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1、2024七上专题7 几何图形初步章末重难点题型汇编【举一反三】【考点1 几何图形】【方法点拨】掌握几何图形相关概念是解决此类问题的关键.【例1】下面的几何体中，属于棱柱的有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，可得答案【答案】解：从左到右依次是长方体，圆柱，棱柱，棱锥，圆锥，棱柱故选：C【点睛】本题考查了认识立体图形，有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱【变式1-1】如图，左面的平面图形绕轴旋转一周，可以
2、得到的立体图形是（）ABCD【分析】根据面动成体，梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，可得答案【答案】解：梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，故C正确；故选：C【点睛】本题考查了点、线、面、体，利用面动成体，直角三角形绕直角边旋转是圆锥，矩形绕边旋转是圆柱【变式1-2】图是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图则下列图形中，是图的表面展开图的是（）ABCD【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题【答案】解：由图中阴影部分的位置，首先可以排除C、D，又阴影部分正方形在左，三角形在右，而且相邻，故只有选项B符合题意故选：B【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，本题虽然是选
3、择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念【变式1-3】下图右边四个图形中，哪个是左边立体图形的展开图？（）ABCD【分析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断【答案】解：A、折叠后不能满足黑三角和黑正方形相邻，故本选项错误；B、折叠后符合题意，故本选项正确；C、折叠后不能满足黑三角的黑色的边与圆形相邻，故本选项错误；D、折叠后不能满足黑三角和黑正方形相邻，故本选项错误故选：B【点睛】本题考查了几何体的展开图，这
4、类题学生容易对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题【考点2 基本概念】【方法点拨】知识点1：线段像长方体的棱、长方形的边，这些图形都是线段线段有两个端点，两个方向均不延伸，线段的长度是可以测量的线段有两种表示方法：(1)一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”；(2)一条线段可以用一个小写字母来表示，如图，线段AB也可记作“线段a”知识点2：射线将线段向一个方向无限延长就得到了射线射线有一个端点，射线向一个方向无限延伸，射线是无法测量的射线的表示法：两个大写字母：一条射线可以用表示它
5、的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，如图中的射线，点O是端点，点A是射线上异于端点的另一点，那么这条射线可以记作射线OA.注意：表示射线的两个大写字母，其中一个一定是端点，并且要把它写在前面端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线两条射线为同一射线必须具备的两个条件：端点相同；延伸的方向相同知识点3：直线将线段向两个方向无限延长就形成了直线直线没有端点，直线向两个方向无限延伸，直线是无法测量的直线的两种表示方法：(1)一条直线可以用一个小写字母表示，如图中的直线可记作：直线a.(2)一条直线也可以用在这条直线上的表示两个点的大写字母来表示，如图中的直线可记作：
6、直线AB或直线BA.【例2】下列说法中正确的个数是（）线段AB和射线AB都是直线的一部分；直线AB和直线BA是同一条直线；射线AB和射线BA是同一条射线；把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线A1B2C3D4【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解【答案】解：线段AB和射线AB都是直线的一部分，正确；直线AB和直线BA是同一条直线，正确；射线AB的端点是点A，射线BA的端点是点B，不是同一条射线，故本小题错误；把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线，正确综上所述，说法正确的是共3个故选：C【点睛】本题考查了直线、
7、射线、线段的定义与表示，是基础题，熟记概念与它们的区别与联系是解题的关键【变式2-1】下列说法正确的个数有（）射线AB与射线BA表示同一条射线若1+2180，1+3180，则23一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线连结两点的线段叫做两点之间的距离405040.5互余且相等的两个角都是45A1个B2个C3个D4个【分析】根据射线的定义，同角的补角相等，角平分线的定义，两点之间的距离的定义，度分秒的换算以及余角的定义对各小题分析判断即可得解【答案】解：射线AB与射线BA不表示同一条射线，因为它们的端点不同，故本小题错误；若1+2180，1+3180，则23，正确；应为一条射线把一个
