《2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】（举一反三）（人教版）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】（举一反三）（人教版）含解析.docx（61页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】【人教版】 【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】1【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】2【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】2【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】3【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】4【题型6 根的判别式与新定义的综合】4【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】5【题型8 根的判别式与三角形的综合】5【知识点 一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：=b2-4ac当=b2-4ac0时，原方程有两个不等的实数根；
2、当=b2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；当=b2-4ac0时，原方程有两个不等的实数根；当=b2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；当=b2-4ac0时，原方程没有实数根.【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】【例1】（2022滨州）一元二次方程2x25x+60的根的情况为（）A无实数根B有两个不等的实数根C有两个相等的实数根D不能判定【分析】求出判别式b24ac，判断其的符号就即可得出结论【解答】解：（5）24262548230，2x25x+60无实数根，故选：A【变式1-1】（2022梧州）一元二次方程x23x+10的根的情况（）A有两个相等的实数根B有两个
3、不相等的实数根C没有实数根D无法确定【分析】先计算根的判别式的值得到0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断【解答】解：（3）241150，方程有两个不相等的实数根故选：B【变式1-2】（2022春长沙期末）关于x的一元二次方程x2-42x+9=0的根的情况，下列说法正确的是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D不能确定【分析】求出方程根的判别式，判断其值的正负即可得到结果【解答】解：方程x242x+90，（42）2419323640，方程没有实数根故选：C【变式1-3】（2022保定一模）方程（x+3）（x1）x4的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实
4、数根C只有一个实数根D没有实数根【分析】先把方程化为一般式，再应用根的判别式进行计算即可得出答案【解答】解：（x+3）（x1）x4，x2+x+10，a1，b1，c1，b24ac1241130，所以原方程无实数根故选：D【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】【例2】（2022春钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+20，则下列说法正确的是（）A不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解B至少存在一个k的值，使得方程没有实数解C无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根D无论k为何值，方程有两个不相等的实数根【分析】先计算的值，利用k的值，可作判断【解答】解：关于x的方程
5、x2+（k+3）x+k+20，（k+3）241（k+2）k2+2k+1（k+1）20，A、当k1时，0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；B、因为0，所以不存在k的值，使得使得方程没有实数解故此选项错误；C、解方程得：x11，x2k2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根1，故此选项正确；D、当k1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；故选：C【变式2-1】（2022南召县模拟）已知关于x的方程（x1）（x+2）p，则下列分析正确的是（）A当p0时，方程有两个相等的实数根B当p0时，方程有两个不相等的实数根C当p0时，方程没有实数根D方程的根的情况与p的值无关【分析】先
6、将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正确与否即可【解答】解：方程（x1）（x+2）p可整理为x2+x2p0，1241（2p）1+8+4p4p+9当p0时，4p+990，方程有两个不相等的实数根，故选项A不符合题意；当p0时，4p+90，方程有两个不相等的实数根，故选项B符合题意；当p0时，的正负无法确定，无法判断该方程实数根的情况，故选项C不符合题意；方程的根的情况和p的值有关，故选项D不符合题意故选B【变式2-2】（2022环翠区一模）对于任意的实数k，关于x的方程14x2-(k+2)x+2k2+5k+5=0的根的情况为（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实
