《2022-2023学年八2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题10.3 三元一次方程组【七大题型】（举一反三）（苏科版）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年八2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题10.3 三元一次方程组【七大题型】（举一反三）（苏科版）含解析.docx（111页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题10.3 三元一次方程组【七大题型】【苏科版】【题型1 三元一次方程（组）的解】1【题型2 用消元法解三元一次方程组】2【题型3 用换元法解三元一次方程组】2【题型4 构建三元一次方程组解题】3【题型5 运用整体思想求值】3【题型6 三元一次方程组中的数字问题】4【题型7 三元一次方程组的应用】5【知识点1 三元一次方程组及解法】1三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断2解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题3当三元
2、一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组【题型1 三元一次方程（组）的解】【例1】（2022河南南阳七年级期中）我们探究得方程x+y=2的正整数解只有1组，方程x+y=3的正整数解只有2组，方程x+y=4的正整数解只有3组，那么方程x+y+z=9的正整数解的组数是（）A27B28C29D30【变式1-1】（2022浙江杭州市实验外国语学校七年级期中）已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则a+b+c的值为（）A3B2C1D0【变式1-2】（2022全国八年级专题练习）方程x+2y+3z=14xyz的正整数解是_【变式1-3】（2022全国九年级专题
3、练习）三元一次方程xyz1999的非负整数解的个数有（）A20001999个B19992000个C2001000个D2001999个【题型2 用消元法解三元一次方程组】【例2】（2022贵州铜仁市第十一中学七年级阶段练习）方程组2x+3yz=183x2y+z=8x+2y+z=24的解_【变式2-1】（2022全国八年级单元测试）已知2x+3y=z3x+4y=2z+6且xy3，则z的值为( )A9B3C12D不确定【变式2-2】（2022江苏七年级专题练习）解下列三元一次方程组：（1）y=2x75x+3y+2z=23x4z=4；（2）4x+9y=123y2z=17x+5z=194【变式2-3】（
4、2022湖北武汉七年级期中）九章算术是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组比如对于方程组3x+2y+z=392x+3y+z=34x+2y+3z=26，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似其本质就是在消元那么其中的a，b的值分别是（）A24，4B17，4C24，0D17，0【题型3 用换元法解三元一次方程组】【例3】（2022全国七年级课时练习）方程组x:y:z=1:2:3x+y+z=36的解是x=y=z=.【变式3-1】（202
5、2全国七年级单元测试）已知方程组x2=y3=z45x2y+z=16若设x2=y3=z4=k ，则k= _【变式3-2】（2022内蒙古乌海市第二中学七年级期中）探索创新完成下面的探索过程：给定方程组1x+1y=11y+1z=21z+1x=5，如果令1x=A，1y=B，1z=C，则方程组变成_；解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= _；y=_；z= _【变式3-3】（2022全国八年级课时练习）若xyz0且2y+zx=2x+yz=2z+xy=k，则k_【题型4 构建三元一次方程组解题】【例4】（2022四川省荣县中学校七年级期中）对于实数x，y定义新运
6、算：xy=ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知35=15，47=28，则23的值为（）A2B4C6D8【变式4-1】（2022全国单元测试）已知（x+y-3)2+|y+z-5|+（z+x-4)4=0，则x+y+z的值是_【变式4-2】（2022全国七年级专题练习）在式子y=ax2+bx+c中，当x=0时，y=1；当x=1时，y=0；当x=-1时，y=4，则a，b，c的值分别为_【变式4-3】（2022浙江七年级期末）对于实数x，y定义新运算xy=ax+by+cxy其中a，b，c为常数，若12=3,23=4，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有xd=x，则d的值是_【题型5 运用
7、整体思想求值】【例5】（2022湖北十堰市北京路中学七年级期中）已知实数x，y满足3xy=5，2x+3y=7，求x4y和7x+5y的值本题常规思路是先将，两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由-可得x4y=2，由+2可得7x+5y=19这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”解决问题：(1)已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则xy=_，x+y=_(2)对于实数x、y，定义新运算：xy=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法
