ABCDEF内接于半径为r的O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA (1) 当BAD=75时，求的长； (2) 求证：BCADFE； (3) 设AB=，求六
9、边形ABCDEF的周长l关于x的函数关系式，并指出x为何值时，l取得最大值 10如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D）Q是BC边上任意一点连结AQ，DQ，过P作PEDQ交于AQ于E，作PF/AQ交DQ于F (1) 求证：APEADQ； (2) 设AP的长为x，试求PEF的面积SPEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，SPEF取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q在何处时，ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明） （无锡市中考试题） 11在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B
10、重合，N不与A，C重合)，且MNBC将AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P (1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？ (2)设MN=x，MNP与等腰ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （宁夏省中考试题）B级1已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD= 16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC= ，BD= 时，四边形ABCD面积最大，最大值是 （“华杯赛”试题）2如图，已知ABC的内切圆半径为r，A=60，BC=2，则r的取值范围是 （江苏省竞赛试题） 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图3如图O的半径为2，O内的一点P到
11、圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为 4如图，ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BDDA，DGBC，DEAC，GFAB，则梯形DEFG面积的最大可能值为 （上海市竞赛试题）5 已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的最大值是 （潍坊市中考试题）6已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+ PD取最小值时，APD中边AP上的高为( ) （鄂州市中考试题）A BCD3 第6题图 第7题图 第8题图 7
12、如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQAP交DC于点Q设BP的长为xcm，CQ的长为ycm (1) 求点P在BC上运动的过程中y的最大值； (2) 当y=cm时，求x的值 （河南省中考试题） 8如图，y轴正半轴上有两点A(0，a)，B(0，b)，其中ab0在x轴上取一点C，使ACB最大，求C点坐标 （河北省竞赛试题） 9如图，正方形ABCD的边长为1，点M，N分别在BC，CD上，使得CMN的周长为2求： (1) MAN的大小；(2) MAN的面积的最小值 （“宇振杯”上海市竞赛试题） 10，如图，四边形ABCD中，AD= CD，DA
13、B=ACB=90，过点D作DEAC于F，DE与AB相交于点E (1) 求证：ABAF=CBCD； (2)已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点，设DP=xcm(x0)，四边形BCDP的面积为ycm2 求y关于x的函数关系式；当x为何值时，PBC的周长最小？求出此时y的值（南通市中考试题） 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 11如图，已知直线：(为实数) (1) 求证：不论k为任何实数，直线l都过定点M，并求点M的坐标； (2) 若直线l与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求AOB面积的最小值（太原市竞赛试题） 12如图，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=x，点F在
14、边AB上，点G，H在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC (1) 求y关于x的函数解析式； (2) 当x为何值时，y取得最大值？求出y的最大值（上海市竞赛试题）专题25 平面几何的最值问题例1 提示：当CMAB时，CM值最小，CM 例2 如图，BMMN的最小值为点B到AB的距离BF，BEcm，BBcm，AEcm在ABB中，由BBAEABBF，得BF16cm故BMMN的最小值为16cm 例3 由APDBPQ，得，即BQ，APBQxx，当且仅当x即x时，上式等号成立故当AP时，APBQ最小，其最小值为2b例4 ，49，l1l2，故要选择路线l较短 ，当r时，当r时，当r时，
15、 例5 设DNx，PNy，则Sxy，由APQABF，得即x102y，代入Sxy得Sxyy(102y)，即S2，因3y4，而y不在自变量y的取值范围内，所以y不是极值点，当y3时，S(3)12，当y4时，S(4)8，故Smax12此时，钢板的最大利用率80% 例6 设PDx(x1)，则PC，由RtPCDPAB，得AB，令yABSPAB，则yABPAAB，求y的最小值，有下列不同思路：配方：y，当，即当x3时，y有最小值4运用基本不等式：y3224，当，即当x3时，y有最小值4. 借用判别式，去分母，得x22（1y）x12y0，由4（1y）24（12y）4y（y4）0，得y4，y的最小值为4.A级
16、1. 17 提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大. 2. 8 3. 4.D 5. D 6. B 7. C 提示：当点P与点D重合时，四边形ACBP的周长最大. 8. （1）连结ME，过N作NFAB于F，可证明RtEB ARtMNF，得MFAEx.ME2AE2AM2，故MB2x2AM2，即（2AM）2x2AM2，AM1x2，SAD2AMAMMF2 AMAE2（1x2）xx2x2.（2）S（x22 x1）（x1）2.故当AEx1时，四边形ADNM的面积最大，此时最大值为. 9. （1）长为.（2）提示：连结BD. （3）过点B作BMAD于M，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BCAD2
