《2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题18.8 四边形中的最值问题专项训练（30道）（举一反三）（人教版）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题18.8 四边形中的最值问题专项训练（30道）（举一反三）（人教版）含解析.docx（107页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题专题18.8 四边形中的最值问题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！一选择题（共10小题）1（2022春重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB23，BC6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（）A43+3B221C23+6D452（2022灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB4，AC3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A5B7C72
2、D7223（2022春中山市期末）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BEBC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（）A有最大值aB有最小值22aC是定值aD是定值22a4（2022春三门峡期末）如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A2B4C2D225（2022春滨湖区期末）如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PCCQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（）A45B89C10D726（2022泰山区一模）如图
3、，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AMBN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（）A2B1C51D527（2022龙华区二模）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE1，F为射线BC上一动点，过点E作EGAF于点P，交直线AB于点G则下列结论中：AFEG；若BAFPCF，则PCPE；当CPF45时，BF1；PC的最小值为132其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个8（2022南平校级自主招生）如图，在ABC中，AB6，AC8，BC10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PEAB于
4、E，PFAC于F则EF的最小值为（）A4B4.8C5.2D69（2022春崇川区期末）如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BECF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（）A2B3C5D610（2022泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG设DEd1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A2B2C22D4二填空题（共10小题）11（2022春江城区期末）如图，MON90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的
5、形状保持不变，其中AB6，BC2运动过程中点D到点O的最大距离是 12（2022东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB6，AD5，点P在AD上，点Q在BC上，且APCQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 13（2022钱塘区一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG若AB10，AD6，EF4，则AH+CG的最小值为 14（2022春东城区期中）在正方形ABCD中，AB5，点E、F分别为AD、AB上一点，且AEAF，连接BE、CF，则BE+CF的最小值是 15（2022春虎林市期末）如图，在RtABC中，BAC90，
6、且BA12，AC16，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DEAB于点E，DFAC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为 16（2022灞桥区校级三模）在菱形ABCD中，D60，CD4，E为菱形内部一点，且AE2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为 17（2022春靖江市校级期末）如图，线段AB的长为10，点D在AB上，ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为 18（2022春郫都区期末）如图，在矩形
7、ABCD中，AB4，AD8，点E是BC边上一动点，作点B关于AE的对称点F，连接CF，点P为CF中点，则DP的最小值为 19（2022春江都区期中）如图，矩形ABCD中，AB4，AD23，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 20（2022春如东县期中）如图，已知AB22，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，D120P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为 （结果保留根号）三解答题（共10小题）21（2022禹城市二模）（1）如图，已