8、运算已知35=15，47=28，求11的值【变式5-1】（2022山东日照七年级期末）已知方程组x+y=2y+z=1z+x=3，则x+y+z的值是（）A1B2C3D4【变式5-2】（2022吉林长春七年级期末）【数学问题】解方程组x+y=3，5x3（x+y）=1【思路分析】榕观察后发现方程的左边是x+y，而方程的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为一个整体，把方程直接代入到方程中，这样，就可以将方程直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的（1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程解：把代入，得（2）【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组a+b=5，2a+3c=16，a+
9、bc=1【变式5-3】（2022江苏泰州七年级阶段练习）阅读：善于思考的小明在解方程组4x+10y=68x+22y=10时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：解：将方程变形为8x+20y+2y=10，即24x+10y+2y=10，把方程代入得，26+2y=10，则y=1；把y=1代入得，x=4，所以方程组的解为：x=4y=1试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：（1）试求方程组的解2x3y=76x5y=9（2）已知xyz，满足3x2z+12y=52x+z+8y=8，求z的值【题型6 三元一次方程组中的数字问题】【例6】（2022浙江八年级开学考试）一个三位数，百位上的数与十位上的数之
10、差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（）A5B6C7D8【变式6-1】（2022江苏宿迁七年级期末）在33正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”(1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出x，y的值；(2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图填空：a=_，b=_，c=_；d=_，e=_，f=_【变式6-2】（2022重庆巴南七年级期末）对于个位数字和十位数字不相同的两位自然数m，把个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数记为m1，同时记F(m)=mm19若F（m）能被4
11、整除，则称这样的两位自然数m为“四季数”例如：15是“四季数”，因为两位自然数15的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为51，同时F(15)=15519=4，而4能被4整除，所以15是“四季数”；74不是“四季数”，因为两位自然数74的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为47，同时F(74)=74479=3，而3不能被4整除，所以74不是“四季数”（1）判断29、48是否是“四季数”？并说明理由；（2）已知两位自然数m是“四季数”，m的十位上的数字为a，个位上的数字为c在m的中间插入一个数b，得到一个三位数n若n比m的9倍少8，求出所有符合题意的n值【变式6-3
12、】（2022重庆綦江八年级期末）对于一个三位数n,如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7,那么称这个数n为“幸福数”例如：n1=935,9+35=7,935是“幸福数”；n2=701,7+01=6,701不是“幸福数”（1）判断845,734是否为“幸福数”？并说明理由；（2）若将一个“幸福数”m的个位数的2倍放到十位,原来的百位数变成个位数,原来的十位数变成百位数,得到一个新的三位数t（例如：若m=654,则t=586）,若t也是一个“幸福数”,求满足条件的所有m的值【题型7 三元一次方程组的应用】【例7】（2022湖北黄冈七年级阶段练习）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔
13、1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需（）A4.5元B5元C6元D6.5元【变式7-1】（2022山东烟台市福山区教学研究中心八年级期中）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱经核算，A盒的成本
14、为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（）元A135B155C185D225【变式7-2】（2022重庆八中八年级阶段练习）某工厂A，B，C型生产线进行产品加工，每条生产线每天的产量之比为1：2：3，现甲、乙两公司计划各自租用该工厂8条生产线同时进行产品加工，且每种类型的生产线均租用，甲公司用6天恰好能加工完所需产品，乙公司用3天恰好能加工完所需产品，乙公司租用的B型生产线数量与甲公司相同，甲公司租用的A型生产线条数与乙公司租用的C型生产线条数相同，乙公司需加工的产品总量比甲公司少16，则乙公司B型生产线有_条【变式7
