《2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题13.4 等腰三角形【八大题型】（举一反三）（人教版）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题13.4 等腰三角形【八大题型】（举一反三）（人教版）含解析.docx（123页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题13.4 等腰三角形【八大题型】【人教版】【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】1【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】2【题型3 等腰三角形中的多结论问题】3【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】4【题型5 等腰三角形的证明】5【题型6 等腰三角形中的新定义问题】6【题型7 等腰三角形中的规律问题】7【题型8 等腰三角形中的动点问题】9【知识点1 等腰三角形】（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相
2、重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】【例1】（2022南关区校级开学）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A15或75B30C150D150或30【变式1-1】（2022秋南昌期末）如图，在ABC中，ABAC，ABMCBN，MNBN，则MBC的度数为（）A45B50C55D60【变式1-2】（2022春柯桥区期末）在ABC中，已知D为直线BC上一点，若ABC，BAD，且ABACCD，
3、则与之间不可能存在的关系式是（）A90-32B180-32C=32-90D120-32【变式1-3】（2022春抚州期末）已知ABC30，点P是射线BC上一动点，把ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当ABP是等腰三角形时，ABD的度数为 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】【例2】（2022春源城区期末）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（）A6cmB10cmC6cm或10cmD11cm【变式2-1】（2022秋蚌埠期末）已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（）A6和8B7和7C6和8或7
4、和7D3和11【变式2-2】（2022春温江区期末）如图，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，连接BF，已知A48，AB+BC15cm，求BCF的周长和BFE度数【变式2-3】（2022秋仓山区校级期中）如图，在ABC中，ABAC，点E在CA延长线上，EPBC于点P，交AB于点F，若AF2，EC7，求BF的长度【题型3 等腰三角形中的多结论问题】【例3】（2022秋定陶区期末）如图，ABC中，ABAC，B40，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作ADE40，DE交线段AC于E，以下四个结论：CDEBAD；当D为BC中点时，DEAC；当AD
5、E为等腰三角形时，BAD20；当BAD30时，BDCE其中正确的结论的个数是（）A1B2C3D4【变式3-1】（2022秋密山市期末）如图，ABC中，ABC与ACB的平分线交于点F，过点F作DEBC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：BDF和CEF都是等腰三角形；DEBD+CE；ADE的周长等于AB与AC的和；BFCF其中正确的有（）ABCD【变式3-2】（2022秋覃塘区期末）如图，在ABC中，ABAC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，EAC、ABC、ACF的平分线相交于点D对于以下结论：ADBC；ADAC；ADCACB；ADB与ADC互余其中正确结论的个数为（）A4B3C2D1【
6、变式3-3】（2022秋北安市校级期末）已知如图等腰ABC，ABAC，BAC120，ADBC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OPOC，下面的结论：APO+DCO30；APODCO；OPC是等边三角形；ABAO+AP其中正确的是（）ABCD【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】【例4】（2022秋顺义区期末）如图，ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得PAC，PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（）A1B3C5D7【变式4-1】（2022秋钟楼区期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，A、B、C、D、Q均为格点，点P是线段A
7、D上的一个动点，在点P运动过程中存在个位置使得BPQ是腰长为5的等腰三角形【变式4-2】（2022秋克东县期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（）A1个B2个C3个D4个【变式4-3】（2022秋鼓楼区校级期中）如图所示，在正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是个【题型5 等腰三角形的证明】【例5】（2022秋镇赉县期末）如图，在ABC中，AD平分BAC，E是BC上一点，BECD，EFAD交AB
