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1、2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题1.1 相交线与平行线全章知识典例详解【人教版】一、直线的相交1两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行【注】两条直线：有且只有一个公共点，两直线相交；无公共点，则两直线平行；两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线【典例1】如下图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分（如图（1），画2条直线，最多能把白纸分成4部分（如图（2），画3条直线，最多能把白纸分成7部分（如图（3），.，当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成（ ）A400部分B221部分C220部分D211部分【分析】首先根据题意总结出画n
2、条直线，最多能把这张纸分成n+1n2+1块，然后当n=20时，代入即可.【详解】画1条直线，最多能把这张纸分成1+1=2块；画2条直线，最多能把这张纸分成1+1+2=4块；画3条直线，最多能把这张纸分成1+1+2+3=7块；画n条直线，最多能把这张纸分成1+1+2+3+4+n=n+1n2+1块；则画20条直线，最多能把白纸分成20+1202+1=211块；故答案为D.【典例2】已知6条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为M个，最少为m个，则Mm=_【分析】由题意可得6条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出M，m的值，从而得出答案【详解】解：根据题意
3、可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，任意三条直线不过同一点，此时点为：6（6-1）2=15，即M=15；M-m=14故答案为：142直线的相交两线四角（1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角如图1，和，和，和，和互为邻补角图1 【注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角（2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角如图1，和，和，互为对顶角【注】互为对顶角的两个角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角【典例3】1与2是
4、对顶角，2与3是邻补角，则1+3=_度【分析】根据对顶角相等，邻补角互补即可得到答案【详解】解：由题意可得，1=2，2+3=180，1+3=180，故答案为180【典例4】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分BOD，OF平分COE(1)若AOC=76，求BOF的度数；(2)若BOF=36，求AOC的度数；【分析】（1）先根据对顶角相等求出BOD=76，再由角平分线定义得DOE=BOE=38，由邻补角得COE=142，再根据角平分线定义得EOF=71，从而可得结论（2）利用角平分的定义得出BOE=EOD，COF=FOE，进而表示出各角求出答案【详解】（1）AOC、BOD是对顶角，BOD=AO
5、C=76，OE平分BOD，DOE=BOE=12BOD=38，COE=142，OF平分COEEOF=12COE=71，又BOE+BOF=EOF，BOF=EOFBOE=7138=33，（2）OE平分BOD，OF平分COE，BOE=EOD，COF=FOE，设BOE=x，则EOD=x，故COA=2x，EOF=COF=x+36，则AOC+COF+BOF=2x+x+36+36=180，解得x=36，故AOC=72二、垂直1垂直：一条直线与另一条直线相交成，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足如图2，垂足为O，可记为“于点O”图2 2性质：（1）在同一平面内，过一点有且只
6、有一条直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离【典例5】如图，ABC中，ACB90，AC3，BC4，AB5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（）A3B2.5C2.4D2【分析】当PCAB时，PC的值最小，利用面积法求解即可【详解】解：在RtABC中，ACB90，AC3，BC4，AB5，当PCAB时，PC的值最小，此时：ABC的面积12ABPC12ACBC，5PC34，PC2.4，故选：C【典例6】如图，在三角形ABC中，ACB=90(1)过点C画AB的垂线，交AB于点H；(2)在（
7、1）的条件下，点A到直线CH的距离是线段_的长度；(3)在（1）的条件下，比较CH与AB的大小，并说明理由【分析】（1）根据垂线的做法，过C点往AB作垂线即可；（2）根据点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，可知点A到直线CH的距离是线段AH的长度；（3）根据垂线段最短，进行判定即可【详解】（1）解：如图所示（2）AHCH，点A到直线CH的距离是线段AH的长度，故答案为：AH；（3）ABCH，理由如下：ACB=90ABBC，AHCH，BHC=90BC CH，ABCH三、三线八角1同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（即两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的
8、同侧），叫做同位角图3如图3，和，和，和，和都是同位角2内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错的一对角（即两个角分别在第三条直线的两侧），叫做内错角如图3，和，和都是内错角3同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同侧的一对角，叫做同旁内角如图3，和，和都是同旁内角【典例7】根据图形填空：（1）若直线ED,BC被直线AB所截，则1和_是同位角；（2）若直线ED,BC被直线AF所截，则3和_是内错角；（3）1和3是直线AB,AF被直线_所截构成的内错角；（4）2和4是直线AB，_被直线BC所截构成的_角【分析】（1）根据图形及