7、数根C没有实数根D无法判定【分析】先计算根的判别式的值得到（k+12）2-340，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：（k+2）2414（2k2+5k+5）（k+12）2-340，方程无实数根故选：C【变式2-3】（2022春平潭县期末）对于任意实数k，关于x的方程x22（k+5）x+2k2+4k+500的根的情况为（）A有两个相等的实数根B无实数根C有两个不相等的实数根D无法判定【分析】先计算根的判别式的值得到4（k3）2640，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：4（k+5）24（2k2+4k+50）4（k3）2640，方程无实数根故选：B【题型3 由根的判
8、别式判断方程根的情况（综合类）】【例3】（2022桥西区校级模拟）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx10总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：ab10；丙：a+b10其中符合条件的是（）A甲，乙，丙都正确B只有甲不正确C甲，乙，丙都不正确D只有乙正确【分析】根据根的判别式的定义得到b2+4a，根据特例可根的判别式的意义可对甲的条件进行判断；若ab+1，则（b+2）20，则根据根的判别式的意义可对乙的条件进行判断；若ab+1，（b2）20，则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行判断【解答】解：b2+4a，若a、b同号，a1，b1，此时1430，方程没有实数解，所以甲的条件
9、不满足方程总有实数根；若ab10，即ab+1，b2+4（b+1）（b+2）20，方程总有实数根，所以乙的条件满足方程总有实数根；若a+b10，即ab+1，b2+4（b+1）（b2）20，方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根；故选：B【变式3-1】（2022肥西县模拟）已知三个实数a，b，c满足a+bc0，3a+bc0，则关于x的方程ax2cx+b0的根的情况是（）A无实数根B有且只有一个实数根C两个实数根D无数个实数根【分析】根据条件得到a+bc，a0，关于x的方程ax2cx+b0是一元二次方程，根据判别式求根的情况即可【解答】解：a+bc0，3a+bc0，a+bc，3a+b（a+b
10、）0，3a+bab0，2a0，a0，关于x的方程ax2cx+b0是一元二次方程，（c）24abc24ab（a+b）24ab（ab）20，方程有两个实数根，故选：C【变式3-2】（2022春德阳月考）函数ykxb的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k10的根的情况是（）A没有实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D无法确定【分析】利用一次函数的性质得k0，再计算判别式的值得到b24k+4，然后判断的符合，从而得到方程根的情况【解答】解：由图象可得k0，b24（k1）b24k+4，b20，b2+40，4k0，0，方程有两个不相等的实数根，故选：C【变式3-3】（2022咸安
11、区模拟）已知不等式组x-a012x-31有3个整数解，则关于x的方程ax2+（2a1）x+a0根的情况为（）A无法判断B有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根D无实数根【分析】先解不等式组得到ax8，再利用不等式组有3个整数解得到4a8，对于一元二次方程ax2+（2a1）x+a0，计算根的判别式的值得到4a+1，利用a的范围可判断0，然后根据根的判别式的意义可判断方程根的情况【解答】解：x-a012x-31，解得xa，解得x8，不等式组有解，ax8，不等式组有3个整数解，4a8，a0，方程ax2+（2a1）x+a0为一元二次方程，（2a1）24a24a+1，而48，0，方程没有实数根故选：D
12、【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】【例4】（2022春长丰县期末）关于x的一元二次方程（m1）x2+2x10有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）Am1Bm0Cm1且m0Dm0且m1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m10且224（m1）20，然后求出两不等式解集的公共部分即可【解答】解：根据题意得m10且224（m1）（1）0，解得m0且m1故选：D【变式4-1】（2022西平县模拟）若关于x的一元二次方程x2（2k1）x+k220有实数根，则k的取值范围是（）Ak94Bk94Ck94Dk94【分析】根据根的判别式的意义得到（2k1）24（k22）0，然后解不等式
13、即可【解答】解：根据题意得（2k1）24（k22）0，解得k94故选：A【变式4-2】（2022滑县模拟）若关于x的一元二次方程2kx23k+1x+10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak9Bk9且k0Ck1且k0Dk1且k0【分析】利用一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到2k0k+10=(3k+1)2-42k0，然后解不等式组即可【解答】解：根据题意得2k0k+10=(3k+1)2-42k0，解得k1且k0，即k的取值范围为k1且k0故选：C【变式4-3】（2022定海区一模）直线yxa不经过第二象限，且关于x的方程ax22x+10有实数解，则a的取值范围
14、是（）A0a1Boa1C0a1D0a1【分析】利用一次函数的性质得到a0，再判断（2）24a0，从而得到a的取值范围【解答】解：直线yxa不经过第二象限，a0，a0，当a0时，关于x的方程ax22x+10是一元一次方程，解为x=12，当a0时，关于x的方程ax22x+10是一元二次方程，（2）24a0，a10a1，故选：A【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】【例5】（2022合肥模拟）若关于x的一元二次方程x（x2）2mx有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A1B0C1或0D4或1【分析】先把方程化为一般式为x22（m+1）x0，根据根的判别式的意义得到4（m+1）2400，然后解关于m