15、-3】（2022全国八年级课时练习）某茶庄为了吸引顾客，扩大销售量，准备将A、B、C三种茶具包装成甲、乙、丙、丁四种礼盒销售（包装成本忽略不计）甲礼盒装有A茶具3个，B茶具2个，C茶具2个；乙礼盒装有A茶具2个，B茶具3个，C茶具4个；丙礼盒装有A茶具2个，B茶具2个，C茶具1个；丁礼盒装有A茶具3个，B茶具4个，C茶具4个若一个甲礼盒售价360元，利润率为20%，一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，且一个A茶具的利润率为25%，则一个丁礼盒的利润率为_专题10.3 三元一次方程组【七大题型】【苏科版】【题型1 三元一次方程（组）的解】1【题型2 用消元法解三元一次方程组】3【题型3 用
16、换元法解三元一次方程组】6【题型4 构建三元一次方程组解题】8【题型5 运用整体思想求值】10【题型6 三元一次方程组中的数字问题】13【题型7 三元一次方程组的应用】18【知识点1 三元一次方程组及解法】1三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断2解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题3当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组【题型1 三元一次方程（组）的解】【例1】（2022河南南阳七年级期中）我们探究得方程x+y=2的正整数解只有1组，方程x+y=3的
17、正整数解只有2组，方程x+y=4的正整数解只有3组，那么方程x+y+z=9的正整数解的组数是（）A27B28C29D30【答案】B【分析】先把x+y看作整体t，得到t+x=9的正整数解有7组；再分析x十y分别等于2、3、4、9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数【详解】解：令x+y=t（t2），则t+z=9的正整数解有7组（t=2，1=3，t=4，t=8）其中t=x+y=2的正整数解有1组，t=x+y=3的正整数解有2组，t=x+y=4的正整数解有3组，t=x+y=8的正整数解有7组，总的正整数解组数为：1+2+3+7=28故选：B【点睛】本题考查了二元一次方程的解和三元一次方程
18、的解，可将三元方程里的两个未知数看作一个整休，再分别计算【变式1-1】（2022浙江杭州市实验外国语学校七年级期中）已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则a+b+c的值为（）A3B2C1D0【答案】A【分析】把x=1y=2z=3代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案【详解】解：根据题意，把x=1y=2z=3代入方程组，得a+2b=22b+3c=3c+3a=7，由+，得4a+4b+4c=12，a+b+c=3；故选：A【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算【变式1-2】（2022全国八年级专题练习）方
19、程x+2y+3z=14xyz的正整数解是_【答案】x=1y=2z=3【分析】由x+2y+3z=14xyz，可得出x73，又由x,y,z 均为正整数，分析即可得到正确答案【详解】解：xyz，2x2y3x3z6xx+2y+3z=14x73又x,y,z 均为正整数满足条件的解有且只有一组，即x=1y=2z=3故答案为：x=1y=2z=3【点睛】本题考查三元一次方程的变式，牢记相关的知识点并能够灵活应用是解题关键【变式1-3】（2022全国九年级专题练习）三元一次方程xyz1999的非负整数解的个数有（）A20001999个B19992000个C2001000个D2001999个【答案】C【分析】先设
20、x0，y+z1999，y分别取0，1，2，1999时，z取1999，1998，0，有2000个整数解；当x1时，y+z1998，有1999个整数解；当x1999时，y+z0，只有1组整数解，依此类推，然后把个数加起来即可得到答案【详解】当x0时，y+z1999，y分别取0，1，2，1999时，z取1999，1998，0，有2000个整数解；当x1时，y+z1998，有1999个整数解；当x2时，y+z1997，有1998个整数解；当x1999时，y+z0，只有1组整数解；非负整数解的个数有2000+1999+1998+3+2+12001200022001000个故选：C【点睛】本题考查了二元一
21、次方程、三元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程、三元一次方程、有理数运算的性质，从而完成求解【题型2 用消元法解三元一次方程组】【例2】（2022贵州铜仁市第十一中学七年级阶段练习）方程组2x+3yz=183x2y+z=8x+2y+z=24的解_【答案】x=4y=6z=8【分析】利用消元法解三元一次方程组即可得【详解】解：2x+3yz=183x2y+z=8x+2y+z=24，由+得：5x+y=26，由+得：3x+5y=42，由5得：25x3x=13042，解得x=4，将x=4代入得：20+y=26，解得y=6，将x=4，y=6代入得：4+12+z=24，解得z=8，则方程组的解为
22、x=4y=6z=8，故答案为：x=4y=6z=8【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键【变式2-1】（2022全国八年级单元测试）已知2x+3y=z3x+4y=2z+6且xy3，则z的值为( )A9B3C12D不确定【答案】B【分析】先利用xy3，得2x+2y=6,3x+3y=9,进而将方程组进行化简整理,再用代入消元法即可求解.【详解】解：xy3，将其代入方程组得6+y=z(1)9+y=2z+6(2),由（1）得y=z-6,将其代入（2）得z=-3,故选B.【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入消元的方法和对原方程组进行化简是解题关键.【变式2-2】