17、 AM2r2 AM.由BAMDAB，得AM，BC2r.同理，EF2 r.l4 x2（2 r）（xr）26 r（0x r）.当xr时，l取得最大值6 r.10. （1）APEADQ，AEPAQD，APEADQ.（2）由APEADQ，PDFADQ，SPEFSPEQF，得SPEFx2x（x）2.故当x时，即P是AD的中点时，SPEF取得最大值，（3）作A关于直线BC的对称点A，连结DA交BC于Q，则这个Q点就是使ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.11. （1）点P恰好在BC上时，由对称性知MN是ABC的中位线，当MNBC3时，点P在BC上.（2）由已知得ABC底边上的高h4. 当0x3时，如图
18、1，连结AP并延长交BC于点D，AD与MN交于点O.由AMNABC，得AOx，ySPMNSAMNxxx2即yx2.当3时，y的值最大，最大值是3.当3x6时，如图2，设PMN与BC相交于点E，F，AP与BC相交于D.由中知AOx，APx，PDAPADx4，PEFABC.，()2()2，即.SABC12，SPEF（x3）2.ySAMNSPEFx2（x3）2x28x12（x4）24.故当x4时，y的最大值为4.综上，当x4时，y的值最大，最大值为4.B级1.8 8 32 提示：当CABACD90时，四边形ABCD的面积达到最大值. 2. 0r1 提示：设BCa，CAb，ABc，bc2（r1），又b
19、csin60SABC（abc）r，即bc22（r1）r，. bc4r（r2）. b，c为方程x22（r1）x4r（r2）0的两个根，由0，得（r1）22.因r0，r10，故r12，即0r1. 3. 提示：过P作垂直于OP的弦AB，此时弓形面积最小. 4. 提示：设x，则1x，x2，（1x）2，S梯形DEFG1x22（1x）23（x）2. 5. a提示：当OAOB时，OC的长最大. 6. C 7. （1）由RtABPRtPCQ，得，即，y（x2）21（0x4）.当x2时, y最大值1cm.（2）由（x2）21，得x（2）cm或（2）cm. 8. 当过A，B两点的圆与x轴正半轴相切时，切点C为所求
20、.作ODA B于D.，OD 2 OB 2B D 2ab，OD故点C坐标为（，0）.9. （1）如图，延长CB到L，使BLDN，则RtABLRtADN，得ALAN，12，又N2CNCMDNBMBLBMML，且AMAM，NALDAB90.AMNAML，故MANMAL45. （2）设CMx，CNy，MNz，则，于是，（2yz）2y2z2.整理得2y2（2z4）y（44z）0.y0，故4（z2）232（1z）0，即（z22）（z22）0.又z0，故z22，当且仅当xy2时等号成立.由于SAMNSAMLMLAB MN1，因此，AMN的面积的最小值为1.10. （1）提示：证明ADFBAC.（2）AB15
21、，BC9，ACB90，AC，CFAF6，BC（定值），PBC的周长最小，就是PBPC最小，由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A，所以PBPCPBPA，故只要求PBPA最小显然当P、A、B三点共线时PBPA最小，此时DPDE，PBPAAB由（1），角ADFFAE，DFAACB90，得DAFABCEFBC，得AEBEAB，EF AFBCADAB，即69AD15，AD10RtADF中，AD10，AF6，DF8DEDFFE8当x时，PBC的周长最小，此时y11（1）令k1，得yx2；令k2，得y2x6，联立解得x4，y2，故定点（4，2） （2）取x0，得OB24k（k0），取y0，得OA于是A
22、BO的面积，化简得由得，故S16将S16代入上述方程，得k故当k，S值最小12（1）如图，延长EF交AC于点D，DFBC，RtADFRtACB，AEACx，2x2yxy，两边平方整理得(x22x2)y2(x32x24x)y2x20解得(yx舍去) （2）由（1） 当且仅当，即时，上式等号成立故当时，y去最大值专题26 分而治之 分类讨论阅读与思考 在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法 运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类正确分类的标准是：对所讨论的全体分类要“既不重复，又不遗漏”；在同一
23、次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行 初中数学分类讨论问题的常见形式有： 1一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；2题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；3一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才能保证结论的完整性；4一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性； 5对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论例题与求解【例1】如图，在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是 （北京市宣武区中考试题） 解
24、题思路：圆与斜边只有一个公共点，则圆与斜边相切或圆与斜边相交 【例2】 解方程：2+3=+10 解题思路：解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对的取值范围进行分类讨论需分下列三种情况：3；32；2 【例3】若关于的方程(6k)(9k)x2(11715k)+54=0的解都是整数，则符合条件的整数的值有_ （全国初中数学竞赛试题） 解题思路：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确 【例4】如图，已知ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQAB，P点在AC上（与点A，C不重合），Q在BC上 (1)当PQ
