《2024年初中升学考试真题模拟卷湖南省衡阳市中考数学试卷 (2).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年初中升学考试真题模拟卷湖南省衡阳市中考数学试卷 (2).docx（35页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）（2023岳阳）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作（）A+237元B237元C0元D474 元2（3分）（2023岳阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）A1cm，2cm，3cmB3cm，8cm，5cmC4cm，5cm，10cmD4cm，5cm，6cm3（3分）（2023岳阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（）ABCD4（3分）（2023岳阳）作为中国非物
2、质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是（）ABCD5（3分）（2023岳阳）计算（12x3）2的结果正确的是（）Ax6B14x6C14x5Dx96（3分）（2023岳阳）据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万数据7358万用科学记数法表示为（）A7.358107B7.358103C7.358104D7.3581067（3分）（2023岳阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有ab=ab该运算法
3、则成立的条件是（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b08（3分）（2023岳阳）如图，在四边形ABCD中，已知ADBC添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）AADBCBABDCCABDCDAC9（3分）（2023岳阳）孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何”设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（）Ax+y=354x+2y=94Bx+y=944x+2y=35Cx+y=352x+4y=94Dx+y=942x+4y=3510（3分）（2023岳阳）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表甲、乙两名选
4、手成绩的方差分别记为S甲2和S乙2则S甲2和S乙2的大小关系是（） 测试次数12345甲510938乙86867AS甲2S乙2BS甲2S乙2CS甲2S乙2D无法确定11（3分）（2023岳阳）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60”假设三角形没有一个内角小于或等于60，即三个内角都大于60”，则三角形的三个内角的和大于180这与“三角形的内角和等于180”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60上述推理使用的证明方法是（）A反证法B比较法C综合法D分析法12（3分）（2023岳阳）已知mn0，若关于x的方程x2+2x3m0的解为x1，x2（
5、x1x2），关于x的方程x2+2x3n0的解为x3，x4（x3x4）则下列结论正确的是（）Ax3x1x2x4Bx1x3x4x2Cx1x2x3x4Dx3xxx1x2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）13（3分）（2023岳阳）在平面直角坐标系中，点P（3，2）所在象限是第 象限14（3分）（2023岳阳）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 15（3分）（2023岳阳）已知x5，则代数式3x424x216的值为 16（3分）（2023岳阳）已知关于x的方程x2+mx200的一个根是4，则
6、它的另一个根是 17（3分）（2023岳阳）如图，在RtABC中，ACB90，AC8，BC6以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 18（3分）（2023岳阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 三、解答题（本大题共8个小题，1920题每题6分，2124题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19（6分）（2023岳阳）计算：|3|+4+（2）120（6分）（2023岳阳）解不等式组：x402(x+1)3x21（8分）（202
7、3岳阳）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60x70；B：70x80；C：80x90；D：90x100），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级平均数中位数众数优秀率八87a9
8、860%九8786bc根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a ，b ，c ；（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数22（8分）（2023岳阳）如图，正比例函数y=43x的图象与反比例函数y=12x（x0）的图象相交于点A（1）求点A的坐标（2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D求线段OD的长23（8分）（2023岳阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案
9、：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30，CD长为49.6米已知目高CE为1.6米（1）求教学楼AB的高度（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB24（8分）（2023岳阳）如图，AB是O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DEAB于点E，交AC于点F，交O于点H，DB交AC于点G（1）求证：AFDF（2）若AF=52，sinABD=55，求O的半径25（10分）（2023岳阳）问题探究（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、
10、BD相交于点O在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB求证：PDPB；将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处当点P在线段AO上的位置发生变化时，DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；探究AQ与OP的数量关系，并说明理由迁移探究（2）如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且ABC60，其他条件不变试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由26（12分）（2023岳阳）如图，已知抛物线yax22ax+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线（1）求a的值（2）将直线BC向下平移m（m0）个单位长度，交抛物线于B、C两点在直线BC