23、（2022江苏七年级专题练习）解下列三元一次方程组：（1）y=2x75x+3y+2z=23x4z=4；（2）4x+9y=123y2z=17x+5z=194【答案】（1）x=2y=3z=12；（2）x=34y=53z=2【分析】（1）把代入消去y，和组成关于x、z二元一次方程组求解；（2）3消去y组成关于x、z二元一次方程组求解【详解】解：（1）y=2x75x+3y+2z=23x4z=4，把代入得11x2z23，、组成方程组得3x4z=411x+2z=23，解得x2z12，代入得y3，所以原方程组的解为x=2y=3z=12；（4）4x+9y=123y2z=17x+5z=1943得4x6z9，、组
24、成方程组得4x+6z97x+5z194，解得x=34z=2，代入得y53，所以原方程组的解为x=34y=53z=2【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，代入消元法和加减消元法是常用的方法，加减消元法是比较简洁的方法【变式2-3】（2022湖北武汉七年级期中）九章算术是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组比如对于方程组3x+2y+z=392x+3y+z=34x+2y+3z=26，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似其本质就是在消元
25、那么其中的a，b的值分别是（）A24，4B17，4C24，0D17，0【答案】A【分析】根据题意所给步骤解方程即可求解【详解】解：3x+2y+z=392x+3y+z=34x+2y+3z=26由3，得6x+9y+3z=102，由-，得3x+7y+2z=63，由-，得5y+z=24，a=24，由3，得3x+6y+9z=78，由-，得4y+8z=39，b=4，故选：A【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应【题型3 用换元法解三元一次方程组】【例3】（2022全国七年级课时练习）方程组x:y:z=1:2:3x+y+z=36的解是x=y=z=.【答案】6，
26、12，18【分析】由于x：y：z=1：2：3，则可设x=t，y=2t，z=3t，再把它们代入第二个方程得到关于t的一次方程，求出t即可得到x、y、z的值【详解】解：设x=t，则y=2t，z=3t，所以t+2t+3t=36，解得t=6，所以x=6，y=12，z=18故答案为6，12，18【点睛】本题考查了解三元一次方程组：利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组【变式3-1】（2022全国七年级单元测试）已知方程组x2=y3=z45x2y+z=16若设x2=y3=z4=k ，则k= _【答案】2【详解】分析：求出x=2k，y=3k，z=4k， 代入5x2y+z=16，
27、 得出关于k的方程，求出方程的解即可详解：设x2=y3=z4=k, 则x=2k，y=3k，z=4k，代入5x2y+z=16得：10k6k+4k=16，解得：k=2，故答案为2.点睛：考查解三元一次方程组，根据x2=y3=z4=k,得出x=2k，y=3k，z=4k，是解题的关键.【变式3-2】（2022内蒙古乌海市第二中学七年级期中）探索创新完成下面的探索过程：给定方程组1x+1y=11y+1z=21z+1x=5，如果令1x=A，1y=B，1z=C，则方程组变成_；解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= _；y=_；z= _【答案】A+B=1B+C=2C
28、+A=5；解方程组过程见解析；12；1；13【分析】根据换元法可以将原方程组化为A+B=1B+C=2C+A=5，+得出A+B+C=4然后分别求出A、B、C的值即可【详解】解：令1x=A，1y=B，1z=C，则方程组1x+1y=11y+1z=21z+1x=5可变为：A+B=1B+C=2C+A=5，+得A+B+C=4，得：C=3，得：A=2，得：B=1，1x=21y=11z=3，解得：x=12y=1z=13【点睛】本题主要考查了换元法解方程组，根据题意得出A+B+C=4，是解题的关键.【变式3-3】（2022全国八年级课时练习）若xyz0且2y+zx=2x+yz=2z+xy=k，则k_【答案】3【
29、详解】2y+zx=2x+yz=2z+xy=k，2y+z=kx，2x+y=kz，2z+x=ky，2y+z+2x+y+2z+x=kx+ky+kz，即3(x+y+z)=k(x+y+z).又x+y+z0，k=3.【题型4 构建三元一次方程组解题】【例4】（2022四川省荣县中学校七年级期中）对于实数x，y定义新运算：xy=ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知35=15，47=28，则23的值为（）A2B4C6D8【答案】A【分析】根据新定义运算得出3a+5b+c=154a+7b+c=28，求出2a+3b+c=2，即可求解【详解】 xy=ax+by+c， 3a+5b+c=154a+7b+c=2