8、知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BMCN，连AM和BN，交于点P猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论（2）如图，已知正方形ABCD的边长为4点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P求APB周长的最大值22（2022春东坡区校级月考）正方形ABCD中，E、F是AD上的两个点，AEDF，连CF交BD于点M，连AM交BE于点N，连接DN如果正方形的边长为2（1）求证：BEAM；（2）求DN的最小值23（2022黄埔区模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点
9、），且AE+CF4，连接BE、EF、FB（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值24（2022春洪山区期中）如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AEDF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AGBE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 25（2022宁德）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM
10、的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为3+1时，求正方形的边长26（2022南充模拟）如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足CMDN，AC，BM相交于点E，DE与AN相交于点F，连接CF（1）求证：DEAN（2）若正方形ABCD的边长为4，求CF的最小值27（2022春思明区校级期中）已知：在矩形ABCD中，AB8，BC12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上（1）如图1，四边形EFGH为正方形，AE2，求GC的长（2）如图2，四边形EFGH为菱形，设BFx，GFC的面积为S，且S与x满足函数关系S612x在自变量x的取
11、值范围内，是否存在x，使菱形EFGH的面积最大？若存在，求x的值，若不存在，请说明理由28（2022南岗区校级一模）已知菱形ABCD的对角线相交于O，点E、F分别在边AB、BC上，且BEBF，射线EO、FO分别交边CD、AD于G、H（1）求证：四边形EFGH为矩形；（2）若OA4，OB3，求EG的最小值29（2022春戚墅堰区校级月考）如图，已知MON90，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连接OC（1）求OC的最大值；（2）求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在AOB的平分线上；（3）若OP42cm，求OA的长30（2
12、012秋吴中区月考）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）连接MN，BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：AMBENB；（3）当M点在何处时，AM+CM的值最小；如图，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由专题18.8 四边形中的最值问题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！一选择题（共10小题）1（2022春重庆
13、期末）如图，矩形ABCD中，AB23，BC6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（）A43+3B221C23+6D45【分析】将BPC绕点C逆时针旋转60，得到EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求【解答】解：将BPC绕点C逆时针旋转60，得到EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求由旋转的性质可知：PFC是等边三角形，PCPF，PBEF，PA+PB+PCPA+PF+EF，当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，四边形ABCD是矩形，ABC90，AC=AB2+BC2=43，AC2AB，ACB30，AC2AB43，BCE60，ACE90
14、，AE=(43)2+62=221，故选：B2（2022灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB4，AC3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A5B7C72D722【分析】如图将BDA绕点D顺时针旋转90得到CDM由旋转不变性可知：ABCM4，DADMADM90，推出ADM是等腰直角三角形，推出AD=22AM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题；【解答】解：如图将BDA绕点D顺时针旋转90得到CDM由旋转不变性可知：ABCM4，DADMADM90，ADM是等腰直角三角形，AD=22AM，当AM的值最大时，AD的
15、值最大，AMAC+CM，AM7，AM的最大值为7，AD的最大值为722，故选：D3（2022春中山市期末）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BEBC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（）A有最大值aB有最小值22aC是定值aD是定值22a【分析】连接BP，作EFBC于点F，由正方形的性质可知BEF为等腰直角三角形，BEa，可求EF，利用面积法得SBPE+SBPCSBEC，将面积公式代入即可【解答】解：如图，连接BP，作EFBC于点F，则EFB90，正方形的性质可知EBF45，BEF为等腰直角三角形，正方形的边长为a，BEBCa，BFEF
16、=22BE=22a，PMBD，PNBC，SBPE+SBPCSBEC，12BEPM+12BCPN=12BCEF，BEBC，PM+PNEF=22a则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值是定值22a故选：D4（2022春三门峡期末）如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A2B4C2D22【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BPP1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可【解答】解：如图：当点F
