《2024年中考数学几何模型24专题专题19 阿基米德折弦定理含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年中考数学几何模型24专题专题19 阿基米德折弦定理含解析.docx（77页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2024年中考数学几何模型专题19 阿基米德折弦定理一、方法突破【问题呈现】阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如下图所示，AB和BC是O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BCAB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。【证明方法】方法1:补短法如图，延长DB至F，使BF=BAM是的中点MCA=MA
2、C=MBCM、B、A、C四点共圆MCA+MBA=180MBC+MBF=180MBA=MBFMB=MB,BF=BAMBFMBAF=MAB=MCBMF=MCMDCFCD=DF=DB+BF=AB+BD方法2:截长法如图，在CD上截取DG=DBMDBGMB=MG，MGB=MBC=MACM是的中点MAC=MCA=MGB即MGB=MCB+BCA=MCB+BMA又MGB=MCB+GMCBMA=GMCMA=MCMBAMGC(SAS)AB=GCCD=CG+GD=AB+BD方法3:垂线法如图，作MH射线AB，垂足为H。M是的中点MA=MCMDBCMDC=90=HMAB=MCBMHAMDC(AAS)AH=CD，MH
3、=MD又MB=MBRtMHBRtMDB(HL)HB=BDCD=AH=AB+BH=AB+BD二、典例精析1如图，是劣弧，是的中点，为上任意一点自向弦引垂线，垂足为，求证：2如图所示，在中，点为劣弧上的动点，且（1）求的长度；（2）求的值；（3）过点作，求证：3小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦如图2，组成的一条折弦是劣弧的中点，直线于点，则可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立请写出证明过程；（3）如图
4、3，组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明4已知、是上的四点，是四边形的对角线（1）如图1，连接，若，求证：是的平分线；（2）如图2，过点作，垂足为，若，求线段的长度5如图，内接于，点为上的动点，且（1）求的长度；（2）在点的运动过程中，弦的延长线交延长线于点，问的值是否变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（3）在点的运动过程中，过点作，求证：三、巩固练习1先阅读命题及证明思路，再解答下列问题命题：如图1，在正方形中，已知：，角的两边、分别与、相交于点、，连接求证：证明思路：如图2，将绕点逆时针旋转至，与重合，点、是一条直线根据，得
5、证，得（1）特例应用如图1，命题中，如果，求正方形的边长（2）类比变式如图3，在正方形中，已知，角的两边、分别与、的延长线相交于点、，连接写出、之间的关系式，并证明你的结论（3）拓展深入如图4，在中，、是的弦，且，、是上的两点，如图5，连接、，求证：，；若点在（点不与点、重合）上，连接、分别交线段、或其延长线于点、，直接写出、之间的等式关系2问题提出如图，、是的两条弦，是的中点，垂足为，求证：小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：如图，延长至，使，连接、（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程推广运用如图，等边内接于，是上一点，垂足为，则的周长是拓展研究如图，若将“问题提出”
6、中“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、三者之间存在的关系并说明理由3在中，顺次连接、（1）如图1，若点是的中点，且交延长线于点，求证：为的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点作于点，若，则、有何数量关系？（3）如图3，当时，是延长线上一点，是线段上一点，且，若，的周长为9，请求出的值？4【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即下面是运
7、用“截长法”证明的部分证明过程证明：如图2，在上截取，连接、和是的中点，又，又，即【理解运用】如图1，、是的两条弦，点是的中点，于点，则；【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、之间存在怎样的数量关系？并加以证明【实践应用】如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则5古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），是优弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；证明：如图2，在上截取，连接，和是的中点，（2）如图（3），已知等边内接于，为上一
8、点，垂足为，请你运用“折弦定理”求的周长专题19 阿基米德折弦定理一、方法突破【问题呈现】阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如下图所示，AB和BC是O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BCAB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。【证明方法】方法1:补短法如图，延长DB至F，使BF=BAM是的中