8、于F点，交CA的延长线于P，CHAB交AD的延长线于点H求证：APF是等腰三角形；猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想【变式5-1】（2022秋鄂州期末）如图，E在ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DFEF，BDCE，求证：ABC是等腰三角形【变式5-2】（2022春乳山市期末）如图，在ABC中，A60BE，CF交于点P，且分别平分ABC，ACB（1）求BPC的度数；（2）连接EF，求证：EFP是等腰三角形【变式5-3】（2022秋海沧区期末）定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角
9、形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段例如：如图1，在ABC中，ADBC于D，且BDAD，ACD是直角三角形，ABD是等腰三角形，ABC是等直三角形，AD是ABC的一条等直分割线段（1）如图2，已知RtABC中，C90，DE是AB的垂直平分线，请说明AD是ABC的一条等直分割线段；（2）若ABC是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，B和C均小于45，求证：ABC是等腰三角形【题型6 等腰三角形中的新定义问题】【例6】（2022春高新区期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数12，我们称这样的三角形为“半角三角形”若等腰ABC为“半角三角形”，则ABC的顶角度数
10、为 【变式6-1】（2022秋亳州期末）定义：过ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将ABC恰好分成两个等腰三角形，则称ABC为“奇妙三角形”如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是（）ABCD【变式6-2】（2022秋苏州期末）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k（k1）称为这个等腰三角形的“优美比”若在等腰三角形ABC中，A36，则它的优美比k为（）A32B2C52D3【变式6-3】（2022秋海安市校级月考）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，ABC中，A36，B为钝角，则使得ABC是特异三角形所
11、有可能的B的度数为 【题型7 等腰三角形中的规律问题】【例7】（2022秋咸丰县期末）等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（6，0），B在原点，CACB5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置，第二次翻转到位置，依此规律，第23次翻转后点C的横坐标是【变式7-1】（2022秋克东县期末）在如图所示的钢架MAN中，需要焊上等长的钢条来加固钢架若自左至右摆放，只能摆放7根，且AP1P1P2P2P3P7P8为了进一步加固该钢架，自点P8开始自右向左再焊上等长的钢条，如图，且P8P9P9P10P13P14AP14，则A的度数是（）A不存在的B10C12D
12、15【变式7-2】（2022长春模拟）如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CACB若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：A1C1A2160，A2C2A380，A3C3A440，A4C4A520，根据上述规律请你写出An+1AnCn（用含n的代数式表示）【变式7-3】（2022秋定西期末）如图，已知AOB，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1OB1，连接A1B1，在A1B1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2B1A2，连接A2B2，按此规律下去，记A2B1B21，A3B2B32，An+1BnBn+1n，则n(2n-1)180+2n（用含
13、的式子表示）【题型8 等腰三角形中的动点问题】【例8】（2022秋涪城区校级期末）如图，在等边ABC中，AB12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AMAN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由【变式8-1】（2022春花都区期末）“长度”和“角度”是几何学研究的核心问题相交线与平行线的学习，让我们对“角度转化”有了
14、深刻的体会某数学兴趣小组受此启发，试图沟通“角度”与“长度”间的关系在研究过程中他们发现了一条关于三角形的重要结论“等角对等边”，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等如右图，在EBD中，若BD，则EDEB以此为基础，该兴趣小组邀请你加入研究，继续解决如下新问题：在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），已知（a+3）2+b-3=0，点C为x轴上方的一点（1）如图1，若ABC的角平分线交AC于点D，已知点D（2，2），BC上有一点E（1，2）则DE与x轴的位置关系为 ；求BE的长度；（2）如图2，AH、BH分别平分CAB、CBA，过H点作AB的平行线，分别交AC、BC
15、于点F、G若F（m，n），G（m+4，n），求四边形ABGF的周长；（3）当点C为x轴上方的一动点（不在y轴上）时，连接CA、CB若CAB邻补角的角平分线和CBA的角平分线交于点P，过点P作AB的平行线，分别交直线AC、直线BC于点M、N随着点C移动，图形状及点P、M、N的位置也跟着变化，但线段MN、AM和BN之间却总是存在着确定的数量关系，请直接写出这三条线段之间的数量关系 【变式8-2】（2022秋定西期末）如图，在ABC中，B90，AB16cm，BC12cm，AC20cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，
