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1、 第1页/共13页 2024 北京朝阳高三一模 数 学 2024.4（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题 40 分和非选择题 110 分 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集1,2,3,4,|2UAxU x=，则UA=（A）1（B）1,2（C）3,4（D）2,3,4（2）复数i3i+在复平面内对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）在ABC中，32 sinabA=，则B=（A）6（B）6或6（C）3（D）3或3（4）已知a
2、R，则“01a”是“函数3()(1)f xa x=在R上单调递增”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知直线360 xy+=和圆222(0)xyrr+=相交于,A B两点若|6AB=，则r=（A）2（B）2 3（C）4（D）3 2（6）已知等比数列na的前n项和为nS，且12341,4aaaa=+=，则6S=（A）9（B）16（C）21（D）25（7）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线l，,M N分别是l与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点若M是线段FN的中点，则C的渐近线方程为（A
3、）yx=（B）22yx=（C）33yx=（D）55yx=（8）在ABC中，2,2 3ABACBC=，点P在线段BC上当PA PB取得最小值时，PA=（A）32（B）72（C）34（D）74（9）在棱长为1的正方体1111ABCDABC D中，,E F G分别为棱11,AA BC CC的中点，动点H在平面EFG内，且1DH=则下列说法正确的是（A）存在点H，使得直线DH与直线FG相交 GFD1C1B1EA1DCBA 第2页/共13页 （B）存在点H，使得直线DH 平面EFG（C）直线1B H与平面EFG所成角的大小为3（D）平面EFG被正方体所截得的截面面积为3 32（10）已知n个大于 2 的
4、实数21,nx xx，对任意(1,2,),inx i=，存在2iy满足iiyx，且iiyxiixy=，则使得12115nnxxxx+成立的最大正整数n为（A）14（B）16（C）21（D）23 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）在6(1)x 的展开式中，x的系数为_（用数字作答）（12）已知抛物线22(0)xpy p=的焦点为F，准线方程为1y=，则p=_；设O为原点，点00(),M xy在抛物线上，若|OMFM=，则0y=_（13）已知函数|1|,2,()5,2.xxf xxx=若实数,()ab cbca满足()()()f af
5、 bf c=，则ab+=_；abc+的取值范围是_（14）已知函数1()sin22f xx=若曲线()yf x=在点11(,()A xf x处的切线与其在点22(),(B xf x处的切线相互垂直，则12xx的一个取值为_（15）设,A B为两个非空有限集合，定义|(,)1|ABJ A BAB=，其中|S表示集合S的元素个数某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这 6 门高中学业水平等级性考试科目中自主选择 3 门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为1234,SSSS已知1S=物理，化学，生物，2S=地理，物理，化学，3S=思想政治，历史，地理，给出下
6、列四个结论：若24(,)1J S S=，则4S=思想政治，历史，生物；若2141(,)(,)J S SJ S S=，则4S=地理，物理，化学；若4S=思想政治，物理，生物，则142434(,)(,)(,)J S SJ S SJ S S=；若142434(,)(,)(,)J S SJ S SJ S S=，则4S=思想政治，地理，化学 其中所有正确结论的序号是_ 第3页/共13页 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）已知函数()sin()(0,0,0)2f xAxA=+的最小正周期为（）若1,(0)22Af=，求的值；（）从条件
7、、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，确定()f x的解析式，并求函数()()2cos2h xf xx=的单调递增区间 条件：()f x的最大值为2；条件：()f x的图象关于点(,0)12中心对称；条件：()f x的图象经过点(,3)12 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分 （17）（本小题 14 分）如图，在三棱锥DABC中，侧面DAC 底面ABC，,ADDCABBC=（）求证：ACBD；（）已知5,2,2ABACAD=，F是线段BD上一点，当AFBD时，求二面角FACB的余弦值 （18）（本小题 13 分）为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展
