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1、4.4.1 对 数 函 数 的 概 念尊敬的各位评委、各位老师大家好。今天我说课的内容是人教 A 版高中数 学必修第一册第四章第一节的第一课时“对数函数的概念”。我将从教材分析、学 情分析、重点难点、教学目标、教学策略、教学过程这六个方面向各位评委老师 汇报，欢迎各位老师批评指正。一、教材分析课程标准指出幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数， 是进一步学习数学的基础。通过本单元的学习， 可以帮助学生学会用函数图象和 代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用 这些函数建立模型， 解决简单的实际问题， 体会这些函数在解决实际问题中的作 用。对数函数是
2、在学生学习了函数的概念和性质， 经历了幂函数、指数函数的学 习方法和过程，掌握了对数的定义及运算的基础上引入的一类新的基本初等函 数；是对函数的概念、性质本质的再认识；是基本初等函数类型的再拓广；是研 究函数路径“背景概念 图象与性质应用” 的再强化；也后续学习反函数、三 角函数的等打下基础。相比人教 A 版上一版教材，现将对数函数的概念设立为一个独立课时，更 强调对数函数概念的建构和动态生成。与指数函数的抽象概括过程不同， 本节课 通过挖掘函数定义本质进行演绎推理、抽象概括出对数函数的定义， 彰显出本节 的独特魅力和与众不同。二、学情分析我们的教学对象是高一学生， 在知识方面， 对函数的认知
3、已经由“变量说”转 换为了“集合-对应说” ，掌握了逻辑论证的依据；还学习了指数函数的相关知识， 能进行指数与对数的运算。在能力方面， 经历了幂函数、指数函数学习方法和过 程， 体会了研究一般函数的方法， 具备了一定类比、数形结合的数学思想， 积累 了从具体到抽象、从特殊到一般的数学活动经验。当然我们的学生也具有认知障 碍，主要为以下两点，由实际问题想到用函数刻画y 和 x 之间的关系；利用演绎 推理，将“感性的显然” 的结论推理到“理性的确定”。三、重点难点重点：对数函数的概念；难点：利用函数定义演绎推理对数函数的概念。四、教学目标1.通过解决具体实例中的问题，感受对数函数的实际背景，体会对
4、数函数 概念学习的必然性；培养提出问题、分析问题、解决问题的能力。2.经历对数函数概念的构建过程， 理解对数函数的概念， 培养类比、数形结 合、特殊到一般，定性到定量的数学思想方法；渗透逻辑推理、数学抽象、直观 想象的核心素养。3.通过应用深化对概念的理解， 感悟指数函数和对数函数分别从不同角度刻 画了同类问题的变化规律；发展数学建模、数学运算的核心素养。五、教学策略为了教学目标有效的达成，在教法上,我将于课前让学生搜集史料和预习， 任务驱动；课堂中以逻辑连贯的问题串为主线，引导学生学习，在学生思考有困 难时， 适当的启发和点拨。教学过程中借助图表直观地将抽象的知识具体化。在 学法方面，以学生
5、自主探究为主，让学生在探究问题的过程中,通过老师的引导 概括出对数函数函数的概念；在学生有思考障碍的时候，以小组为单位进行合作 交流，教师帮助学生利用指数和对数的内在关联学习对数函数。六、教学过程根据以上分析教学内容的逻辑顺序和学生的学习心理， 我将从以下七个环节 展开教学。（一）任务驱动、激发兴趣对数函数在内容架构、研究过程和思想方法上和幂函数、指数函数是类似的，另一方面，“ 良渚遗址”也是贯穿本章的学习素材，所以我将于课前下发学习任务的单。课堂上组织学生交流展示， 并通过知识结构框图总览全局。设计意图：借助灿烂的中华文明感受对数函数的实际背景和增强民族自豪感。对数函数在内容框架、研究过程和