16、且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，PQB是等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？【变式8-3】（2022青羊区一模）如图，ABC中ABAC，BC6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D（1）如图，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由专题13.4 等腰三角形【八大题型
17、】【人教版】【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】1【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】5【题型3 等腰三角形中的多结论问题】8【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】15【题型5 等腰三角形的证明】18【题型6 等腰三角形中的新定义问题】24【题型7 等腰三角形中的规律问题】27【题型8 等腰三角形中的动点问题】29【知识点1 等腰三角形】（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45.（
18、3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】【例1】（2022南关区校级开学）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A15或75B30C150D150或30【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况【解答】解：当为锐角三角形时可以画图，高与左边腰成60夹角，由三角形内角和为180可得，顶角为180906030，当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到
19、三角形外面，因为三角形内角和为180，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30，三角形的顶角为18030150故选：D【变式1-1】（2022秋南昌期末）如图，在ABC中，ABAC，ABMCBN，MNBN，则MBC的度数为（）A45B50C55D60【分析】设ABMCBNx，MBNy，可得ABC2x+y，根据MNBN，有BMNMBNy，故ABMNABMyx，又ABAC，得CABC2x+y，根据A+ABC+C180，得（yx）+（2x+y）+（2x+y）180，即得x+y60，故MBC60【解答】解：设ABMCBNx，MBNy，ABC2x+y，MNBN，BMNMBNy，ABMNABMyx，ABA
20、C，CABC2x+y，A+ABC+C180，（yx）+（2x+y）+（2x+y）180，3x+3y180，x+y60，CBN+MBN60，即MBC60，故选：D【变式1-2】（2022春柯桥区期末）在ABC中，已知D为直线BC上一点，若ABC，BAD，且ABACCD，则与之间不可能存在的关系式是（）A90-32B180-32C=32-90D120-32【分析】分点D在线段BC上，在BC延长线上，在CB延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求与的等量关系式【解答】解：当点D在线段BC上，ABC，CAAB，CABC，CDCA，ADCCAD=180-C2=90-12，AD
21、CB+BAD，90-12+，即90-32；当点D在线段BC的延长线上，同理可得：180-32；当点D在线段CB的延长线上，同理可得：=3290故选：D【变式1-3】（2022春抚州期末）已知ABC30，点P是射线BC上一动点，把ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当ABP是等腰三角形时，ABD的度数为 60或30或15【分析】如图1，当PAPB时，如图2，当ABAP时，如图3，当BABP时，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，以及等腰三角形的性质分类进行讨论即可求解【解答】解：如图1，当PAPB时，ABC30，BAP30，把ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，ABAD，DAPBAP30，B
22、AD30+3060，ABD60；如图2，当ABAP时，ABC30，APB30，把ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，PBPD，DPABPA30，BPD30+3060，PBD60，ABD603030；如图3，当BABP时，ABC30，BAP（18030）275，把ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，ABAD，PABPAD75，BAD75+75150，ABD（180150）215综上所述，当ABP是等腰三角形时，ABD的度数为60或30或15故答案为：60或30或15【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】【例2】（2022春源城区期末）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9
23、cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（）A6cmB10cmC6cm或10cmD11cm【分析】已知给出的9cm和15cm两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为xcm，分两种情况讨论：x+12x9或x+12x15【解答】解：设三角形的腰为xcm，如图：ABC是等腰三角形，ABAC，BD是AC边上的中线，则有AB+AD9cm或AB+AD15cm，分下面两种情况：（1）x+12x9，解得x6，三角形的周长为9+1524（cm），三边长分别为6cm，6cm，12cm，6+612，不符合三角形的三边关系，舍去；（2）x+12x15，解得x10，三角形的周长为24cm，三边