9、同位角的概念可直接进行求解；（2）根据图形及内错角的概念可直接进行求解；（3）根据图形及内错角的概念可直接进行求解；（4）根据图形及同位角的概念可直接进行求解【详解】解：由图可得：（1）若直线ED,BC被直线AB所截，则1和2是同位角；故答案为2；（2）若直线ED,BC被直线AF所截，则3和4是内错角；故答案为4；（3）1和3是直线AB,AF被直线ED所截构成的内错角；故答案为ED；（4）2和4是直线AB，AF被直线BC所截构成的同位角；故答案为AF，同位【典例8】如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题(1)在图中的19这9个角中，同位角共有多少对
10、？请你全部写出来；(2)4和5是什么位置关系的角？6和8之间的位置关系与4和5的相同吗？【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的特征（同位角形如“F”，内错角形如“Z”，同旁内角形如“U”）判断即可.【详解】解：(1)如题图所示：同位角共有5对：分别是1和5，2和3，3和7，4和6，4和9；(2)由三线八角的判断方法4和5是由c，b，d三线组成，并且构成“U”形图案，所以4和5是同旁内角，同理可得：6和8也是同旁内角，故6和8之间的位置关系与4和5的相同故答案是：（1）同位角共有5对：分别是1和5，2和3，3和7，4和6，4和9；4和5是同旁内角；（2）6和8之间的位置关系与4和5的相同.一、平
11、行线1平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线用“/”表示2平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行如图1，过直线a外一点A作b/a，c/a，则b与c重合图13平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行简记为：平行于同一条直线的两条直线平行如图2，若b/a，c/a，则b/c图2【典例9】已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：若a/b,b/c,则a/c；若a/b,ac,则bc；若ab,bc,则ac；若ac且c与b相交，则a与b相交，其中，结论正确的是（）ABCD【分析】根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线
12、的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解【详解】根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若a/b,b/c,则a/c；故说法正确；若a/b,ac,则bc，故说法正确；根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若ab,bc,则ac；说法错误；若ac且c与b相交，则a与b不一定相交，故说法错误故正确的有：故选：A二、平行线的判定图3（1）同位角相等，两直线平行如图3，若，则a/b（2）内错角相等，两直线平行如图3，若，则a/b（3）同旁内角互补，两直线平行如图3，若，则a/b【典例10】如图，下列能
13、判定ACDF的条件有（）1+DEC=180；C=2；4=FEC；DEF=5；3=4A1个B2个C3个D4个【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可【详解】解：由1+DEC=180可由同旁内角互补，两直线平行得到ACDF，符合题意；由C=2可由同位角相等，两直线平行得到ACDF，符合题意；由4=FEC可由内错角相等，两直线平行得到ACDF，符合题意；由DEF=5可由内错角相等，两直线平行得到BCDE，不能得到ACDF，不符合题意；由3=4可由内错角相等，两直线平行得到ABEF，不能得到ACDF，不符合题意；故选C【典例11】如图，填空：ABD=BDC（已知），_（ ）；A=CBE（已知），_（
14、）；CBE=DCB（已知），_（ ）；A+ADC=180（已知），_（ ）【分析】根据平行线的判定定理即可求解【详解】解：ABD=BDC（已知），ABCD（内错角相等，两直线平行）；A=CBE（已知），ADBC（同位角相等，两直线平行）；CBE=DCB（已知），CDBE（内错角相等，两直线平行）；A+ADC=180（已知），ABCD（同旁内角互补，两直线平行）故答案为：AB，CD，内错角相等，两直线平行；AD，BC，同位角相等，两直线平行；CD，BE，内错角相等，两直线平行；AB，CD，同旁内角互补，两直线平行一、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等如图3，若a/b，则（2）两直线平行，内
15、错角相等如图3，若a/b，则（3）两直线平行，同旁内角互补如图3，若a/b，则推论1 平行线间的距离处处相等推论2 如果两个角的两边分别平行那么这两个角相等或互补【典例12】完成下面的证明：如图，点B在AG上，AGCD，连接BC，CF平分BCD，ABE=FCB，BEAF于点E求证：F=90 证明：AGCD，ABC=BCD（_）ABE=FCB，ABCABE=BCDFCB，即EBC=FCDCF平分BCD，FCB=_（_）EBC=FCB，BECF（_）_=F（_）BEAF，BEF=_（_）F=90【分析】根据平行线性质与判定、角平分线定义、垂直的定义填空即可【详解】证明：AGCD，ABC=BCD（两
16、直线平行，内错角相等）ABE=FCB，ABCABE=BCDFCB，即EBC=FCDCF平分BCD，FCB=FCD（角平分线的定义）EBC=FCB，BECF（内错角相等，两直线平行）BEF=F（两直线平行，内错角相等）BEAF，BEF=90（垂直的定义）F=90故答案为：两直线平行，内错角相等；FCD；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；BEF；两直线平行，内错角相等；90；垂直的定义【典例13】如图，1=2，A=D求证：B=C（请把下面证明过程补充完整）证明：1=2（已知）又1=3（_）2=3（_）AEFD（_）A=_（_）A=D（已知）D=BFD（等量代换）_CD（_）B=C（_）【分析
17、】先利用对顶角的性质证明2=3，再证明AEFD，可证明A=BFD，可得D=BFD，再证明ABCD，从而可得答案【详解】证明：1=2（已知）又1=3（对顶角相等）2=3（等量代换）AEFD（内错角相等，两直线平行）A=BFD（两直线平行，内错角相等）A=D（已知）D=BFD（等量代换）ABCD（内错角相等，两直线平行）B=C（两直线平行，内错角相等）【典例14】如图，l1/l2，点A、E在直线l1上，点B、C、D在直线l2上，如果BD=2CD，ABC的面积为30，那么BDE的面积是_【分析】由BD:CD=2:1，可得出BDBC=23根据l1l2，即可知ABC与BDE的高相等，从而可得出SBDES