8、角分成两个角相等的角，这条射线叫这个角的平分线，故本小题错误；应为连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故本小题错误；405040.83，故本小题错误；互余且相等的两个角都是45，正确综上所述，说法正确的有共2个故选：B【点睛】本题考查了余角与补角的定义，射线的定义，角平分线的定义以及度分秒的换算，是基础题，熟记相关概念与性质是解题的关键【变式2-2】下列说法：两点之间的所有连线中，线段最短；在数轴上与表示1的点距离是3的点表示的数是2；连接两点的线段叫做两点间的距离；射线AB和射线BA是同一条射线；若ACBC，则点C是线段AB的中点；一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线是这个角的平分
9、线，其中错误的有（）A2个B3个C4个D5个【分析】根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，近似数，射线、线段的中点的定义，角平分线的定义对各小题分析判断即可得解【答案】解：两点之间的所有连线中，线段最短，正确； 在数轴上与表示1的点距离是3的点表示的数是4和2，故本小题错误；应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故本小题错误；射线AB和射线BA不是同一条射线，故本小题错误；若ACBC，则点C是线段AB的中点，错误，因为点A、B、C不一定共线；应为从一个角的顶点引出一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线是这个角的平分线，故本小题错误综上所述，错误的有共5个故选：D【点睛】本题考
10、查了射线、线段的性质，数轴，近似数，两点间的距离的定义，角平分线的定义，是基础题，熟记各性质与概念是解题的关键【变式2-3】如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上线段AB与射线MN不相交；点C在线段AB上；直线a和直线b不相交；延长射线AB，则会通过点C其中正确的语句的个数有（）A0个B1个C2个D3个【分析】根据直线、线段、射线的定义以及其性质分别判断得出即可【答案】解：线段AB与射线MN不相交，根据图象可得出此选项正确；根据图象点C不在线段AB上，故此选项错误；根据图象可得出直线a和直线b会相交，故此选项错误；根据图象可得出应为延长线段AB，到点C，故此
11、选项错误，故正确的语句的个数是1个故选：B【点睛】此题主要考查了直线、线段、射线的定义的应用，正确根据题意画出图形是解题关键【考点3 余角与补角定义】【方法点拨】余角和补角：（1）若90，则与互余（2）若180，则与互补（3）同角（或等角）的余角（或补角）相等【例3】一个角的余角是它的，则这个角的补角等于 【分析】互补的两角和为180，互为余角的和90，从而计算得【答案】解：设这个角为，由题意该角为：90，解得：54，则该角的补角为18054126，故答案为：126【点睛】本题考查了角的补角和余角，从平角180为互补角的和，从而解得【变式3-1】如果一个角的余角与它的补角度数之比为2：5，则这
12、个角等于 度【分析】根据和为180度的两个角互为补角；和为90度的两个角互为余角解答即可【答案】解：设该角为x，则5（90x）2（180x），得x30故答案为：30【点睛】本题考查了余角与补角的定义，表示出这个角的余角和补角并列出方程是解题的关键【变式3-2】若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少5，则这个角等于 【分析】设这个角为x，根据互为补角的两个角的和等于180列方程求解即可【答案】解：设这个角为x，由题意得，3x2（180x）5，解得x71答：这个角等于71故答案为：71【点睛】本题考查了余角和补角，互为补角的两个角的和等于180【变式3-3】一个角的补角加上10后等于这个角的余角的3
13、倍，则比这个角小1532的角的度数是 【分析】先设出这个角，可表示出其补角和余角，根据题意我们可列出等式，解这个等式即可得出这个角的度数，然后求得即可【答案】解：设这个角为x，则它的余角为90x，补角为180x，根据题意，得180x+103（90x），解得x404015322428，故答案为：2428【点睛】本题考查的是角的余角和补角的关系，以及对题意的准确把握【考点4 钟面上的角度问题】【例4】上午9点30分时，时钟的时针和分针所夹的较小的角是 度【分析】在9点30分时，时针从数字9开始转了300.515，分针从数字12开始转了306180，所以此时时针与分针所夹的角930+15180，然后