24、长分别为10cm，10cm，4cm综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm故选：B【变式2-1】（2022秋蚌埠期末）已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（）A6和8B7和7C6和8或7和7D3和11【分析】由于长为6的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论【解答】解：当腰为6时，另一腰也为6，则底为20268，6+6128，三边能构成三角形当底为6时，腰为（206）27，7+76，三边能构成三角形故选：C【变式2-2】（2022春温江区期末）如图，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，连接BF，已知A48，AB+BC15
25、cm，求BCF的周长和BFE度数【分析】由在ABC中，ABAC，A48，根据等腰三角形的性质，可求得ABCACB66，又由AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，可求得ABF的度数，继而求得BFE的度数，易得BCF的周长BC+ACBC+AB【解答】解：在ABC中，ABAC，A48，ABCACB66，DE是AB的垂直平分线，AFBF，BDE90，ABFA48，BFD90ABF42，BFE138；AB+BC15cm，BCF的周长为：BC+CF+BFBC+CF+AFBC+ACBC+AB15cm【变式2-3】（2022秋仓山区校级期中）如图，在ABC中，ABAC，点E在CA延长线上，EPB
26、C于点P，交AB于点F，若AF2，EC7，求BF的长度【分析】根据等边对等角得出BC，再根据EPBC，得出C+E90，B+BFP90，从而得出EBFP，再根据对顶角相等得出EAFE，最后根据等角对等边即可得出答案【解答】解：在ABC中，ABAC，BC，EPBC，C+E90，B+BFP90，EBFP，又BFPAFE，EAFE，AEAF2，AEF是等腰三角形又CE7，ABACCEAE725，BFABAF523【题型3 等腰三角形中的多结论问题】【例3】（2022秋定陶区期末）如图，ABC中，ABAC，B40，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作ADE40，DE交线段AC于E，以下
27、四个结论：CDEBAD；当D为BC中点时，DEAC；当ADE为等腰三角形时，BAD20；当BAD30时，BDCE其中正确的结论的个数是（）A1B2C3D4【分析】根据等腰三角形的性质得到BC40，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到BADCDE；根据等腰三角形的性质得到ADBC，根据三角形的内角和即可得到DEAC；根据三角形外角的性质得到AED40，求得ADEAED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到BAD60，根据全等三角形的性质得到BDCE【解答】解：ABAC，BC40，BAD18040ADB，CDE18040ADB，BADCDE；故正确；D为BC中点，ABAC，ADBC，ADC9
28、0，CDE50，C40，DEC90，DEAC，故正确；C40，AED40，ADEAED，ADE为等腰三角形，AEDE，DAEADE40，BAC1804040100，BAD60，或ADE为等腰三角形，ADDE，DAEAED70，BAC1804040100，BAD30，故错误，BAD30，CDE30，ADC70，CAD180704070，DACADC，CDAC，ABAC，CDAB，ABDDCE（ASA），BDCE；故正确；故选：C【变式3-1】（2022秋密山市期末）如图，ABC中，ABC与ACB的平分线交于点F，过点F作DEBC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：BDF和CEF都是等腰三角
29、形；DEBD+CE；ADE的周长等于AB与AC的和；BFCF其中正确的有（）ABCD【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质【解答】解：DEBC，DFBFBC，EFCFCB，BF是ABC的平分线，CF是ACB的平分线，FBCDFB，FCEFCB，DBFDFB，EFCECF，DFB，FEC都是等腰三角形DFDB，FEEC，即有DEDF+FEDB+EC，ADE的周长AD+AE+DEAD+AE+DB+ECAB+AC故选：A【变式3-2】（2022秋覃塘区期末）如图，在ABC中，ABAC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，EAC、ABC、ACF的平分线
30、相交于点D对于以下结论：ADBC；ADAC；ADCACB；ADB与ADC互余其中正确结论的个数为（）A4B3C2D1【分析】由EAC是ABC的外角得到EACABC+ACB，由ABAC得到ABCACB，进而得到EAC2ABC，然后由AD平分EAC得到EAC2EAD，从而得到EADABC，最后得到ADBC；由ADBC得到ADCDCF，再由CD平分ACF得到ACDDCF，进而得到ACDADC，即得ACAD；由ADCACDDCF得到ADC=12ACF，再由ACF180ACB得到ADC与ACB的数量关系；由ADBC得到ADBDBC，再由BD平分ABC得到ADB=12ABC，结合ADC=12ACF得到AD
31、B+ADC=12ABC+12ACF，再由ABCACB，ACB+ACF180得到ADB+ADC90，即可得到ADB与ADC互余【解答】解：EAC是ABC的外角，EACABC+ACB，ABAC，ABCACB，EAC2ABC，AD平分EAC，EAC2EAD，EADABC，ADBC，故正确，符合题意；ADBC，ADCDCF，CD平分ACF，ACDDCF，ACDADC，ACAD，故正确，符合题意；ADCACDDCF，ADC=12ACF，ACF180ACB，ADC=12（180ACB）90-12ACB，故错误，不符合题意；ADBC，ADBDBC，BD平分ABC，ADB=12ABC，ADC=12ACF，AD