30、8，由2-，得2a+3b+c=2，23=2a+3b+c=2，故选：A【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算和三元一次方程组，熟练掌握有理数的加减混合运算顺序，解三元一次方程组的方法是解题关键【变式4-1】（2022全国单元测试）已知（x+y-3)2+|y+z-5|+（z+x-4)4=0，则x+y+z的值是_【答案】6【详解】由题意得x+y3=0y+z5=0z+x4=0,解得x=1y=2z=3故x+y+z=6【变式4-2】（2022全国七年级专题练习）在式子y=ax2+bx+c中，当x=0时，y=1；当x=1时，y=0；当x=-1时，y=4，则a，b，c的值分别为_【答案】1, -2，1【详
31、解】分析：将已知三对值代入已知等式，得到关于a，b，c的方程组，求出方程组的解即可得到a，b，c的值详解：将已知三对值分别代入y=ax2+bx+c得：c1a+b+c0ab+c4，将代入得：a+b+1=0，即a+b=-1；将代入得：a-b+1=4，即a-b=3，+得：2a=2，即a=1，-得：2b=-4，即b=-2，则a=1，b=-2，c=1点睛：此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键【变式4-3】（2022浙江七年级期末）对于实数x，y定义新运算xy=ax+by+cxy其中a，b，c为常数，若12=3,23=4，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有x
32、d=x，则d的值是_【答案】4【分析】由新定义的运算xy=ax+by+cxy，及12=3，23=4，构造方程组，不难得到参数a，b，c之间的关系又由有一个非零实数d，使得对于任意实数x，都有xd=x，可以得到一个关于d的方程，解方程即可求出满足条件的d的值【详解】解：xy=ax+by+cxy，由12=3，23=4，即a+2b+2c=32a+3b+6c=4，b=2+2c，a=16c又由xm=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立， a+cd=1bd=0，d为非零实数，b=0=2+2c，c=1(16c)+cd=11+6d=1d=4故答案为：4【点睛】本题属于新定义的题目，根据新运算的定义，将已
33、知中的数据代入进行运算是关键，同时考查了学生合情推理的能力，属于中档题【题型5 运用整体思想求值】【例5】（2022湖北十堰市北京路中学七年级期中）已知实数x，y满足3xy=5，2x+3y=7，求x4y和7x+5y的值本题常规思路是先将，两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由-可得x4y=2，由+2可得7x+5y=19这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”解决问题：(1)已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则xy=_，x+y=_(2)对于实数x、y
34、，定义新运算：xy=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知35=15，47=28，求11的值【答案】(1)-1，5(2)-11【分析】（1）利用-可得x-y的值，利用13（+）可得x+y的值；（2）根据新运算的定义可得出a、b、c的三元一次方程组，由32可得出a+b+c的值，即11的值（1）2x+y=7x+2y=8，由-可得：x-y=-1，由13（+）可得：x+y=5，故答案为：-1，5；（2）依题意得：3a+5b+c=154a+7b+c=28，由32可得：a+b+c=-11，即11= a+b+c=-11【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组
35、的应用，解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程【变式5-1】（2022山东日照七年级期末）已知方程组x+y=2y+z=1z+x=3，则x+y+z的值是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】将三个方程相加计算即可【详解】因为x+y=2y+z=1z+x=3，将三个方程相加，得2（x+y+z）=2-1+3，解得x+y+z=2，故选B【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键【变式5-2】（2022吉林长春七年级期末）【数学问题】解方程组x+y=3，5x3（x+y）=1【思路分析】榕观察后发现方程的左边是x+y，而方程的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为
36、一个整体，把方程直接代入到方程中，这样，就可以将方程直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的（1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程解：把代入，得（2）【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组a+b=5，2a+3c=16，a+bc=1【答案】【完成解答】x=2y=1；【迁移运用】a=2b=3c=4【分析】（1）【完成解答】把代入求出x的值，再把x的值代入即可求解；（2）【迁移运用】把代入求出c的值，把c的值代入求出a的值，再把a的值代入即可求解【详解】解：（1）【完成解答】把代入，得5x9=1，解得x=2，把x=2代入，可得y=1，方程组的解为x=2y=1；（2）【迁移运用