8、学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取 10篇，这10 篇论文的评分情况如下表所示 序号 评委甲评分 评委乙评分 初评得分 1 67 82 74.5 2 80 86 83 3 61 76 68.5 4 78 84 81 FDCBA 第4页/共13页 5 70 85 77.5 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73（）从这 10 篇论文中随机抽取 1 篇，求甲、乙两位
9、评委的评分之差的绝对值不超过 5 的概率；（）从这 10 篇论文中随机抽取 3 篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过 5 的篇数记为X，求X的分布列及数学期望；（）对于序号为(1,2,10)i i=的论文，设评委甲的评分为iX，评委乙的评分为iY，分别记甲、乙两位评委对这 10 篇论文评分的平均数为,XY，标准差为,ss甲乙，以1()2iiXYssXY+甲乙作为序号为i的论文的标准化得分对这 10 篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为 2 的论文的两种排名结果是否相同？（结论不要求证明）（19）（本小题 15 分）已知椭圆22221(0):Exyaa
10、bb+=的离心率为22，,A B分别是E的左、右顶点，P是E上异于,A B的点，APB的面积的最大值为2 2（）求E的方程；（）设O为原点，点N在直线2x=上，,N P分别在x轴的两侧，且APB与NBP的面积相等（）求证：直线ON与直线AP的斜率之积为定值；（）是否存在点P使得PAPBNB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由 （20）（本小题 15 分）已知函数()(1)e()xf xaxa=R（）讨论()f x的单调性；（）若关于x的不等式()(1)f xax无整数解，求a的取值范围 第5页/共13页 （21）（本小题 15 分）若有穷自然数数列12(2):,nAaana满足如下两个
11、性质，则称A为nB数列：112211,)max,(2,3,kkkkaaaaaaakn+=，其中，12max,sx xx表示12,sx xx这s个数中最大的数；122111min,1(2,3,),kkkkaaaaaaakn+=，其中，12min,sx xx表示12,sx xx这s个数中最小的数（）判断:2,4,6,7,10A是否为5B数列，说明理由；（）若612:,A a aa是6B数列，且123,a a a成等比数列，求6a；（）证 明：对 任 意nB数 列12(2):,nAaana，存 在 实 数，使 得1,2,()kakkn=（x表示不超过x的最大整数）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
12、上作答无效）第6页/共13页 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）（1）D（2）A（3）D（4）A（5）D（6）C（7）C（8）B（9）C（10）D 二、填空题（共 5 小题，每小题 5分，共 25 分）（11）15（12）122（13）26,7)（14）2（答案不唯一）（15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解：因为()f x的最小正周期2T=，所以2=所以()sin(2)f xAx=+（）因为1A=，所以()sin(2)f xx=+又2(0)sin2f=，且02，所以4=.5 分（）选条件：因为()f x的最大值为 2，所以2A
13、=因为()f x的图象关于点(,0)12中心对称，所以2()12kk+=Z，即()6kk=Z 因为02，所以6=所以()2sin(2)6f xx=+所以()2sin(2)2cos26h xxx=+312(sin2cos2)2cos222xxx=+3sin2cos2xx=2sin(2)6x=令2 22()262kxkk+Z，第7页/共13页 得()63kxkk+Z 所以()h x的单调递增区间为,()63kkk+Z.13 分 选条件：因为()f x的最大值为 2，所以2A=因为函数()f x的图象经过点(,3)12，所以()312f=，即3sin()62+=因为02，所以663+所以63+=，即
14、6=下同选条件.13 分 选条件：因为()f x的图象关于点(,0)12中心对称，所以2()12kk+=Z，即()6kk=Z 因为02，所以6=所以()sin(2)6f xAx=+因为函数()f x的图象经过点(,3)12，所以sin()366A+=所以2A=下同选条件.13 分（17）（共 14 分）解：（）取AC中点E，连接,DE BE 因为ADDC=，所以DEAC 又因为ABBC=，所以BEAC 又因为BEDEE=，所以AC 平面BED 又BD 平面BED，所以ACBD.5 分 第8页/共13页 （）因为侧面DAC 底面ABC，且DEAC，DE 平面DAC，平面DAC平面ABCAC=，所
15、以DE 平面ABC 又EB平面ABC，所以DEEB 又因为BEAC，如图，建立空间直角坐标系Exyz 因为5,2,2ABACAD=，所以1,2DEEB=则(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(0,0,1)ABCD 所以(2,0,0),(1,0,1),(0,2,1)ACADDB=因为F是线段BD上一点，设(0,1)DFDB=所以(1,2,1)AFADDFADDB=+=+=因为AFBD，所以(1)04AF DB=，解得15=所以2 4(1,)5 5AF=设平面FAC的法向量为(,)x y z=n，则 0,0,AFAC=nn 即240,5520,xyzx+=令1z=，则0,2xy=于是(