32、B+ADC=12ABC+12ACF，ABCACB，ACB+ACF180，ADB+ADC90，ADB与ADC互余，故正确，符合题意，正确的结论个数有3个，故选：B【变式3-3】（2022秋北安市校级期末）已知如图等腰ABC，ABAC，BAC120，ADBC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OPOC，下面的结论：APO+DCO30；APODCO；OPC是等边三角形；ABAO+AP其中正确的是（）ABCD【分析】利用等边对等角，即可证得：APOABO，DCODBO，则APO+DCOABO+DBOABD，据此即可求解；因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是ABD的角平分线，可作
33、判断；证明POC60且OPOC，即可证得OPC是等边三角形；首先证明OPACPE，则AOCE，ABACAE+CEAO+AP【解答】解：如图1，连接OB，ABAC，ADBC，BDCD，BAD=12BAC=1212060，OBOC，ABC90BAD30OPOC，OBOCOP，APOABO，DCODBO，APO+DCOABO+DBOABD30；故正确；由知：APOABO，DCODBO，点O是线段AD上一点，ABO与DBO不一定相等，则APO与DCO不一定相等，故不正确；APC+DCP+PBC180，APC+DCP150，APO+DCO30，OPC+OCP120，POC180（OPC+OCP）60，O
34、POC，OPC是等边三角形；故正确；如图2，在AC上截取AEPA，连接PE，PAE180BAC60，APE是等边三角形，PEAAPE60，PEPA，APO+OPE60，OPE+CPECPO60，APOCPE，OPCP，在OPA和CPE中，PA=PEAPO=CPEOP=CP，OPACPE（SAS），AOCE，ABACAE+CEAO+AP；故正确；本题正确的结论有：故选：A【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】【例4】（2022秋顺义区期末）如图，ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得PAC，PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（）A1B3C5D7
35、【分析】分三种情况，APAC，CACP，PAPC【解答】解：分三种情况：如图：当APAC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P1，P2，当CACP时，以C为圆心，CA长为半径画圆，交直线l于点P3，P4，当PAPC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5，直线l是边AB的垂直平分线，直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形，满足条件的点P的个数共有5个，故选：C【变式4-1】（2022秋钟楼区期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，A、B、C、D、Q均为格点，点P是线段AD上的一个动点，在点P运动过程中存在3个位置使得BPQ是腰长为5的等腰三角形【分析】根
36、据等腰三角形的定义，画出图形判定即可【解答】解：如图，满足条件的等腰三角形有3个故答案为：3【变式4-2】（2022秋克东县期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：当OBAB时，当OAAB时，当OAOB时，分别求得符合的点B，即可得解【解答】解：要使OAB为等腰三角形分三种情况讨论：当OBAB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；当OAAB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点
37、，此时有1个；当OAOB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，1+1+24，故选：D【变式4-3】（2022秋鼓楼区校级期中）如图所示，在正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是8个【分析】根据等腰三角形的性质分三种情况：AB为底边，C点在AB的垂直平分线上；AB为腰且A为顶角时，AB为腰且B为顶角时，分别判定可求解【解答】解：如图所示：符合条件的点C的个数为8故答案为8【题型5 等腰三角形的证明】【例5】（2022秋镇赉县期末）如图，在ABC中，AD平分BAC，E是BC上一点，BECD
38、，EFAD交AB于F点，交CA的延长线于P，CHAB交AD的延长线于点H求证：APF是等腰三角形；猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想【分析】根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得14，同位角相等可得2P，再根据角平分线的定义可得12，然后求出4P，根据等角对等边的性质即可得证；根据两直线平行，内错角相等可得5B，再求出H13，然后利用“AAS”证明BEF和CDH全等，根据全等三角形对应边相等可得BFCH，再求出ACCH，再根据ABAF+BF，PCAP+AC，整理即可得解【解答】证明：EFAD，14，2P，AD平分BAC，12，4P，AFAP，即APF是等腰三角形；ABPC理
39、由如下：证明：CHAB，5B，H1，EFAD，13，H3，在BEF和CDH中，5=BH=3BE=CD，BEFCDH（AAS），BFCH，AD平分BAC，12，2H，ACCH，ACBF，ABAF+BF，PCAP+AC，ABPC【变式5-1】（2022秋鄂州期末）如图，E在ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DFEF，BDCE，求证：ABC是等腰三角形【分析】利用平行线的性质得出GDFCEF进而利用ASA得出GDFCEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可【解答】证明：过点D作DGAE于点G，DGACGDFCEF（两直线平行，内错角相等），在GDF和CEF中GDF=CEFDF=EFDFG=CFE，GDFCEF（ASA），DGCE又BDCE，BDDG，DBGDGB，DGAC，DGBACB，ABCACB，ABC是等腰