17、与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2，P1P2CE且P1P2=12CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP由中位线定理可知：P1PCE且P1P=12CF点P的运动轨迹是线段P1P2，当BPP1P2时，PB取得最小值矩形ABCD中，AB2，AD1，E为AB的中点，CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP11ADECDECP1B45，DEC90DP2P190DP1P245P2P1B90，即BP1P1P2，BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1BC1BP1=2PB的最小值是2故选：C5（2022春滨湖区期末）如图，已知
18、菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PCCQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（）A45B89C10D72【分析】过点A作AMBC于点M，延长AM到点A，使AMAM，根据菱形的性质和勾股定理可得BM3，以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，可得B（0，0），A（3，4），C（5，0），D（8，4），A（3，4），然后证明ABPADQ（SAS），可得APAQAP，连接AD，AP，AP，由AP+PDAD，可得A，P，D三点共线时，PD+AP取最小值，所以PD+AQ的最小值PD+AP的最小值AD，利用勾股定理即可解决问题【解答
19、】解：如图，过点A作AMBC于点M，延长AM到点A，使AMAM，四边形ABCD是菱形，ABBCAD5，ABCADC，菱形ABCD的面积为20，边长为5，AM4，在RtABM中，根据勾股定理得：BM=AB2AM2=3，以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，B（0，0），A（3，4），C（5，0），D（8，4），A（3，4），PCCQ，BCCD，BPDQ，在ABP和ADQ中，AB=ADABC=ADCBP=DQ，ABPADQ（SAS），APAQAP，连接AD，AP，AP，AP+PDAD，A，P，D三点共线时，PD+AP取最小值，PD+AQ的最小值PD+AP的最小值AD=
20、(83)2+(4+4)2=89故选：B6（2022泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AMBN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（）A2B1C51D52【分析】根据正方形的性质可得ADBCCD，ADCBCD，DCEBCE，然后利用“HL”证明RtADM和RtBCN全等，根据全等三角形对应角相等可得12，利用“SAS”证明DCE和BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得23，从而得到13，然后求出AFD90，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=12AD1，利用
21、勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小【解答】解：在正方形ABCD中，ADBCCD，ADCBCD，DCEBCE，在RtADM和RtBCN中，AD=BCAM=BN，RtADMRtBCN（HL），12，在DCE和BCE中，BC=CDDCE=BCECE=CE，DCEBCE（SAS），23，13，ADF+3ADC90，1+ADF90，AFD1809090，取AD的中点O，连接OF、OC，则OFDO=12AD1，在RtODC中，OC=DO2+DC2=12+22=5，根据三角形的三边关系，OF+CFOC，当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值OCO
22、F=51故选：C7（2022龙华区二模）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE1，F为射线BC上一动点，过点E作EGAF于点P，交直线AB于点G则下列结论中：AFEG；若BAFPCF，则PCPE；当CPF45时，BF1；PC的最小值为132其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【分析】连接AE，过E作EHAB于H，则EHBC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AFEG，故正确；根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到PEPC；故正确；连接EF，推出点E、P、F、C四点共圆，根据圆周角定理得到FECFPC45，于是得到BFDE1，同理当F运动到C点右侧时
23、，此时FPC45，且EPCF四点共圆，ECFC3，故此时BFBC+CF4+37因此BF1或7，故错误；取AE 的中点O，连接PO，CO，根据直角三角形的性质得到AOPO=12AE，推出点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，当OC最小时，CP的值最小，根据三角形的三边关系得到PCOCOP，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：连接AE，过E作EHAB于H，则EHBC，ABBC，EHAB，EGAF，BAF+AGPBAF+AFB90，EGHAFB，BEHG90，HEGABF（AAS），AFEG，故正确；ABCD，AGECEG，BAF+AGP90，PCF+PCE90，BAFPCF，AGEPCE，PECPC
24、E，PEPC；故正确；连接EF，EPFFCE90，点E、P、F、C四点共圆，FECFPC45，ECFC，BFDE1，同理当F运动到C点右侧时，此时FPC45，且E、P、C、F四点共圆，ECFC3，故此时BFBC+CF4+37因此BF1或7，故错误；取AE 的中点O，连接PO，CO，AOPO=12AE，APE90，点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，当OC最小时，CP的值最小，PCOCOP，PC的最小值OCOPOC12AE，OC=22+(72)2=652，在RtADE中，AE=42+12=17，PC的最小值为652172，故错误，故选：B8（2022南平校级自主招生）如图，在ABC中，AB6，A