14、进行角度计算【答案】解：上午9点30分时，时针转了300.515，分针转了306180，所以此时时针与分针所夹的角930+15180105故答案为105【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30；分针每分钟转6，时针每分钟转0.5【变式4-1】时钟表面11点15分时，时针与分针所夹角的度数是 度【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案【答案】解：11点15分时，时针与分针相距份，11点15分时，时针与分针所夹角的度数是30112.5，故答案为：112.5【点睛】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键【变式4
15、-2】中午12点30分时，钟面上时针和分针的夹角是 度【分析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答【答案】解：12点半时，时针指向1和12中间，分针指向6，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30，半个格是15，因此12点半时，分针与时针的夹角正好是305+15165故答案为：165【点睛】此题主要考查了钟面角，本题是一个钟表问题，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30借助图形，更容易解决【变式4-3】上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数为 【分析】根据时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度计算即可【答案】解：上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数：330+0.52
16、5102.5，故答案为：102.5【点睛】本题考查了钟面角的问题，掌握时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度是解题的关键【考点5 尺规作图】【例5】已知：，线段c求作：ABC，使A，B，ABc（不写作法，保留作图痕迹）【分析】先作MAN，在AM上截取ABa，在AB的同侧作ABD，AN与BD交于点C，即可得出ABC【答案】解：如图所示：ABC即为所求【点睛】本题主要考查了作图复杂作图、角的作法；熟练掌握三角形的基本作图是解决问题的关键【变式5-1】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：线段a，b，求作：线段AB，使AB2ba【分析】以A为端点画射线，在射线上截ACb、CDb、BDa，
17、如图AB即为所求作的线段【答案】解：AB2ba【点睛】本题考查了作图中的复杂作图，熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键【变式5-2】作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来比如给定一个ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段AB，然后作BACBAC，再作线段ACAC，最后连结BC，这样ABC就和已知的ABC一模一样了请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来（请保留作图痕迹）【分析】首先作一条射线，进而截取ABAB，CABCAB，进而截取ACAC，进而得出答案【答案】解：如图所示：ABC即为所求【点睛】此题主要考查了作一三角形全等于已
18、知三角形，正确作出CABCAB是解题关键【变式5-3】如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D（1）请按要求作出图形（注：此题作图不需写出画法和结论）：作射线AC作直线BD，交射线AC于点O分别连接AB，AD（2）观察所作图形，我们能得到：AO+OC ；DBOB （空格处填写图中线段）【分析】（1）根据直线、射线和线段的定义作图可得；（2）根据线段的和差可得【答案】解：（1）如图所示：（2）由图形知AO+OCAC，DBOBDO，故答案为：AC，DO【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段、直线、射线的定义及线段和差的计算【考点6 与中点有关的长度计算】【方法点拨】线段的中点如图，
19、点C在线段AB上且使线段AC，CB相等，这样的点C叫做线段AB的中点中点定义的推理步骤：(1)ACCB(已知)，点C是线段AB的中点(中点的定义)(2)点C是线段AB的中点(已知)，ACBC或ACAB或BCAB或AB2AC或AB2BC(中点的定义)【例6】已知：点C在直线AB上，AC8cm，BC6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长【分析】分类讨论：点C在线段AB上，点C在线段AB的延长线上，根据线段中点的性质，可得MC、NC的长，根据线段的和差，可得答案【答案】解：当点C在线段AB上时，由点M、N分别是AC、BC的中点，得MCAC8cm4cm，CNBC6cm3cm，由线段的和