15、的方程即可【解答】解：方程化为一般式为x22（m+1）x0，根据题意得4（m+1）2400，解得m1故选：A【变式5-1】（2022高新区校级二模）已知一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，则a，b的值可能是（）Aa1，b4Ba0，b0Ca1，b2Da1，b4【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得b4a0，一元二次方程二次项系数不为0，可得a0，二次根式有意义可得b0，即可进行判断【解答】解：根据题意，得b4a0，a0，b0，b40，故A选项不符合题意；a0，故B选项不符合题意；当a1时，b4a0，解得b4，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D【变式5-2】（2
16、022江夏区模拟）已知关于x的一元二次方程（3a1）x2ax+14=0有两个相等的实数根，则代数式a22a+1+1a的值（）A.3B.3C2D2【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到3a10且a24（3a1）14=0，则a23a+10，再将a23a1代入代数式得到a+1a，通分后得到a2+1a，再代入a2+13a计算即可【解答】解：根据题意得3a10且a24（3a1）14=0，即a23a+10，a23a1，所以原式3a12a+1+1a=a+1a=a2+1a=3aa=3故选：B【变式5-3】（2022春余杭区月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）有两个相等的实数根，且
17、满足4a2b+c0，则（）AbaBc2aCa（x+2）20Da（x2）20【分析】由一元二次方程ax2+bx+c0（a0）满足4a2b+c0可得出x2是方程ax2+bx+c0的解，进而可得出a（x+2）20（a0），此题得解【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）满足4a2b+c0，x2是方程ax2+bx+c0的解，又有两个相等的实数根，a（x+2）20（a0）故选：C【题型6 根的判别式与新定义的综合】【例6】（2022烟台一模）定义新运算ab，对于任意实数a，b满足ab（a+b）（ab）2例如32（3+2）（32）2521，若x（2x1）3是关于x的方程，则它的根的情况是（）A有
18、一个实根B没有实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根【分析】先根据新运算得到x+（2x1）x（2x1）23，再把方程化为一般式得到3x24x0，接着计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：x（2x1）3，x+（2x1）x（2x1）23，整理得3x24x0，（4）2430160，方程有两个不相等的实数根故选：D【变式6-1】（2022青县二模）定义运算：mnmn22mn1，例如：4242224211若关于x的方程ax0有实数根，则a的取值范围为（）A1a0B1a0Ca0或a1Da0或a1【分析】根据新定义运算法则列出关于x的方程，根据根的判别式进行判断即
19、可【解答】解：由题意可知：axax22ax10，当a0时，原来方程变形为10，方程无解；当a0时，关于x的方程ax0有实数根，4a2+4a4a（a+1）0，解得a1或a0故选：D【变式6-2】（2022宁远县模拟）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q有m，pq，nmn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：2，34，525+3422，若关于x的方程（x2+1，x52k，k0有两个实数根，则k的取值范围是（）Ak54且k0Bk54Ck54且k0Dk54【分析】先根据新定义得到k（x2+1）+（52k）x0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k0且（52k）2
20、4k20，然后解不等式即可【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（52k）x0，整理得kx2+（52k）x+k0，因为方程有两个实数解，所以k0且（52k）24k20，解得k54且k0故选：A【变式6-3】（2022郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*ba2+b22ab2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*652+6225621若方程x*kxk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（）A只有一个实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D没有实数根【分析】利用新运算把方程x*kxk（k为实数）化为x2+k22xk2xk，整理得到x23kx
21、+k220，再计算判别式的值得到0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：x*kx2+k22xk2，关于x的方程x*kxk（k为实数）化为x2+k22xk2xk，整理为x23kx+k220，（3k）24（k22）5k2+80，方程有两个不相等的实数根故选：C【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】【例7】（2021秋瓦房店市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m10，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出4（m1）2+40，即可证得结论【解答】证明：b24ac（2m）242（m1）4m28m+84（m1）2+4，
