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1、步步高学案导学设计2013-2014学年高中数学人教b版选修2-1精要课件两个向量的数量积BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA目录CONTENTS向量的数量积的定义与性质向量的数量积的计算方法向量的数量积的应用向量的数量积的注意事项习题与解析BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA01向量的数量积的定义与性质向量数量积的定义两个向量$mathbfa$和$mathbfb$的数量积定义为$mathbfa cdot mathbfb=|mathbfa|times|mathbfb|times cos theta$，其中$theta$是向
2、量$mathbfa$和$mathbfb$之间的夹角。模长的定义向量$mathbfa$的模长定义为$|mathbfa|=sqrtmathbfa cdot mathbfa$，其中.表示数量积运算。夹角的定义两个向量之间的夹角定义为$theta=arccos(fracmathbfa cdot mathbfb|mathbfa|times|mathbfb|)$，其中$arccos$表示反余弦函数。定义交换律$mathbfa cdot mathbfb=mathbfb cdot mathbfa$。非负性$mathbfa cdot mathbfb geq 0$，当且仅当$theta=0circ$或$theta
3、=180circ$时取等号。分配律$(lambdamathbfa)cdot(mumathbfb)=lambdamu(mathbfa cdot mathbfb)$，其中$lambda$和$mu$为实数。性质模长的几何意义表示向量的大小或长度。夹角的几何意义表示两个向量之间的角度关系。向量数量积的几何意义表示两个向量在方向上的相似程度，即两个向量之间的夹角。几何意义BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA02向量的数量积的计算方法 代数法定义两个向量的数量积定义为它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，即$ab=|a|b|costheta$。计算步骤先求出两个向量的
4、模，再求出它们的夹角，最后代入公式计算数量积。适用范围适用于已知两个向量的模和夹角的情况。两个向量的数量积等于它们所表示的两个向量在同一直线上的投影的乘积。定义计算步骤适用范围先求出两个向量在同一直线上的投影，再计算它们的乘积。适用于两个向量共线的情况。030201几何法两个向量的数量积等于它们的对应坐标的乘积之和。定义先求出两个向量的坐标，再根据坐标计算数量积。计算步骤适用于已知两个向量的坐标的情况。适用范围向量坐标法BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA03向量的数量积的应用03求解三角形中的角度通过向量的数量积，可以求解三角形中的角度，如锐角、钝角或直角
5、等。01判断三角形的形状通过计算两个向量的数量积，可以判断三角形是否为等腰三角形或直角三角形。02计算三角形的面积利用向量的数量积和三角形的两边长，可以计算三角形的面积。在三角形中的应用描述力的方向和大小在物理中，向量通常用来描述力的方向和大小，而数量积则可以用来计算力的合力或分力。描述速度和加速度向量的数量积可以用来描述物体的速度和加速度，特别是在分析曲线运动时。求解动量或动能通过向量的数量积，可以求解物体的动量或动能等物理量。在物理中的应用计算点到直线的距离通过向量的数量积，可以计算点与直线之间的距离，用于确定点与直线的位置关系。判断直线与平面的位置关系通过向量的数量积，可以判断直线与平面
6、之间的位置关系，如平行、相交或垂直等。求解直线方程利用向量的数量积，可以求解直线的方程，特别是在求解与坐标轴垂直的直线时。在解析几何中的应用BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA04向量的数量积的注意事项123数量积和点乘是不同的概念，计算时应注意区分。混淆数量积与点乘计算数量积时，必须指定两个向量的夹角，否则结果将不准确。忽略向量夹角数量积的结果与向量的模长无关，只与向量的方向和大小有关。错误地使用向量模长计算中的常见错误向量的数量积不等于向量的模数量积的结果是一个标量，而向量的模是一个向量。数量积的值与向量的模无关数量积只与两个向量的方向和大小有关，与向量
7、的模长无关。理解向量的数量积与向量的模的关系两个向量的数量积等于它们的模长与它们夹角的余弦值的乘积。向量夹角与数量积的关系当两个向量的夹角为0度或180度时，它们的数量积为0；当夹角为90度时，它们的数量积不存在。特殊情况下向量的夹角理解向量的数量积与向量夹角的关系BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA05习题与解析基础习题1已知向量$oversetlongrightarrowa=(1,2)$，$oversetlongrightarrowb=(-2,3)$，求$oversetlongrightarrowa$与$oversetlongrightarrowb$的数
8、量积。基础习题2已知向量$oversetlongrightarrowa=(x,y)$，$oversetlongrightarrowb=(-2,3)$，若$oversetlongrightarrowa$与$oversetlongrightarrowb$的夹角为钝角，求$x$和$y$应满足的条件。基础习题3已知向量$oversetlongrightarrowa=(1,-1)$，$oversetlongrightarrowb=(x,2)$，若$|oversetlongrightarrowa|=|oversetlongrightarrowb|$，求$x$的值。基础习题提高习题1已知向量$overset
9、longrightarrowa=(1,2)$，$oversetlongrightarrowb=(-2,3)$，求$oversetlongrightarrowa$在$oversetlongrightarrowb$方向上的投影。提高习题2已知向量$oversetlongrightarrowa=(x,y)$，$oversetlongrightarrowb=(-2,3)$，若$oversetlongrightarrowa$与$oversetlongrightarrowb$的夹角为锐角，求$x$和$y$应满足的条件。提高习题3已知向量$oversetlongrightarrowa=(1,-1)$，$ov
10、ersetlongrightarrowb=(x,2)$，若$oversetlongrightarrowa$与$oversetlongrightarrowb$的夹角为直角，求$x$的值。提高习题综合习题综合习题1：已知向量$oversetlongrightarrowa=(1,2)$，$oversetlongrightarrowb=(-2,3)$，求满足等式$|oversetlongrightarrowa+lambdaoversetlongrightarrowb|=|lambda|$的实数$lambda$的取值范围。综合习题2：已知向量$oversetlongrightarrowa=(x,y)$，
11、$oversetlongrightarrowb=(-2,3)$，若$|oversetlongrightarrowa|=|oversetlongrightarrowb|$且$oversetlongrightarrowa$与$oversetlongrightarrowb$的夹角为钝角，求$x$和$y$应满足的条件。综合习题3：已知向量$oversetlongrightarrowa=(1,-1)$，$oversetlongrightarrowb=(x,2)$，若$|oversetlongrightarrowa|oversetlongrightarrowb|$且$oversetlongrightarrowa$与$oversetlongrightarrowb$的夹角为锐角，求$x$的取值范围。