25、C8，BC10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PEAB于E，PFAC于F则EF的最小值为（）A4B4.8C5.2D6【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接PA，则PAEF，所以要使EF，即PA最短，只需PACB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值【解答】解：如图，连接PA在ABC中，AB6，AC8，BC10，BC2AB2+AC2，A90又PEAB于点E，PFAC于点FAEPAFP90，四边形PEAF是矩形APEF当PA最小时，EF也最小，即当APCB时，PA最小，12ABAC=12BCAP，即AP=ABACBC=6810=4.8，线段EF长的最小值为
26、4.8；故选：B9（2022春崇川区期末）如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BECF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（）A2B3C5D6【分析】连接AE，利用ABEBCF转化线段BF得到BF+DEAE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可【解答】解：连接AE，如图1，四边形ABCD是正方形，ABBC，ABEBCF90又BECF，ABEBCF（SAS）AEBF所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E
27、点根据对称性可知AEHE，所以AE+DEDH在RtADH中，AD1，AH2，DH=AH2+AD2=5，BF+DE最小值为5故选：C10（2022泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG设DEd1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A2B2C22D4【分析】连接AE，那么，AECG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案【解答】解：如图，连接AE，四边形DEFG是正方形，EDG90，EFDEDG，四边形ABCD是正方形，ADCD，ADC90，
28、ADECDG，ADECDG（SAS），AECG，d1+d2+d3EF+CF+AE，点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，d1+d2+d3最小值为AC，在RtABC中，AC=2AB22，d1+d2+d3最小AC22，故选：C二填空题（共10小题）11（2022春江城区期末）如图，MON90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB6，BC2运动过程中点D到点O的最大距离是 3+13【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
29、半可得OE=12AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，AB6，点E是AB的中点，AOB90，AEBE3OE，四边形ABCD是矩形，ADBC2，DAB90，DE=AE2+AD2=13，ODOE+DE，当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大点D到点O的最大距离OE+DE3+13，故答案为：3+1312（2022东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB6，AD5，点P在AD上，点Q在BC上，且APCQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 13【分析】连接BP，在BA的延长线上截取A
30、EAB6，连接PE，CE，PC+QDPC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AEAB6，则PC+QDPC+PBPC+PECE，根据勾股定理可得结果【解答】解：如图，连接BP，四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，APCQ，ADAPBCCQ，DPQB，DPBQ，四边形DPBQ是平行四边形，PBDQ，PBDQ，PC+QDPC+PB，PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，如图，在BA的延长线上截取AEAB6，连接PE，CE，PABE，PA是BE的垂直平分线，PBPE，PC+PBPC+PE，PC+QDPC+PBPC+PECE，BE2AB12，BCAD5，
31、CE=BE2+BC2=13PC+PB的最小值为13PC+DQ的最小值为13故答案为：1313（2022钱塘区一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG若AB10，AD6，EF4，则AH+CG的最小值为 62【分析】方法一：延长DA至A，使AAEHEF4，连接AE，EG，可得四边形AAEH是平行四边形，所以AEAH，则AH+CG的最小值即为AE+CG的最小值，根据勾股定理即可解决问题方法二：过点G作GAAH交AF于点A，可得四边形AHGA是平行四边形，进而可以解决问题【解答】解：方法一：如图，延长DA至A，使AAEHEF4，连接
32、AE，EG，HEAB，AAAB，AAEH，AAEH，四边形AAEH是平行四边形，AEAH，则AH+CG的最小值即为AE+CG的最小值，四边形EFGH是正方形，EFFG4，EG42，ADAD+AA6+410，在RtADC中，DCAB10，AC=AD2+DC2=102，AE+CGACEG62则AH+CG的最小值为62方法二：如图，过点G作GAAH交AF于点A，四边形AHGA是平行四边形，AAHG4，AGAH，ABABAA6，BC6，AC62，AH+CGAG+CGAC，则AH+CG的最小值为62故答案为：6214（2022春东城区期中）在正方形ABCD中，AB5，点E、F分别为AD、AB上一点，且A