11、上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线BC的距离最大若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由（3）抛物线上是否存在点P，使PBC+ACO45，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由2023年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）（2023岳阳）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作（）A+237元B237元C0元D474 元【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，收
12、入记为正，可得支出表示方法【解答】解：收入500元记作+500元，则支出237元应记作237元，故选：B【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示2（3分）（2023岳阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）A1cm，2cm，3cmB3cm，8cm，5cmC4cm，5cm，10cmD4cm，5cm，6cm【分析】根据两边之和大于第三边判断即可【解答】解：A、1+23，长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、3+58，长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、4+510，长度为4cm，5cm，10cm的三
13、条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；D、4+56，长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；故选：D【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键3（3分）（2023岳阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（）ABCD【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可【解答】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
14、够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合4（3分）（2023岳阳）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是（）ABCD【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案【解答】解：从左边看，紫砂壶的壶嘴在正中间，只有选项B符合题意故选：B【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图5（3分）（2023岳阳）计算（12x3）2的结果正确的是（）Ax6B
15、14x6C14x5Dx9【分析】根据积的乘方和幂的乘方计算方法进行计算即可【解答】解：原式=(12)2(x3)2=14x32=14x6故选：B【点评】本题主要考查积的乘方和幂的乘方的计算方法，是必考的知识点，一定要熟练掌握，并能灵活运用6（3分）（2023岳阳）据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万数据7358万用科学记数法表示为（）A7.358107B7.358103C7.358104D7.358106【分析】利用科学记数法的法则解答即可【解答】解：7358万735800007.358107，故选：A【点评】本题主要考查
16、了科学记数法，表示较大的数，熟练掌握科学记数法的法则是解题的关键7（3分）（2023岳阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有ab=ab该运算法则成立的条件是（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0【分析】根据二次根式的乘法法则，即可解答【解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有ab=ab该运算法则成立的条件是a0，b0，故选：D【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键8（3分）（2023岳阳）如图，在四边形ABCD中，已知ADBC添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）AADBCBABDCCABDCDAC【分析】由平行四边形的判定
17、方法，即可判断【解答】解：A、因为ADBC，ADBC，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；B、因为ADBC，ABDC，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；C、ABDC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；D、因为ADBC得到ADBCBD，又AC，BDDB，因此ABDCDB（AAS），得到ADCB，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；故选：C【点评】本题考查平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法9（3分）（2023
18、岳阳）孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何”设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（）Ax+y=354x+2y=94Bx+y=944x+2y=35Cx+y=352x+4y=94Dx+y=942x+4y=35【分析】根据今有鸡免同笼，上有三十五头，可以得到x+y35，再根据下有九十四足，可以得到2x+4y94，然后即可得到相应的方程组【解答】解：由题意可得，x+y=352x+4y=94，故选：C【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组10（3分）（2023岳阳）某射击运动队进行了五次射击测试，甲
19、、乙两名选手的测试成绩如下表甲、乙两名选手成绩的方差分别记为S甲2和S乙2则S甲2和S乙2的大小关系是（） 测试次数12345甲510938乙86867AS甲2S乙2BS甲2S乙2CS甲2S乙2D无法确定【分析】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可【解答】解：图表数据可知，甲数据在3至10之间波动，偏离平均数数据较大；乙数据在6至8之间波动，偏离平均数数据较小；即甲的波动性较大，即方差大，S甲2S乙2，故选：A【点评】本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数
20、越小，即波动越小，数据越稳定11（3分）（2023岳阳）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60”假设三角形没有一个内角小于或等于60，即三个内角都大于60”，则三角形的三个内角的和大于180这与“三角形的内角和等于180”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60上述推理使用的证明方法是（）A反证法B比较法C综合法D分析法【分析】根据反证法证明命题的方法判断【解答】解：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60”假设三角形没有一个内角小于或等于60，即三个内角都大于60”，则三角形的三个内角的和大于180这与“三角形的内角和等于180