6、思想方法上和“幂函数、指数函数”是类似的，通过类比形成先行组织者，有助于学生把握学习方向。利用结构框图让学生从整体上认识本章的学习内容与基本框架。（二）回顾旧知、提出问题问题 1：我们知道， 指数函数y =(x x 0, +) 描述了死亡生物体内碳 14 的含量y 随死亡时间 x 的变化而衰减的规律.结合考古工作的实际情况， 你认为利用这个函数可以解决什么问题？为什么？追问 1：考古学家利用这个函数推算遗址的年代，他们是如何操作的呢？师生活动：师生一起复习碳 14 指数函数，学生独立思考、小组合作交流， 再汇报作答。教师可以师生引导，使学生明确：实际上，考古工作中真正面临的 问题是用科学仪器测
7、出死亡生物体内碳 14 的含量，再利用这个数据去判断该生 物体死亡了多长时间。设计意图：通过回顾碳 14 指数函数加深了解对数函数的实际背景，并建立 与指数函数的联系。引导学生从另一个角度研究同一问题的变化规律， 学会用数 学的眼光观察世界。问题 2：如果已测得y 为 ，1 1 1, ,3 4 5,那么相应的 x 分别为多少？追问 1：从这 4 组数中可以直观感受到碳 14 含量y 越小，死亡时间 x 就越 大 .再多一些数据呢？它们是否也满足这样的关系？追问 2：(0,1上所有的y 和相应的 x 都满足这个关系吗？追问 3：能通过计算所有 y 对应的 x 来验证吗？师生活动：学生通过计算得出
8、 x 的相应对数. 教师总结板书“给定一个数y，1代入指数函数 y =() 5730 x, 可计算得一个相应的数x =log 1 y ”。并借助()5730Excel 软件计算出对数的具体值，引导学生观察 y 和对应的 x 之间的关系。设计意图：通过具体数据运算的局限性， 引出用函数刻画死亡时间 x 与碳 14 含量y 之间关系的必要性。体现对数函数概念引入的必然性， 为抽象对数函数做 准备。（三）演绎推理、构建概念问题 3：你所学的数学知识中，有能用来描述两个变量所有取值之间的关系 的吗？追问 1：死亡时间 x 是碳 14 含量y 的函数吗？追问 2：数学是一门严谨的科学，你能找到依据进行严
9、谨的推理判断吗？ 问题 4：函数的定义是什么？师生活动：学生在教师的引导下想到利用函数来描述死亡时间 x 与碳 14 含 量y 之间的关系， 进而想到通过函数定义论证死亡时间 x 是碳 14 含量y 的函数。 通过对函数定义的回顾提炼出：函数是两个实数集之间的一种特殊对应关系。函 数有三个要点：两个非空数集A ，B；两个集合间有一个确定的对应关系；此对 应关系要满足对于集合 A 中的任意一个数 x ，按照确定的对应关系，在集合 B 中都有唯一确定的数y 与它对应。设计意图：“追问 1”一提出来，大部分同学会下意识地回答“是” ，但并没有 经过严谨地思考。挖掘函数定义的本质，为演绎推理对数函数的
10、概念做铺垫。问题 5：在对数式中， y 和 x 对应的集合 A,B 分别是什么？依据是什么？问题 6：如何判定对于集合 A 中任意一个数y，按照对应关系x =log 1 y()5730在集合 B 中都有唯一确定的数 x 与之对应？师生活动：学生小组合作设计方案，教师根据课堂生成适时引导学生用数形 结合验证。师生利用信息技术作图， 一起检验函数定义的三个要点， 论证死亡时 间 x 是碳 14 含量y 的函数。设计意图：联系指数与对数的关系，借助指数函数解决对数函数问题。通过 验证对数式中 x 与y 满足函数定义的三个要点， 演绎推理出 x 是y 的函数。体会 数形结合思想方法，学习用数学的思维思