25、C的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长； (2)当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长； (3)试问：在AB上是否存在点M，使得PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长 （福州市中考试题）解题思路：对于(3)，使PQM为等腰直角三角形有两种情况：一是以PQ为直角边，二是以PQ为斜边 【例5】证明：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和（全国初中数学联赛试题） 解题思路：由于自然数可分为奇数、偶数两大类，因此，很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论 【例6】设a和b是相异实数，证明：存在整数m和n，使得， （加拿大中学生竞赛
26、试题） 解题思路：a，b为相异实数，则必有ab0或ab0，k0）的图象经过线段BC的中点D (1) 求k的值； (2) 若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PRy轴于点R，作PQBC所在直线于点Q，记四边形COPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围 18已知ABC中，BC=6 cm，CA=8 cm，C=90，动点P从点C出发，以每秒1 cm的速度沿CA，AB运动到B点 (1)设P从C开始运动的距离为x cm，BCP的面积为y cm2，把y表示成的函数；(2)从C出发几秒时，SBCP=SABC? （荆州市中考试题） 19如图，已知O1与O2外切于点O
27、，以直线O1O2为x轴，点O为坐标原点建立直角坐标系，直线AB切O1于点B，切O2于点A，交y轴于点C(0，2)，交x轴于点M；BO的延长线交O2于点D，且OB：OD=1：3(1) 求O2的半径长；(2) 求直线AB的解析式；(3) 在直线AB上是否存在点P，使MO2P与MOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由 （吉林省中考试题） 20已知抛物线l1：y=ax22amx+am2+2m+1(a0，m0)的顶点为A，抛物线l2的顶点B在y轴上，且抛物线l1和抛物线l2关于点P(1，3)成中心对称 (1) 当a=1时，求l2的解析式和m的值； (2) 设l2与轴正半轴的交点是C，当ABC
28、为等腰三角形时，求a的值 （浙江省竞赛试题）21已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数，”试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论 （全国初中数学联赛试题）22如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c都是平方数（即整数的平方），证明： (1) 2a，2b都是整数； (2) a，b，c都是整数，并且c是平方数 反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，ax2+bx+c的值都是平方数？ （全国初中数学竞赛试题）232 007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为P1，P2，P3，P2007小明用红色按如下规
29、则去涂这些点：设某次涂第i个质点，则下次就涂第i个质点后面的第i个质点按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂色方案；若不能，请说明理由， 、 （浙江省竞赛试题）24甲、乙、丙三支乒乓球队，人数都不相同，每队不少于2人，甲队最少，丙队最多同一球队的队员互相不比赛，不同球队的队员之间都要比赛一场统计员作了记录：参加比赛的共有13人，进行的比赛共有54场求甲、乙、丙三支球队的队员数，并说明理由 （江苏省竞赛试题）专题26 分而治之分类讨论例1 R2.4cm或3cmR4cm例2 分三种情况讨论：当x3时，方程为2x1x10解得，符合x3，故是一解；当3x2时，方程为5x10解得x
30、5，不符合3x2，故舍去；当x2时，方程为2x1x10解得x9，符合x2，故x9也是一解综合可得原方程的解为或x9例3 当k6时，得x2；当k9时，得x3；当k6且k9时，解得，；当6k1，3，9时，x1是整数，这时k7，5，3，3，15；当9k1，2，3，6时，x2是整数，这时k10，8，11，7，12，15，3综上所述，k3，6，7，9，15时，原方程的解是整数例4 （1）； （2）；（3）如图1所示，设PMPQ且PMPQ，点M在AB上，令PQx，CPQCAB， ，解得如图2所示，当PMQ90，且PMMQ，点M在AB上，令PQy，CPQCAB， ，解得例5 若n为奇数，设n2k1，k为大于
31、2的整数，则可写成nk(k1)，显然符合要求若n为偶数，则可设n4k，或n4k2，k为大于1的自然数当n4k时，n(2k1)(2k1)，且易知2k1与2k1互质，假如它们有公因子d2，则d2，但2k1，2k1均为奇数，此为不可能；当n4k2时，n(2k1)(2k3)，且易知2k1与2k3互质，事实上假如它们有公因子d2，设2k1nd，2k3md，m，n均为自然数，则有(mn)d4，可见d4，矛盾例6 当ab0时，取m1，n1，则ambnab0成立，bmanba0成立，验证知满足所给不等式当ab0时，取m1，n1，则ambnab0成立，bmanba0成立，也验证知满足所给不等式能力训练 1. 2
32、. 2或22.5 3. 80或30 提示：分高AD在ABC内部或外部两种情况 4. 4个 提示：先在坐标平面内描出A，B两点，连接AB，因题设中未指明PAB的哪个角是直角，故应分别就A，B，P是直角来讨论设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程若A90，则P1(0，2)；若B90，则P2(0，3)；若P90，则PA2PB2AB2，而PA2(2x)222，PB2(x3)222，AB2(23)2，(2x)222(x3)22252， x1或x2，即P3(0，1) 或(0，2) 5. 2或 提示：分A,B位于l同侧或异侧两种情况讨论 6. 75或15提示：运用圆的对称性 7. 3或38. S且S3提示：S2m3，0，m且m09. B 10. D提示：以A,B为顶点的平行四边形可以分为两类：以AB为边的，且面积为2的平行四边形共6个；以AB为对角线，且面积为2的平行四边形共3个.故满足条件的阵点平行四边形的个数为9个.