9、点MCA=MAC=MBCM、B、A、C四点共圆MCA+MBA=180MBC+MBF=180MBA=MBFMB=MB,BF=BAMBFMBAF=MAB=MCBMF=MCMDCFCD=DF=DB+BF=AB+BD方法2:截长法如图，在CD上截取DG=DBMDBGMB=MG，MGB=MBC=MACM是的中点MAC=MCA=MGB即MGB=MCB+BCA=MCB+BMA又MGB=MCB+GMCBMA=GMCMA=MCMBAMGC(SAS)AB=GCCD=CG+GD=AB+BD方法3:垂线法如图，作MH射线AB，垂足为H。M是的中点MA=MCMDBCMDC=90=HMAB=MCBMHAMDC(AAS)A
10、H=CD，MH=MD又MB=MBRtMHBRtMDB(HL)HB=BDCD=AH=AB+BH=AB+BD二、典例精析1如图，是劣弧，是的中点，为上任意一点自向弦引垂线，垂足为，求证：【解答】证明：在上取点，使，连接，是的中点，（等弧对等弦），又，在和中，为等腰三角形为底），又，为中点（等腰三角形三线合一），2如图所示，在中，点为劣弧上的动点，且（1）求的长度；（2）求的值；（3）过点作，求证：【解答】解：（1）作，在中，；（2）连接，四边形内接于圆，公共角，；（3）证明：在上取一点，使得，与所对的弧是，在和中，3小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究（1）更换定理的题
11、设和结论可以得到许多真命题如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦如图2，组成的一条折弦是劣弧的中点，直线于点，则可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立请写出证明过程；（3）如图3，组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明【解答】证明：（1）如图1，连接，是劣弧的中点，为等腰三角形，；（2）如图2，延长、相交于点，再连接，是圆内接四边形，是劣弧的中点，为等腰三角形，（3）连接，、相交于点，弧弧，4已知、是上的四点，是四边形的对角线（1）如图1，连接，若，求证：是的
12、平分线；（2）如图2，过点作，垂足为，若，求线段的长度【解答】（1）证明：，是等边三角形，即是的平分线；（2）解：连接，在线段上取点，使得，连接，四边形是圆的内接四边形，在和中，5如图，内接于，点为上的动点，且（1）求的长度；（2）在点的运动过程中，弦的延长线交延长线于点，问的值是否变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（3）在点的运动过程中，过点作，求证：【解答】解：（1）作，在中，；（2）连接，四边形内接于圆，公共角，；（3）在上取一点，使得，在和中，三、巩固练习1先阅读命题及证明思路，再解答下列问题命题：如图1，在正方形中，已知：，角的两边、分别与、相交于点、，连接求证：证明思路
13、：如图2，将绕点逆时针旋转至，与重合，点、是一条直线根据，得证，得（1）特例应用如图1，命题中，如果，求正方形的边长（2）类比变式如图3，在正方形中，已知，角的两边、分别与、的延长线相交于点、，连接写出、之间的关系式，并证明你的结论（3）拓展深入如图4，在中，、是的弦，且，、是上的两点，如图5，连接、，求证：，；若点在（点不与点、重合）上，连接、分别交线段、或其延长线于点、，直接写出、之间的等式关系【解答】解：（1）如图1，设正方形的边长为，则有，由材料可知：在中，解得：，（舍去）所以正方形的边长为6（2）理由如下：在上取一点，使得连接，如图3四边形是正方形，在和中，在和中，（3）延长到点，使
14、得，连接，如图5，在和中，当点在上时，如图6、7同理可得：当点在上时，如图8同理可得：2问题提出如图，、是的两条弦，是的中点，垂足为，求证：小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：如图，延长至，使，连接、（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程推广运用如图，等边内接于，是上一点，垂足为，则的周长是拓展研究如图，若将“问题提出”中“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、三者之间存在的关系并说明理由【解答】问题提出：证明：如图2，延长至，使，连接、，是的中点，在和中，又，；推广运用：解：如图3，截取，连接，由题意可得：，
15、在和中，则，则的周长是，故答案为：；拓展研究：不成立，、三者之间的关系：，证明：连接，交于，是的中点，在和中，3在中，顺次连接、（1）如图1，若点是的中点，且交延长线于点，求证：为的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点作于点，若，则、有何数量关系？（3）如图3，当时，是延长线上一点，是线段上一点，且，若，的周长为9，请求出的值？【解答】解：（1）如图1，连接，是的中点，为的半径，为的切线；（2）如图2，连接交于，连结，是的中点，是的中点，；（3）过点作，过点作，与交于点，连接，则，是等边三角形，四边形是平行四边形，过点作于点，交于点，连接，则，是等边三角形，即与在同一直线上，四边形
16、是平行四边形，设，则，即，在中，延长，交于点，则，解得：（舍去），作于点，则，4【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即下面是运用“截长法”证明的部分证明过程证明：如图2，在上截取，连接、和是的中点，又，又，即【理解运用】如图1，、是的两条弦，点是的中点，于点，则；【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、之间存在怎样的数量关系？并加以证明【实践应用】如图4，是的直径，点圆上一定点，
17、点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则【解答】解：【理解运用】：由题意可得，即，故答案为：1；【变式探究】证明：在上截取，连接、，是弧的中点，又，又，即；【实践应用】如图，当点在下方时，过点作于点，是圆的直径，圆的半径为5，当点在上方时，同理易得综上所述：的长为或，故答案为或5古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），是优弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；证明：如图2，在上截取，连接，和是的中点，（2）如图（3），已知等边内接于，为上一点，垂足为，请你运用“折弦定理”求的周长【解答】