37、】把代入，得5c=1，解得c=4，把c=4代入，得2a+12=16，解得a=2，把a=2代入，得b=3，方程组的解为a=2b=3c=4【点睛】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，掌握整体思想是解题的关键【变式5-3】（2022江苏泰州七年级阶段练习）阅读：善于思考的小明在解方程组4x+10y=68x+22y=10时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：解：将方程变形为8x+20y+2y=10，即24x+10y+2y=10，把方程代入得，26+2y=10，则y=1；把y=1代入得，x=4，所以方程组的解为：x=4y=1试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：（1）试求方程组的解2x
38、3y=76x5y=9（2）已知xyz，满足3x2z+12y=52x+z+8y=8，求z的值【答案】（1）x=1y=3；（2）z=2【分析】（1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可；（2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出z的值即可【详解】解：（1）2x3y=76x5y=9，由得32x3y+4y=9，把方程代入得，37+4y=9，解得：y=-3，代入得，x=-1，所以方程组的解为：x=1y=3；（2）3x2z+12y=52x+z+8y=8，由得3x+4y2z=5，由得2x+4y+z=8，2-3得z=2【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关
39、键，用了整体代入思想【题型6 三元一次方程组中的数字问题】【例6】（2022浙江八年级开学考试）一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（）A5B6C7D8【答案】B【分析】设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，然后根据交换后所得的数就比原来小36，百位上的数与十位上的数之差是2，列出方程组求解即可【详解】解：设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，这个三位数为100a+10b+c，交换后的三位数为100a+10c+b，交换后所得的数就比原来小36，百位上的数与十位
40、上的数之差是2，100a+10b+c=100a+10c+b+36a=b+29b9c=36a=b+2，ac=6，故选B【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意列出方程组求解是解题的关键【变式6-1】（2022江苏宿迁七年级期末）在33正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”(1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出x，y的值；(2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图填空：a=_，b=_，c=_；d=_，e=_，f=_【答案】(1)x=-1，y=1(2)0，-1，5；5，4，10【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；（2）设图
41、乙中三个空格中的数分别为x，y，z，列方程组可求出a，b，c的值；设图丙中三个空格中的数分别为d，e，f的值(1)由题意得2x+3+2=23+4y2x+3+2=2x+y+4y，解得x=1y=1(2)设图乙中三个空格中的数分别为x，y，z，由题意得a+c+x=x+3+2a+b+z=z+23c+y3=a+y+2，整理得a+c=5a+b=1ca=5，解得a=0b=1c=5故答案为：0，-1，5；设图丙中三个空格中的数分别为m，n，h，由题意得d+f+=+8+7d+e+m=m+2+7f+n+2=d+m+7，整理得d+f=15d+e=9fd=5，解得d=5e=4f=10故答案为：5，4，10【点睛】本题
42、考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键【变式6-2】（2022重庆巴南七年级期末）对于个位数字和十位数字不相同的两位自然数m，把个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数记为m1，同时记F(m)=mm19若F（m）能被4整除，则称这样的两位自然数m为“四季数”例如：15是“四季数”，因为两位自然数15的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为51，同时F(15)=15519=4，而4能被4整除，所以15是“四季数”；74不是“四季数”，因为两位自然数74的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为47，同时F(74)=744
43、79=3，而3不能被4整除，所以74不是“四季数”（1）判断29、48是否是“四季数”？并说明理由；（2）已知两位自然数m是“四季数”，m的十位上的数字为a，个位上的数字为c在m的中间插入一个数b，得到一个三位数n若n比m的9倍少8，求出所有符合题意的n值【答案】（1）29 不是“四季数”，见解析；48是“四季数”，见解析；（2）n=226【分析】（1）根据“四季数”的定义即可计算判断；（2）先根据“四季数”的定义找到a、c的关系，再根据n比m的9倍少8，得到关于a，b，c的方程故可求解【详解】解： （1）29 不是“四季数”，因为两位自然数29的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为92，F(29)=|2992|9=7，同时7不能被4整