20、差，得MNMC+CN4cm+3cm7cm；当点C在线段AB的延长线上时，由点M、N分别是AC、BC的中点，得MCAC8cm4cm，CNBC6cm3cm由线段的和差，得MNMCCN4cm3cm1cm；即线段MN的长是7cm或1cm【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏【变式6-1】如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点（1）若AB8cm，AC3.2cm，求线段MN的长；（2）若BCa，试用含a的式子表示线段MN的长【分析】（1）根据中点定义求出AM和AN，则MNAMAN；（2）由MNAMAN得：MN【答案】解：（
21、1）因为AB8cm，M是AB的中点，所以AM4cm，又因为AC3.2cm，N是AC的中点，所以AN1.6cm，所以MNAMAN41.62.4cm；（2）因为M是AB的中点，所以AM，因为N是AC的中点，所以AN，MNAMAN【点睛】本题考查了线段中点的定义及线段的和、差、倍、分，若点C是线段的中点，则有ACBCAB，AB2AC2BC；注意（1）的条件和结论（2）不能运用【变式6-2】如图，点C是线段AB上，AC10cm，CB8cm，M，N分别是AC，BC的中点（1）求线段MN的长（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CBacm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？（3）若C在线段AB的
22、延长线上，且满足ACBCacm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？（4）由此题你发现了怎样的规律？【分析】（1）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可求出结果；（2）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论；（3）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论；（4）分析上面结论，即可得出“MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关”这一结论【答案】解：（1）MNMC+CNAC+CB10+85+49cm答：线段MN的长为9cm（2）MNMC+CNAC+CB（AC+CB）cm（3）如图，MNACAMN
23、CACACBC（ACBC）cm（4）当C点在AB线段上时，AC+BCAB，当C点在AB延长线上时，ACBCAB，故找到规律，MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系【变式6-3】已知：点M，N分别是线段AC，BC的中点（1）如图，点C在线段AB上，且AC9cm，CB6cm，求线段MN的长；（2）若点C为线段AB上任一点，且ACacm，CBbcm，用含有a，b的代数式表示线段MN的长度（3）若点C在线段AB的延长线上，且ACacm，CBbcm，请你画出图形，并且用含有a，b的代数式表示线段MN的
24、长度【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MNCM+CN即可求出MN的长度即可，（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，可表示线段MC、CN的长度，再利用MNCM+CN，则存在MN（a+b）；（3）点C在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度【答案】解：（1）AC9cm，点M是AC的中点，CM0.5AC4.5cm，BC6cm，点N是BC的中点，CN0.5BC3cm，MNCM+CN7.5cm，线段MN的长度为7.5cm，（2）MNcm，点M，N分别是线段AC，BC的中点MCACa，CNCBb，MN；
25、（3）当点C在线段AB的延长线时，如图：则ACBC，M是AC的中点，CMACa，点N是BC的中点，CNb，MNCMCNab【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点【考点7 与角平分线有关的角度计算】【方法点拨】角平分线：（1）把一个角平分成二等分的射线，称为角平分线（2）若OC平分AOB，则有AOCBOCAOCAOBAOB2AOC2BOC【例7】如图，已知OM平分AOC，ON平分BOC，AOB90，BOC30求：（1）AOC的度数；（2）MON的度
26、数【分析】（1）根据角的和差关系，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到MOCAOC，NOCBOC，于是得到结论【答案】解：（1）AOCAOB+BOC，又AOB90，BOC30，AOC120；（2）OM平分AOC，MOCAOC，AOC120，MOC60，ON平分BOC，NOCBOC，BOC30，NOC15，MONMOCNOC，MON45【点睛】此题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，弄清题意是解本题的关键【变式7-1】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分BOD，AOC72，OFCD，垂足为O，求：（1）求BOE的度数（2）求EOF的