11、考世界。问题 7：如果将底数换成其他常数， x 还是y 的函数吗？问题 8：你能归纳这类具体函数的一般表示吗？请试一试.追问 1：符合函数的表示习惯吗？可以怎么做？师生活动：学生从特殊到一般抽象概括出对数函数的一般表达，同时类比指 数函数给出对数函数的定义。教师板书对数函数的定义， 强调对数函数的形式特 点和定义域。设计意图：在问题 5 和 6 的基础上，从特殊到一般，抽象概括出对数函数的 概念。通过与指数函数关系的分析， 明确两者的内在关联性， 为后续利用互为反 函数的关系研究对数函数做好铺垫.（四）典例解析、深化概念例 1.已知函数f(x)为对数函数，且f(2)=1,求f(4)的值。例 2
12、.求下列函数的定义域：（1）y =log3 x2 ； （2） y =loga (4 - x) (a 0, a 1 1) ；问题 9：例 2 中的两个函数是对数函数吗？师生活动：师生共同解答，教师点拨。这两个函数不是对数函数，它们称为 对数型函数。设计意图：学生通过求对数函数解析式和对数型函数的定义域，理解对数函 数的概念。在教材的基础上增加了例 1 和问题 9，意在让学生从正、反两个方面 理解对数函数的内涵和外延。例 3.假设某地初始物价为1, 每年以 5%的增长率递增，经过y 年后的物价 为 x.（1）该地的物价经过几年后会翻一番？（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.物
13、价 x12345678910年数y师生活动：依据题意，学生建立年数y 关于物价 x 的对数函数，用 Excel 软 件计算相应年数， 填入表中，并画出表格中数据对应的散点图， 学生通过观察散 点图，得出物价大约每增加 1 所需时间在逐渐减少. 教师再引导学生从数据的 角度体现此规律.设计意图：通过解答“例 3”了解对数函数的实际意义，并初步体会对数函数 的增长特点。综合使用函数的三种表示解析法、列表法、图象法， 帮助学生 从定性的直观感触到定量的数量关系描述物价的变化规律， 学会用数学语言表达 世界。（五） 自主演练、学以致用练习 1.求下列函数的定义域：（1）y =ln(1 - x) ； （
14、2）y = ；（3）y =log7 ； （4） y =loga | x | (a 0 ，且 a 1 1) 。练习 2.画出下列函数的图象：（1） y =lg10x ； （2） y =10lg x 。师生活动：教师分析题意， 以提问和请学生上黑板的方式完成， 并进行点评， 检验学习效果，及时补充。设计意图：通过解答练习题，再次理解函数表达式对定义域的限制。再次强 化函数三要素对函数的限制：化简后的对应关系是一样的，但因其定义域不同， 所以是两个不同的函数。及时检验学习效果，整体把握学情。（六）归纳小结、凝练提升师生活动：引导学生从四个层面进行回顾。学习过程是为了使学生明确知识 生成过程中的逻辑性
15、，再强化研究函数的基本路径；知识方法和思维思想是逐层 递进回顾本节课学习内容；回到结构框图使学生感受内容的整体性、方法的一致 性和思想的连贯性。设计意图：从四个层面行回顾，起到了梳理、提炼、升华，检验的效果，也 启发学生要关注知识生成与发展的过程， 利用结构导图建构单元学习意识、启示 下一节课学习的任务，提高学生对本节课的整体认识.（七）分层作业、巩固发展基础作业：课本 131 页 练习第 3 题；提升作业：由特殊到一般推理论证 y =loga x(a 0, a 1) 是函数；探究作业：类比幂函数、指数函数的研究方法探究对数函数的图象和性质。设计意图：分层设计是为了让每位同学都有获得感，增强学习动力；基于因 材施教的原则，让不同的学生有不同的发展；促使本节课的教学目标在课后继续 落实。再次体验类比方法的实用性，为后续学习做好铺垫。板书设计学科网（北京）股份有限公司