18、（1）证明：如图2，在上截取，连接，和是的中点，在和中，又，；（2）解：如图3，截取，连接，由题意可得：，在和中，则，则的周长是专题20 最值之胡不归问题一、方法突破【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为
19、V2，且V1V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小【问题分析】，记，即求BC+kAC的最小值【问题解决】构造射线AD使得sinDAN=k，CH/AC=k，CH=kAC将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BHAD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小【模型总结】在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中，关键是构造与kPA相等的线段，将“PB+kPA”型问题转化为“PB+PC”型而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段【问题】如图，点P为射线l上的一动点，A、B为定点，求PB+kPA的最小值l【
20、问题解决】构造射线AD使得sin=k，PC/PA=k，CP=kAPD将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BCAD交l于点P，交AD于C点，此时PB+PC取到最小值，即PB+kPA最小二、典例精析1如图，在中，若是边上一动点，则的最小值为AB6CD32如图，在中，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是ABCD83如图，中，为边上的一动点，则的最小值等于 4如图，中，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是ABCD105如图所示，已知抛物线，与轴从左至右依次相交于、两点，与轴相交于点，经过点的直线与抛物线的另一个交点为（1）若点的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内
21、的抛物线上有点，使得以、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（3）在（1）的条件下，设点是线段上的一点（不含端点），连接一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，问当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中所用时间最少？三、中考真题演练1如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为A4B5CD2如图，中，是的边上的高，点是上动点，则的最小值是ABC10D3如图，中，于点，点是线段的一个动点，则的最小值是4如图，抛物线交轴于，两点（点在点右侧），交轴于点，直线经过点、，点是线段上的一动点（不与点，重合）（1）求，两点的坐标；（2）
22、当点，关于抛物线的对称轴对称时，求的最小值及此时点的坐标；5如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，已知，（）求抛物线的解析式和的值；（）在（）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？6如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为（1）若点
23、的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？专题20 最值之胡不归问题一、方法突破【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着
24、“胡不归？胡不归？”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小【问题分析】，记，即求BC+kAC的最小值【问题解决】构造射线AD使得sinDAN=k，CH/AC=k，CH=kAC将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BHAD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小【模型总结】在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中，关键是构造与kPA相等的线段，将“PB+kPA”型问题转
25、化为“PB+PC”型而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段【问题】如图，点P为射线l上的一动点，A、B为定点，求PB+kPA的最小值l【问题解决】构造射线AD使得sin=k，PC/PA=k，CP=kAPD将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BCAD交l于点P，交AD于C点，此时PB+PC取到最小值，即PB+kPA最小二、典例精析1如图，在中，若是边上一动点，则的最小值为AB6CD3解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示：在中，当，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，是等边三角形，在中，的最小值为3，故选：2如