27、度数【分析】（1）由BODAOC72，OFCD，求出BOF907218，再由OE平分BOD，得出BOEBOD36，（2）由EOFBOF+BOE，得出EOF的度数【答案】解：（1）直线AB和CD相交于点O，BODAOC72，OFCD，BOF907218，OE平分BOD，BOEBOD36；（2）EOFBOF+BOE，EOF36+1854【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、垂线以及角平分线的定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键【变式7-2】如图所示（1）已知AOB90，BOC30，OM平分AOC，ON平分BOC，求MON的度数；（2）AOB，BOC，OM平分AOC，ON平分BOC，求MON的大小【分
28、析】（1）根据题意可知，AOC120，由OM平分AOC，ON平分BOC；推出MOCAOC60，CONBOC15，由图形可知，MONMOCCON，即MON45；（2）同理可得，MOC（+），CON，根据图形便可推出MONMOCCON（+）【答案】解：（1）AOB90，BOC30，AOCAOB+BOC90+30120，OM平分AOC，ON平分BOC，MOCAOC60，CONBOC15，MONMOCCON601545；故答案为：45；（2）同理可得，MOC（+），CON，则MONMOCCON（+）【点睛】本题主要考查角平分线的性质，角的度数的计算，关键在于运用数形结合的思想推出AOCAOB+BOC，
29、MONMOCCON【变式7-3】已知AOB，过O作射线OC，OM平分AOC，ON平分BOC（1）如图，若120，当OC在AOB内部时，求MON的度数；（2）当OC在AOB外部时，画出相应图形，求MON的度数（用含的式子表示）【分析】（1）根据角平分线的性质，可得NOC与BOC的关系，COM与COA的关系，根据角的和差，可得答案；（2）根据角的和差，可得AOC的度数，根据角平分线的性质，可得COM的度数，CON的度数，根据角的和差，可得答案【答案】解：（1）OM平分AOC，ON平分BOC，MOCAOC，NOCBOC，MONMOC+NOCAOC+BOC（AOC+BOC）AOB60；（2）如图：，O
30、M平分AOC，ON平分BOC，MOC（AOB+BOC），CONBOCMONMOCCON（AOB+BOC）BOCAOB【点睛】本题考查了角的计算，利用了角平分线的性质，角的和差【考点8 与旋转有关的角度计算】【例8】O为直线AD上一点，以O为顶点作COE90，射线OF平分AOE（1）如图，AOC与DOE的数量关系为 ，COF和DOE的数量关系为 _；（2）若将COE绕点O旋转至图的位置，OF依然平分AOE，请写出COF和DOE之间的数量关系，并说明理由；（3）若将COE绕点O旋转至图的位置，射线OF依然平分AOE，请直接写出COF和DOE之间的数量关系【分析】（1）根据已知条件和图形可知：COE
31、90，COE+AOC+DOE180，从而可以得到AOC与DOE的数量关系；由射线OF平分AOE，AOC与DOE的数量关系，从而可以得到COF和DOE的数量关系；（2）由图，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到COF和DOE之间的数量关系；（3）由图和已知条件可以建立各个角之间的关系，从而可以得到COF和DOE之间的数量关系【答案】解：（1）COE90，COE+AOC+DOE180，AOC+DOE90，射线OF平分AOE，AOFEOFAOE，COFAOFAOCAOE（90DOE）（180DOE）90+DOEDOE，故答案为：互余，COFDOE；（2）COFDOE；理由如下：OF平分AOE，AO
32、FAOE，COE90，AOC90AOE，COFAOC+AOF90AOE+AOE90AOE，AOE180DOE，COF90（180DOE）DOE，即COFDOE；（3）COF180DOE；理由如下：OF平分AOE，EOFAOE，COFCOE+EOF90+AOE90+（180DOE）180DOE，即COF180DOE【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件【变式8-1】已知AOB100，COD40，OE平分AOC，OF平分BOD（本题中的角均为大于0且小于等于180的角）（1）如图1，当OB、OC重合时，求EOF的度数
33、；（2）当COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n（0n90）时，AOEBOF的值是否为定值？若是定值，求出AOEBOF的值；若不是，请说明理由（3）当COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n（0n180）时，满足AOD+EOF6COD，则n 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得EOB和COF的度数，然后根据EOFEOB+COF求解；（2）解法与（1）相同，只是AOCAOB+n，BODCOD+n；（3）利用n表示出AOD，求得EOF的度数，根据AOD+EOF6COD列方程求解【答案】解：（1）OE平分AOC，OF平分BOD，EOBAOB10050，COFCOD4020，EOFEOB+COF50