18、ABC=BDBC=23，即可求出结果【详解】BD:CD=2:1，BDBC=23，l1l2，ABC与BDE的高相等，SBDESABC=BDBC=23，SABC=30，SBDE=20，故答案为：20二、命题、定理、证明1. 命题：命题的概念：判断一件事情的语句叫做命题；命题的形式：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写成“如果那么”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论.2. 命题包括两种：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题称为真命题；题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题称为假命题. 逆命题：将一个命题的题设与结论互换
19、位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题. 注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题；原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题.3. 定理：经过推理证实的真命题叫做真理，它可以作为继续推理的依据.4. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.【典例15】下列四个命题：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；从直线外一点作这条直线的垂线段叫点到直线的距离其中是真命题的是_【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各个条件是否能推出结论，从
20、而利用排除法得出答案【详解】过同一平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是真命题，符合题意；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；两条平行的直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；从直线外一点作这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故原命题是假命题，不符合题意；真命题是，故答案为：【典例16】把“同角的余角相等”改成“如果，那么”：_【分析】找到命题的条件和结论进行改写即可【详解】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”故答案为：如果两个角是同一个角的余角，
21、那么这两个角相等1. 平移的定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同2. 平移的性质：平移是延直线移动； 平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同； 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 【典例17】如图，将直角ABC沿CB边向右平移得到DFE，DE交AB于点GAB=9cm，BF=3cm，AG=5cm，则图中阴影部分的面积为_【分析】F是直角，BF是梯形的高，根据AB的长度求出BG的长度，利用梯形的面积公式求出【详解】解：AB=DF，AB=9， DF=9，BG
22、=ABAG=95=4， 又BF是梯形的高，阴影部分的面积为：12BG+DFBF=124+93=392cm2故答案是：392cm2【典例18】如图，将周长为8cm的ABC沿BC方向平移1cm得到DEF，则四边形ABFD的周长为_cm【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长为AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案【详解】解：根据题意，将周长为8cm的ABC沿BC向右平移1cm得到DEF，AD=1cm，BF=BC+CF=BC+1cm，DF=AC；又AB+BC+AC=8cm，四边形ABFD的周长为AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10cm故答案为：10
23、专题2.1 相交线与平行线六类必考压轴题【人教版】1（2022秋辽宁大连七年级校考期末）直线AB，CD相交于点O，OFCD于点O，作射线OE，且OC在AOE的内部(1)当点E，F在直线AB的同侧；如图1，若BOD=15，BOE=120，求EOF的度数；如图2，若OF平分BOE，请判断OC是否平分AOE，并说明理由；(2)若AOF=2COE，请直接写出BOE与AOC之间的数量关系2（2023春七年级课时练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在COF的内部，DOF=13AOD(1)如图1，若AOC=120，求EOC的度数；(2)如图2，若AOC=（60180），将射线OA绕点O逆时针旋转6
24、0，到OB，求EOB的度数（用含的式子表示）；观察中的结果，直接写出AOC，EOB之间的数量关系(3)如图3 ，0AOC 120，将射线OA绕点O顺时针旋转60，到OB，请直接写出AOC，EOB之间的数量关系3（2022秋湖南株洲七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OE，使BOE=40，将一个三角板的直角顶点放在O处，一边OC在射线OA上，另一边OD在直线AB的上方将图1中的三角板绕点O顺时针旋转：(1)如图2，当OC旋转到OE的反向延长线上时，AOC=_；(2)如图3，当OD平分AOE时，求BOC的度数；(3)若OC在直线AB上方，BOC=，请直接用含a的式子表示DOE
25、4（2022秋重庆潼南七年级统考期末）如图，点O是直线AB上一点，在直线AB的上方作射线OC，使BOC=30，将一个直角三角板DOE的直角顶点放在点O处（注：DOE=90），且直角三角板DOE始终保持在直线AB的上方(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD在射线OA上，则COE的度数=_；(2)如图2，若直角三角板DOE的边OE在BOC的内部当OE平分BOC时，试判断OD平分AOC吗？并说明理由(3)若AOD=4COE，求BOE的度数5（2022秋七年级课时练习）一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿ABC的路线运动；同时