21、”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60，这种证明方法是反证法，故选：A【点评】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确12（3分）（2023岳阳）已知mn0，若关于x的方程x2+2x3m0的解为x1，x2（x1x2），关于x的方程x2+2x3n0的解为x3，x4（x3x4）则下列结论正确的是（）Ax3x1x2x4Bx1x3x4x2Cx1x2x3x4Dx3xxx1x2【分析】画出抛物线yx2+2x3，直线ym，直线yn，根据一元二次方程与二次函数的关系的关系，观察
22、图象可得答案【解答】解：关于x的方程x2+2x3m0的解为抛物线yx2+2x3与直线ym的交点的横坐标，关于x的方程x2+2x3n0的解为抛物线yx2+2x3与直线yn的交点的横坐标，如图：由图可知，x1x3x4x2，故选：B【点评】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）13（3分）（2023岳阳）在平面直角坐标系中，点P（3，2）所在象限是第 三象限【分析】根据第一象限（+，+）；第二象限（，+）；第三象限（，）；第四象限（+，），可得答案【解答】解：点P（3，2）在第三象限，故答案为：三【点评】此题
23、主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号14（3分）（2023岳阳）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 14【分析】根据一个布袋中放着3个红球和9个黑球，可以计算出从布袋中任取1个球，取出红球的概率【解答】解：一个布袋中放着3个红球和9个黑球，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是33+9=14，故答案为：14【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率15（3分）（2023岳阳）已知x5，则代数式3x424x216的值为 13【分析】根据分式的减法法则把原式化简，把x的
24、值代入计算即可【解答】解：原式=3x+12(x+4)(x4)24(x+4)(x4)=3x12(x+4)(x4) =3(x4)(x+4)(x4) =3x+4，当x5时，原式=35+4=13，故答案为：13【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的减法法则是解题的关键16（3分）（2023岳阳）已知关于x的方程x2+mx200的一个根是4，则它的另一个根是 5【分析】设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得4t20，然后解一次方程即可【解答】解：设方程的另一个解为t，根据根与系数的关系得4t20，解得t5，即方程的另一个根为5故答案为：5【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元
25、二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根，则x1+x2=ba，x1x2=ca17（3分）（2023岳阳）如图，在RtABC中，ACB90，AC8，BC6以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 245【分析】设C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，根据切线的性质得ABCD，再由勾股定理求得AB=AC2+BC2=10，则12ABCD=12ACBCSAOB，所以1210CD=1286，则rCD=245，于是得到问题的答案【解答】解：设C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，CD是C的半径，AB与C相切于点D，ABCD，ACB90，AC8，BC6，AB
26、=AC2+BC2=82+62=10，12ABCD=12ACBCSAOB，1210CD=1286，解得CD=245，rCD=245，故答案为：245【点评】此题重点考查切线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键18（3分）（2023岳阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 10【分析】先求出多边形的每一个内角为108，可得到O36，即可求解【解答】解：多边形是正五边形，正五边形的每一个内角为：15180（52）108，O180（180108）236，正五边形的个
27、数是3603610故答案为：10【点评】本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键三、解答题（本大题共8个小题，1920题每题6分，2124题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19（6分）（2023岳阳）计算：|3|+4+（2）1【分析】利用绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则化简运算即可【解答】解：原式3+2+（2）3+223【点评】本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键20（6分）（2023岳阳）解不等式组：x402(x+
28、1)3x【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答【解答】解：x402(x+1)3x，解不等式得：x4，解不等式得：x2，原不等式组的解集为：2x4【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键21（8分）（2023岳阳）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60x70；B：70x80；C：80x90；D：90x100），并给出下面
29、部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级平均数中位数众数优秀率八87a9860%九8786bc根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a84，b100，c80%；（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数【分析】（1）根据中位数、众数的意义，分别求出八年级的中位数，和九年级的众数；（2）利用样本估计总体即可【解答】解：（1）八年级的
30、竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是84，因此中位数是84，即a84；九年级的竞赛成绩出现次数最多的是100，共出现3次，因此众数是100，即b100；九年级的竞赛成绩中80分及以上的共有12人，因此优秀率为1215100%80%，即c80%；故答案为：84，100，80%；（2）5006+615+15=200（人），答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数约200人【点评】本题考查了方差、平均数、中位数、众数的意义和计算方法，掌握各个统计量的计算方法是正确计算的前提22（8分）（2023岳阳）如图，正比例函数y=43x的图象与反比例函数y=12x（x0）
31、的图象相交于点A（1）求点A的坐标（2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D求线段OD的长【分析】（1）将正比例函数与反比例函数的解析式联立，组成方程组，解方程组即可求出点A的坐标；（2）设点D的坐标为（x，0）根据线段垂直平分线的性质得出ADOD，依此列出方程（x3）2+42x2，解方程即可【解答】解：（1）解方程组y=43xy=12x（x0），得x=3y=4，点A的坐标为（3，4）；（2）设点D的坐标为（x，0）由题意可知，BC是OA的垂直平分线，ADOD，（x3）2+42x2，x=256，D（256，0），OD=256【点评】