34、+2070；（2）AOEBOF的值是定值，理由是：当0n80时，如图2AOEBOF的值是定值，理由是：AOCAOB+n，BODCOD+n，OE平分AOC，OF平分BOD，AOEAOC（100+n），BOFBOD（40+n），AOEBOF（100+n）（40+n）30；当80n90时，如图3AOE（360100）130，BOF（40+），则AOEBOF110，不是定值；（3）当040时，C和D在OA的右侧，AODAOB+COD+n100+40+n140+n，EOFEOC+COFEOC+CODDOF（100+n）+40（40+n）70，AOD+EOF6COD，（140+n）+70640，n30当4
35、080时，如图2所示，D在OA的左侧，C在OA的右侧当AODAOB+COD+n180时，AOD360AOBCOD220n，EOF70，AOD+EOF6COD，220n+70640，解得n50当80140时，如图3所示，AOD36010040220n，EOF360（130n）（40+n）100110，则（220n）+110240，解得n90；当140n180时，AOD220n，EOF70，则220n+70240，解得n50（舍去）故答案是：30或50或90【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键【变式8-2】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使B
36、OC110将一直角三角板的直角顶点放在点O处（OMN30），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在BOC的内部，且恰好平分BOC求BON的度数（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角AOC，则t的值为 （直接写出结果）（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在AOC的内部，请探究AOM与NOC的数量关系，并说明理由【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得BON的度数；（2）分两种情况：ON的反向延长线平分AOC或射线ON平分AOC
37、，分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；（3）根据MON90，AOC70，分别求得AOM90AON，NOC70AON，再根据AOMNOC（90AON）（70AON）进行计算，即可得出AOM与NOC的数量关系【答案】解：（1）如图2，OM平分BOC，MOCMOB，又BOC110，MOB55，MON90，BONMONMOB35；（2）分两种情况：如图2，BOC110AOC70，当直线ON恰好平分锐角AOC时，AODCOD35，BON35，BOM55，即逆时针旋转的角度为55，由题意得，5t55解得t11；如图3，当NO平分AOC时，NOA35，AOM55，即逆时针旋转的角度为：180
38、+55235，由题意得，5t235，解得t47，综上所述，t11s或47s时，直线ON恰好平分锐角AOC；故答案为：11或47；（3）AOMNOC20理由：MON90，AOC70，AOM90AON，NOC70AON，AOMNOC（90AON）（70AON）20，AOM与NOC的数量关系为：AOMNOC20【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用，用含AON的式子表示出AOM和NOC的长是解题的关键解题时注意分类思想和方程思想的运用【变式8-3】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起（1）如图（1）若BOD35，求AOC的度数，若AOC135，求BOD的度数
39、（2）如图（2）若AOC150，求BOD的度数（3）猜想AOC与BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当AOD（0AOD90）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出AOD角度所有可能的值，不用说明理由【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据AOCAOB+CODBOD可分别计算出AOC、BOD的度数；（2）根据BOD360AOCAOBCOD计算可得；（3）由AOD+BOD+BOD+BOC180且AOD+BOD+BOCAOC可知两角互补；（4）分别利用ODAB、CDOB、CDAB、OCAB分别求出即可【答案】解：（1）若BOD35，AOBCOD90，AOCAOB+CODBOD90+9035145，若AOC135，则BODAOB+CODAOC90+9013545；（2）如图2，若AOC150，则BOD360AOCAOBCOD360150909030；（3）AOC与BOD互补AOBCOD90，AOD+BOD+BOD+BOC180AOD+BOD+BOCAOC，AOC+BOD180，即AOC与BOD互补（4）ODAB时，AOD30，CDOB时，AOD45，CDAB时，AOD75，OCAB时，AOD60，即AOD角度所有可能的值为：30、45