26、，三角板ADE（含45）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒图2是运动过程中某时刻的图形(1)当点P到达点B时，ADE转动了 (2)当0t60时，若FAE与B互为余角，则t= (3)在运动过程中，当t 时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180）的角平分线(4)当ACP的面积大于ABC面积的一半，且ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为 1已知，ABCD，F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG(1)如图（1），请直接写出AFE、CGE与FEG
27、之间的数量关系(2)如图（2），过点E作EMEF、EHEG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQEF，求证：HNQ=MEG(3)如图（3），在（2）的条件下，若ENQ=EMF，EGD=110，求CQP的度数2已知直线ABCD，点P，Q分别在直线AB，CD上(1)如图，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE探究PEQ与BPE+DQE之间的数量关系，并说明理由；(2)如图，在的条件下，PF平分BPE，QF平分DQE，交点为F求PFQ与BPE+DQE之间的数量关系，并说明理由；(3)如图，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QEPF平分BPE，QH平分CQE，QH的反向延长线交
28、PF于点F若E=40时，求F的度数3已知：ABCD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，EGH=EFH(1)如图1，求证：EFGH；(2)如图2，EN为BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：N=HPNNFH；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FMGH于点M，作AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分DFM，且GQH比N的13多3，求AEF的度数4已知：直线ABCD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点E为平面内一点，(1)如图1，请写出AME、E、ENC之间的数量关系，并给出证明；(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若AME=30，EF平分MEN，NP平分ENC，EQ
29、NP，求FEQ的度数；(3)如图3，点G为CD上一点，AMN=mEMN，GEK=mGEM， EHMN交AB于点H，请写出GEK，BMN，GEH之间的数量关系（用含m的式子表示），并给出证明5已知：直线ABCD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足MPN=90过点N作射线NQ，使得PNQ=PNC(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，QND=50时，则AMP= ；(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，QND=时，求AMP的度数；（用含的代数式表示）(3)在点P运动的过程中，请直接写出QND与AMP之间的数量关系6如图，ABCD，点P为AB上方一点，E在直线AB上(1)
30、如图1，求证：P=PEB-C；(2)如图2，点F为直线CD上一点，PEB、CFP的角平分线所在直线交于点Q，求P与Q的数量关系；(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在CPE内部，EPN=nCPN、DCN=nPCN，当2CNP-PEA=180恒成立时，n= 7如图：(1)如图1，已知MNPQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：BEDPDE+MBE；(2)如图2，已知MNPQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分ADC，BE平分ABC，直线DE、BE交于点E，CBN110.若ADQ130，求BED的度数；将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其
31、他条件不变，如图3所示.若ADQn，则BED的度数是 度（用关于n的代数式表示）.1先阅读再解答：(1)如图1，ABCD，试说明：B+D=BED；(2)已知：如图2，ABCD，求证：B+BED=360；(3)已知：如图3，ABCD，ABF=DCE求证：BFE=FEC2综合与实践(1)问题情境：图1中，ABCD，PAB=130，PCD=120，求APC的度数小明的思路是：过P作PEAB，通过平行线性质来求APC按小明的思路，易求得APC的度数为_；（直接写出答案）(2)问题迁移：图2中，直线ABCD，P为平面内一点，连接PA、PD若A=50，D=150，试求APD的度数；(3)问题拓展：图3中，
32、直线ABCD，则PAB、CDP、APD之间的数量关系为_3如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：(1)已知：ABCD，AB和CD都不经过点P，探索P与A，C的数量关系小明是这样证明的：请填写理由证明：过点P作PQABAPQ=A（ ）PQAB，ABCDPQCD（ ）CPQ=C（ ）APQ+CPQ=A+C即APC=A+C(2)在图2中，ABCD，若A=120，C=140，则APC的度数为 ；(3)在图3中，ABCD，若A=40，C=70，则APC的度数为 ；(4)在图4中，ABCD，探索P与C，PAB的数量关系，并说明理由4直线ABCE，BEEC是一条折线段，BP平分ABE(1)如图1，若BPCE