32、本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了线段垂直平分线的性质23（8分）（2023岳阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30，CD长为49.6米已知目高CE为1.6米（1）求教学楼AB的高度（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以43米/秒的速度继续向
33、前匀速飞行求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB【分析】（1）过点B作BMCD于点M，则DBMBDN30，在RtBDM中，通过解直角三角形可得出BM的长度，再结合ABCMCDDM，即可求出结论；（2）延长EB交DN于点G，则DGEMBE，在RtEMB中，利用锐角三角函数的定义求出MBE30，从而可得DEG60，然后在RtEDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后进行计算即可解答【解答】解：（1）过点B作BMCD于点M，则DBMBDN30，在RtBDM中，BMAC243米，DBM30，DMBMtanDBM24333=24（米），ABCMCDDM49.62425.6（米）答：教学楼A
34、B的高度为25.6米；（2）延长EB交DN于点G，则DGEMBE，在RtEMB中，BMAC243米，EMCMCE24米，tanMBE=EMBM=24243=33，MBE30DGE，EDG90，DEG903060，在RtEDG中，EDCECE48米，DGEDtan60483（米），48343=12（秒），经过12秒时，无人机刚好离开了小明的视线【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键24（8分）（2023岳阳）如图，AB是O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DEAB于点E，交AC于点F，交O于点H，DB交AC于点G（1）求证
35、：AFDF（2）若AF=52，sinABD=55，求O的半径【分析】（1）由D是弧AC的中点，得出AD=CD，再由垂径定理得出AD=AH，根据等弧所对圆周角相等得出ADHCAD，即可证明出结论（2）证明出ADEB，得出tanADE=12，设AEx，根据勾股定理求出x，再求出直径即可【解答】（1）证明：D是弧AC的中点，AD=CD，ABDH，且AB是O的直径，AD=AH，CD=AH，ADHCAD，AFDF（2）解：AB是O的直径，ADB90，DAB+B90，DAE+ADE90，ADEB，sinADE=55，tanADE=12，设AEx，则DE2x，DFAF=52，EF2x52，AE2+EF2AF
36、2，x2，AD=AEsinADE=25，AB=ADsinB，AB10，O的半径为5【点评】本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键25（10分）（2023岳阳）问题探究（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB求证：PDPB；将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处当点P在线段AO上的位置发生变化时，DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；探究AQ与OP的数量关系，并说明理由迁移探究（2）如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且ABC60，其他条件不变试探究AQ与CP的数量关系
37、，并说明理由【分析】（1）根据正方形的性质证明DCPBCP，即可得到结论；作PMAB，PNAD，垂足分别为点M、N，如图，可得PMPN，证明四边形AMPN是矩形，推出MPN90，证明RtDPNRtQPM（HL），得出DPNQPM，进而可得结论；作PEAO交AB于点E，作EFOB于点F，如图，证明AQBE，BE=2EF即可得出结论；（2）先证明PQPB，作PEBC交AB于点E，EGAC交BC于点G，如图，则四边形PEGC是平行四边形，可得EGPC，APE，BEG都是等边三角形，进一步即可证得结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，CDCB，DCABCA45CPCP，DCPBCP，PDPB
38、；解：DPQ的大小不发生变化，DPQ90；理由：作PMAB，PNAD，垂足分别为点M、N，如图，四边形ABCD是正方形，DACBAC45，DAB90，四边形AMPN是矩形，PMPN，MPN90PDPQ，PMPN，RtDPNRtQPM（HL），DPNQPM，QPN+QPM90QPN+DPN90，即DPQ90；解：AQ=2OP；理由：作PEAO交AB于点E，作EFOB于点F，如图，四边形ABCD是正方形，BAC45，AOB90，AEP45，四边形OPEF是矩形，PAEPEA45，EFOP，PAPE，PDPB，PDPQ，PQPB，作PMAE于点M，则QMBM，AMEM，AQBE，EFB90，EBF4
39、5，BE=EFsin45=2EF，AQ=2OP；（2）解：AQCP；理由：四边形ABCD是菱形，ABC60，ABBC，ACBD，DOBO，ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，BAC60，PDPB，PDPQ，PQPB，作PEBC交AB于点E，EGAC交BC于点G，如图，则四边形PEGC是平行四边形，GEBBAC60，AEPABC60，EGPC，APE，BEG都是等边三角形，BEEGPC，作PMAB于点M，则QMMB，AMEM，QABE，AQCP【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌
40、握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键26（12分）（2023岳阳）如图，已知抛物线yax22ax+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线（1）求a的值（2）将直线BC向下平移m（m0）个单位长度，交抛物线于B、C两点在直线BC上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线BC的距离最大若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由（3）抛物线上是否存在点P，使PBC+ACO45，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A（1，0）代入yax22ax+3，即可求得a1；（2）利用待定系数法可得直线B
41、C的解析式为yx+3，由平移可得直线BC的解析式为yx+3m，设D（t，t2+2t+3），过点D作DEy轴，交BC于点E，作DFBC于点F，设直线BC交y轴于点G，则E（t，t+3m），可得DEt2+2t+3（t+3m）t2+3t+m，再证得DEF是等腰直角三角形，可得DF=22DE=22（t2+3t+m）=22（t32）2+22（94+m），运用二次函数的性质即可求得答案；（3）分两种情况：当PBC在BC的下方时，当PBC在BC的上方时，分别求得直线BP的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标【解答】解：（1）抛物线yax22ax+3与x轴交于点A（1，0），a+2a+30，a1（2）存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线BC的距离最大yx2+2x+3，当x0时，y3，C（0，3），当y0时，x2+2x+30，解得：x11，x23，B（3，0），设直线BC的解析式为ykx+b，则3k+b=0b=3，解得：k=1b=3，直线BC的解析式为yx+3，将直线BC向下平移m（m0）个单位长度，交抛物线于B、C两点，直线BC的解析式为yx+3m，设D（t，t2+2t+3），过点D作DEy轴，交BC于点E，作DFBC于点F，设直线BC交y轴于点G，如图，