33、EAF，连接BE、CF，则BE+CF的最小值是 55【分析】连接DF，根据正方形的性质证明ADFABE（SAS），可得DFBE，作点D关于AB的对称点D，连接CD交AB于点F，连接DF，则DFDF，可得BE+CFDF+CFDF+CFCD，所以当点F与点F重合时，DF+CF最小，最小值为CD的长，然后根据勾股定理即可解决问题【解答】解：如图，连接DF，四边形ABCD是正方形，ADAB，BAEDAF90，在ADF和ABE中，AD=ABFAD=EABAF=AE，ADFABE（SAS），DFBE，作点D关于AB的对称点D，连接CD交AB于点F，连接DF，则DFDF，BE+CFDF+CFDF+CFCD，
34、当点F与点F重合时，DF+CF最小，最小值为CD的长，在RtCDD中，根据勾股定理得：CD=CD2+DD2=52+102=55，BE+CF的最小值是55故答案为：5515（2022春虎林市期末）如图，在RtABC中，BAC90，且BA12，AC16，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DEAB于点E，DFAC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为 245【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EFAD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题【解答】解：连接AD、EF，BAC90，且BA9，AC12，BC=AB2+AC2=122+162=20，D
35、EAB，DFAC，DEADFABAC90，四边形DEAF是矩形，EFAD，当ADBC时，AD的值最小，此时，ABC的面积=12ABAC=12BCAD，121620AD，AD=485EF的最小值为485，点G为四边形DEAF对角线交点，GF=12EF=245；故答案为：24516（2022灞桥区校级三模）在菱形ABCD中，D60，CD4，E为菱形内部一点，且AE2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为 12+7【分析】先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将OF和GH的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当AGAH+HG时最大【解答】解
36、：如图所示：连接BD交AC于点O，连接FO，取OB的中点H，连接HG和AH，在菱形ABCD中，O为AC中点，F为CE中点，OF=12AE1，当C、F、E、A共线时，OF也为1，G为BF中点、H为OB中点，GH=12OF=12，在菱形ABCD中且D60，ABO=12ABC=12ADC30，BOA90，OA=12AB2，OB=4222=23，OH=3，AH=22+(3)2=7，AGAH+HG，AG12+7，AG的最大值为12+7故答案为：12+717（2022春靖江市校级期末）如图，线段AB的长为10，点D在AB上，ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与
37、D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为 5【分析】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OCOD，再证明ACOADO，则OAB30；点O一定在CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OBAO时，OB的长最小，根据直角三角形30角所对的直角边是斜边的一半得出结论【解答】解：连接AO，四边形CDGH是矩形，CGDH，OC=12CG，OD=12DH，OCOD，ACD是等边三角形，ACAD，CAD60，在ACO和ADO中，AC=ADAO=AOCO=DO，ACOADO（SSS），OABCAO30，点O一定在CAB的平分线上运动，当OBAO时，OB的长
38、度最小，OAB30，AOB90，OB=12AB=12105，即OB的最小值为5故答案为：518（2022春郫都区期末）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD8，点E是BC边上一动点，作点B关于AE的对称点F，连接CF，点P为CF中点，则DP的最小值为 252【分析】根据勾股定理和三角形中位线，可以得到OP的长和OD的长，然后再根据图形可知当点P在线段OD上时，DP取得最小值，然后计算即可【解答】解：连接AC、BD交于点O，连接AF，OP，四边形ABCD是矩形，BAD90，AB4，AD8，点O为AC的中点，BD=AB2+AD2=45，又点P是CF的中点，OP是CAF的中位线，点B关于AE的对称点F
39、，AB4，AF4，OP2，BD45，OD25，OP+DPOD，OP2，OD25，当点P在OD上时，DP取得最小值，此时DPODOP252，故答案为：25219（2022春江都区期中）如图，矩形ABCD中，AB4，AD23，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 23【分析】取DE中点P，取DC中点P，根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BPP1P2时，PB取得最小值，由勾股定理求解即可【解答】解：如图：取DE中点P，P为DF中点，PPEC，取DC中点P，P为DF中点，PPEC，P，P，P三点在同一条直线上，点P的运动轨迹是
40、线段PP，当BPPP时，PB取得最小值过点B作BGEC于点G，过P作PMEC于点M，PB的最小值BG+PM，矩形ABCD中，AB4，E为AB的中点，AEBE2，BCAD23，DECE=22+(23)2=4，ABCD4，EDC是等边三角形，PCM60，CP2，CM1，PM=3，EDEC，AEBE，ADBC，CBEADE（SSS），DEACEB，DEC60BEG60BE2，BPPM+BG23，PB的最小值是23故答案是：2320（2022春如东县期中）如图，已知AB22，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，D120P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为62（结果保留根号）【分析】连接QC、PC首先证明PCQ90，设AC2a，则BC222a，PCa，CQ=3（2a）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题【解答】解：连接PC、CQ四边形ACED，四边形CBGF是菱形，D120，ACE120，FCB60，P，Q分别是对角线AE，BF的中点，ECP=12ACE，FCQ=12B