22、4（m1）20，4（m1）2+40，0，这个方程总有两个不相等的实数根【变式7-1】（2021秋惠来县月考）已知一元二次方程x2+px+q+10的一个根为2（1）求q关于p的关系式；（2）求证：方程x2+px+q0有两个不等的实数根【分析】（1）把x2代入方程x2+px+q+10可得到p、q的关系式；（2）先计算根的判别式得到p24q，再消去q得到p2+8p+20，然后利用配方法证明0，从而得到结论【解答】（1）解：把x2代入原式得4+2p+q+10，所以q2p5；（2）证明：p24qp24（2p5）p2+8p+20p2+8p+16+4（p+4）2+4，而（p+4）20，0，方程有两个不相等的
23、实数根【变式7-2】（2021秋方城县期末）已知关于x的一元二次方程（x1）（x4）p2，其中p为实数（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）试写出三个p的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值得到4p2+9，则可判断0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式得到x=54p2+92，由于一元二次方程有整数解，则4p2+9可以为3或5或7等，然后分别计算出对应的p的值即可【解答】（1）证明：原方程整理为：x25x+4p20，（5）24（4p2）4p2+90，方程有两个不相等的实数根；（2）解：x=-bb2-4ac2a=5
24、4p2+92，一元二次方程有整数解，4p2+9可以为3或5或7等，当4p2+9=3时，p0；当4p2+9=5时，p2；当4p2+9=7时，p=10【变式7-3】（2022东城区校级模拟）已知关于x的方程mx2+nx20（m0）（1）求证：当nm2时，方程总有两个实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案【解答】（1）证明：（m2）24m（2）m2+4m+4（m+2）20，方程总有两个实数根；（2）由题意可知，m0n24m（2）n2+8m0，即：n28m以
25、下答案不唯一，如：当n4，m2时，方程为x22x+10解得x1x21【题型8 根的判别式与三角形的综合】【例8】（2022莲池区二模）若等腰三角形三边的长分别是a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x24x+m0的两个根，则满足上述条件的m的值有（）A1个B2个C3个D3个以上【分析】分ab及ab两种情况考虑，当ab时，由方程有两个相等的实数根，可得出0，解之即可得出m的值；当ab时，可得出x3是关于x的一元二次方程x24x+m0的一个实数根，代入x3即可求出m的值，综上，即可得出结论【解答】解：当ab时，关于x的一元二次方程x24x+m0有两个相等的实数根，（4）241m0，m4；当ab
26、时，x3是关于x的一元二次方程x24x+m0的一个实数根，3243+m0，m3综上，m的值为4或3，即满足上述条件的m的值有2个故选：B【变式8-1】（2022春温州期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6a0有两个相等的实数根，则ABC的周长是 【分析】根据根的判别式的意义得到（a+2）24（6a）0，进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长【解答】解：根据题意得（a+2）24（6a）0，解得a110（负值舍去），a22，在等腰ABC中，4为底时，则ba2，2+24，不能组成三角形；4为腰时，b4，2+44，能组成
27、三角形，ABC的周长4+4+210综上可知，ABC的周长是10故答案为：10【变式8-2】（2022春宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x22mx+m210（1）判断方程的根的情况；（2）若ABC为等腰三角形，AB5cm，另外两条边长是该方程的根，求ABC的周长【分析】（1）先计算根的判别式的值得到40，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）先利用求根公式解方程得到x1m+1，x2m1，根据等腰三角形的性质讨论：当m+15时，解得m4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3；当m15时，解得m6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，然后分别计算对应的三角形的周长【解答】解：（1）（2m
28、）24（m21）40，方程有两个不相等的实数根；（2）x=2m22=m1，x1m+1，x2m1，当m+15时，解得m4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，ABC的周长为5+5+313；当m15时，解得m6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，ABC的周长为5+5+717；综上所述，ABC的周长为13或17【变式8-3】（2021秋揭西县期末）等腰三角形的三边长分别为a、b、c，若a6，b与c是方程x2（3m+1）x+2m2+2m0的两根，求此三角形的周长【分析】分a为腰及a为底两种情况考虑：若a6是三角形的腰，将x6代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程，解之即可得出b，c的值，结合三角形的周长计算公式，即可求出此三角形的周长；若a6是三角形的底边，利用根的判别式0，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出m的值，将m的值代入原方程，解之即可得出b，c的值，利用三角形的三边关系可得出此情况不符合题意，需舍去综上即可得出此三角形的周长【解答】解：若a6是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6将x6代入原方程得：62（3m+1）6+2m2+2m0，解得：m13，m25当m3时，原方程可化为x210x+240，解得：x14，x26，此时三角形三边长分别为4，6，6，三角形的周长为4+6+616；当m5时，原方程可化为