26、图，在中，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是ABCD8解：如图，以为斜边在下方作等腰，过作于，的最小值为故选：3如图，中，为边上的一动点，则的最小值等于 解：如图，过点作，交的延长线于点，当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，故答案为：4如图，中，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是ABCD10解：如图，作于，于，设，则有：，或（舍弃），（等腰三角形两腰上的高相等），的最小值为方法二：作于，交于点，则点满足题意通过三角形相似或三角函数证得，从而得到故选：5如图所示，已知抛物线，与轴从左至右依次相交于、两点，与轴相交于点，经过点的直线与抛物线的另一个交点为（1）若点的
27、横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点，使得以、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（3）在（1）的条件下，设点是线段上的一点（不含端点），连接一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，问当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中所用时间最少？解：（1），点的坐标为、点两的坐标为，直线经过点，当时，则点的坐标为，点在抛物线上，解得，则抛物线的解析式为；（2）如图1中，设，作轴于当时，即，即解得，解得或1（舍弃），当时，即，即，解得或（舍弃），当时，即，解得或1（舍弃），当时，即，或（舍弃），（3）如图2中，作轴交抛物线
28、于，作轴于，作于，则，的运动时间，当和共线时，最小，则，此时点坐标三、中考真题演练1如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为A4B5CD解：如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点四边形是菱形，的最小值为4，故选：2如图，中，是的边上的高，点是上动点，则的最小值是ABC10D解：，过点作于点，由勾股定理得当、三点共线，且时，的值最小为中，由等腰三角形腰上的高相等，在中，故故选：3如图，中，于点，点是线段的一个动点，则的最小值是解：如图，作于，设，或（舍去），当、三点共线时，此时，则根据垂线段最短性质知值最小，此时4如图，抛物线交轴于，两点（点在点右侧），交轴于点，直线经
29、过点、，点是线段上的一动点（不与点，重合）（1）求，两点的坐标；（2）当点，关于抛物线的对称轴对称时，求的最小值及此时点的坐标；解：（1）在中，令得：，解得或，；（2）过作轴于，交于，如图：抛物线的对称轴为直线，在中，令得，在中，最小，即是最小，由垂线段最短可知的最小值即为的长，点，关于抛物线的对称轴直线对称，与关于抛物线的对称轴直线对称，即的最小值为，由，得直线解析式为，在中，令得，；5如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，已知，（）求抛物线的解析式和的值；（）在（）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，请
30、求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？解：（）把，代入，得，解得：抛物线的解析式为联立，解得：或，点的坐标为如图1，是直角三角形，；（）方法一：（1）存在点，使得以，为顶点的三角形与相似过点作轴于，则设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则，若点在点的下方，如图2，当时，则，则把代入，得，整理得：解得：（舍去），（舍去）如图2，当时，则同理可得：，则，把代入，得，整理得：解得：（舍去），；若点在点的上方，当时，则，同理
31、可得：点的坐标为当时，则同理可得：点的坐标为，综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；方法二：作的“外接矩形” ，易证，以，为顶点的三角形与相似，或，设，（舍，满足题意的点的坐标为、，、，；（2）方法一：过点作轴于，如图3在中，即，点在整个运动中所用的时间为作点关于的对称点，连接，则有，根据两点之间线段最短可得：当、三点共线时，最小此时，四边形是矩形，对于，当时，有，解得：，点的坐标为方法二：作点关于的对称点，交于点，显然，作轴，垂足为，交直线于点，如图4，在中，即，当、三点共线时，最小，为的中点，方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点，当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最
32、少为：，抛物线的解析式为，且，可求得点坐标为则点横坐标为2，将代入，得所以6如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？解：（1）抛物线，令，解得或，直线经过点，解得，直线解析式为：当时，点，在抛物线上，抛物线的函数表达式为：即（
33、2）由抛物线解析式，令，得，因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角因此若两个三角形相似，只可能是或若，则有，如答图所示设，过点作轴于点，则，即：，代入抛物线解析式，得，整理得：，解得：或（与点重合，舍去），即，解得：若，则有，如答图所示设，过点作轴于点，则，即：，代入抛物线解析式，得，整理得：，解得：或（与点重合，舍去），解得，综上所述，或（3）方法一：如答图3，由（1）知：，如答图，过点作轴于点，则，过点作轴，则过点作于点，则由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，即运动的时间值等于折线的长度值由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点点横坐标为，直线解析式为：，综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少方法二：作，交直线于点，当且仅当时，最小，点在整个运动中用时为：，