33、，求证：BEC+DCE=180；(2)CQ平分DCE，直线BP，CQ交于点F如图2，写出BEC和BFC的数量关系，并证明；当点E在直线AB，CD之间时，若BEC=40，直接写出BFC的大小8课题学习：平行线的“等角转化”功能(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求B+BAC+C的度数阅读并补充下面推理过程解：过点A作EDBC， B= ，C ， EAB+BAC+DAC=180， B+BAC+C=180解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将BAC、B、C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决(2)方法运用：如图2，已知ABED，求B+
34、BCD+D的度数；(3)深化拓展：已知ABCD，点C在点D的右侧，ADC=50，BE平分ABC，DE平分ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间如图3，点B在点A的左侧，若ABC=36，求BED的度数如图4，点B在点A的右侧，且ABCD，ADBC若ABC=n，求BED度数（用含n的代数式表示）1（1）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为平面内AB、CD间一点，若EPF=PEB+PFD，证明：ABCD；（2）如图2，ABCD，点E在直线AB上，点F、G分别在直线CD上，GP平分EGF，PEG=PFG，请探究EPF、PEG、DGE之间的数量关系，并说明理由；（3）如
35、图3，ABCD，EPF=120，PEG=nBEG，PFK=nCFK直线MN交FK、EG分别于点M、N，若FMNENM=25，求n的值2已知ABCD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG(1)如图1，若GMGN，求AMG+CNG的度数(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分BMP，ND平分GNP，已知BMG=30，求MGN+MPN的度数(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分AME，NE平分CNG，2MEN+MGN=120，求AME的度数3如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，AGE=FHD (
36、1)如图1，求证：ABCD；(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，AGN=QHD，求证：GNQH；(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，GNV=36，NP平分VNM交AB于点K，HNK=2GNK，VPMN，NHD=VNK+6，QHN=2KVN，求VPN的度数4问题探究：如图，已知ABCD，我们发现EB+D我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图，过点E作EFAB，把BED分成BEF与DEF的和，然后分别证明BEFB，DEFD李思同学：如图，过点B作BFDE，则EEBF，再证明ABFD问题解答：(1)请按张山同学的思路，写
37、出证明过程；(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；问题迁移：(3)如图，已知ABCD，EF平分AEC，FD平分EDC若CED3F，求F的度数5如图，已知ABCD，点E在直线AB，CD之间(1)求证：AEC=BAE+ECD；(2)若AH平分BAE，将线段CE沿CD平移至FG如图2，若AEC=90，HF平分DFG，求AHF的度数；如图3，若HF平分CFG，请直接写出AHF与AEC的数量关系6已知：ABCD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E(1)如图1，求证：E=APE+CQE；(2)将线段EQ沿DC平移至FG，CGF的平分线和APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H如图2，若E=
38、90，求H的度数；如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分BPE，连接HI，若IH=m，E=n，请直接写出m与n的数量关系，不必证明1问题情境：如图 1，ABCD，PAB=130，PCD=120，求APC的度数小明的思路是：如图 2，过 P 作PEAB，通过平行线性质，可得APC=50+60=110问题迁移：(1)如图 3，ADBC，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在A、B两点之间运动时，ADP=，BCP=，CPD、之间有何数量关系？请说明理由(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时， 点 P 与 点A、B、O三点不重合，请你直接写出CPD、, 间的数量关系2已知A
39、BCD(1)如图1，若ABE=120，BED=135，则EDK=_(2)如图2，EFBE于点E，HBE、KDE的角平分线交于点P，GE平分DEF，若P比GEF的5倍还多5，求GEF的度数(3)如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足：MBH=12MBE，NDK=12NDE，直线MB与直线ND交于点Q，直接写出BQD的大小_3如图，已知直线AB射线CD，CEB=100P是射线EB上一动点，过点P作PQEC交射线CD于点Q，连接CP作PCFPCQ，交直线AB于点F，CG平分ECF(1)若点P，F，G都在点E的右侧求PCG的度数；若EGCECG=40，求CPQ的度数(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使EGCEFC=32？若存在，求出CPQ的度数；若不存在，请说明理由4如图1，ADBC，BAD的平分线交BC于点G，BCD=90(1)试说明：BAG=BGA；(2)如图2，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若BAGF=45，求证：CF平分BCD；(3)如图3，线段AG上有点P，满足ABP=3PBG，过点C作CHAG.若在直线AG上取一点M，使PBM=DCH，求ABMGBM的值1如图，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，ABCD，且FEM=FME(1)当AEF=70时，FM