16、0,2,1)=n 因为ED 平面ABC，所以平面ABC的法向量为(0,0,1)ED=所以15cos,5|1|5EDEDED=nnn 由题知，二面角FACB为锐角，所以其余弦值为55.14 分（18）（共 13 分）解：（）设事件A为“从这 10 篇论文中随机抽取 1 篇，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过 5”，在这10篇论文中，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过 5 的有 2篇，所以21()105P A=.4 分（）依题意，X的可能取值为0,1,2 133807(0)15CP XC=，FzyxEDCBA 第9页/共13页 21231807(1)15C CP XC=，12231801(
17、2)15C CP XC=所以X的分布列为 X 0 1 2 P 715 715 115 所以X的数学期望为77130121515155EX=+=.10 分（）相同.13 分（19）（共 15 分）解：（）由题知PBAS的最大值为122abab=，依题意2222 2,2,2,abceaabc=+解得2,2.ab=所以E的方程为22421xy+=.5 分（）设(2,)Nt，000()(),2yP xx ，则00y t （）由题知APBNBPSS=，所以0011|(2)22AByBNx=，即004|2ytx=，故0042ytx=设直线ON的斜率为ONk，直线AP的斜率为APk，所以2200220000
18、00002241222244ONAPyyyyxtkkxxxxx=+所以直线ON与直线AP的斜率之积为定值1（）假设存在点P使得PAPBNB，因为|ABAP，|NPNB，|BPBP=，所以|APNB=由（）可知000042(2)2yxtxy+=所以2020002(2)2|xxyy+=，即222020004(2)(2)xxyy+=第10页/共13页 所以200402(2)4yxy+=又220022xy=，所以2202020(4)(2)82xxx+=+所以22002200(2)(2)(2)82xxxx+=+，整理得4200(2)082xx+=+，解得02x=，与02x 矛盾 所以不存在点P使得PAP
19、BNB.15 分（20）（共 15 分）解：函数()f x的定义域为(,)+（）当0a=时，()exf x=，则函数()f x在区间(,)+上单调递增 当0a 时，1()(1)e()exxafxaaxa xa=若0a，当1axa时，()0fx，函数()f x在区间1(,)aa+上单调递减，当1axa时，()0fx，函数()f x在区间1(,)aa上单调递增 若0a，当1axa时，()0fx，函数()f x在区间1(,)aa+上单调递增，当1axa时，()0fx，函数()f x在区间1(,)aa上单调递减.8 分（）由()(1)f xax可得1()1exxa x 设函数1()()exxh xxx
20、=R，则e2()exxxh x+=令()e2xt xx=+，则()e10 xt x=+，所以函数()t x在区间(,)+上单调递增 又(0)10t=，(1)e10t=，所以函数()t x在区间(,)+上存在唯一零点0(0,1)x 所以函数()h x在区间0(,)x上单调递减，在区间0(,)x+上单调递增 所以当0 x时，()(0)1h xh=，当1x时，()(1)1h xh=若0a，当0 x时，()01a h x，此时()1a h x有无穷多个整数解，不符合题意 若1a，因为函数()h x在区间(,0上单调递减，在区间1,)+上单调递增，所以当xZ时，1()min(0),(1)1h xhha=
21、第11页/共13页 所以()1a h x无整数解，符合题意 若01a，因为1(0)(1)1hha=，所以0,1是()1a h x的两个整数解，不符合题意 综上，a的取值范围是1,)+.15 分（21）（共 15 分）解：（）:2,4,6,7,10A不是5B数列理由如下：因为13228,8aaaa=+=，所以1322,8maxaaaa+=+但478a=，所以A不满足性质，故不是5B数列.4 分（）根据6B数列的定义，可知612:,A a aa满足：211aaa=+或2111aaa=+，312aaa=+或3121aaa=+（1）若211aaa=+，因为123,a a a成等比数列，所以223114
22、aaaa=又因为10a，所以312aaa+当3121aaa=+时，由311431aaa=+得11a=（2）若2111aaa=+，因为123,a a a成等比数列，所以2221311(21)aaaaa+=当312aaa=+时，由21311(3121)aaaa+=+=得1352a=，与1a是自然数矛盾，舍去 当3121aaa=+时，由21311(3221)aaaa+=+=得11a=，与1a是自然数矛盾，舍去 所以11a=，22a=，34a=由312245,aaaa=+=，以及134132222maxmin 1,aa aaaaaaa+，可知455a，所以45a=由41236aaaa=+=，以及145
23、142323maxmin 1,aaaaaaa aa+，可知567a 由41335278,87,aaaaaa+=+=，以及1536153332424maxmin 1,aaaaaaaaaaaaa+，可知688a，所以68a=.9 分（）当2n=时，根据2B数列的定义，可知212aa=或2121aa=+第12页/共13页 若212aa=，取100.1a+=，则21,2 aa=，结论成立 若2112aa=+，取10.50a=+，则21,2 aa=，结论成立 假设存在自然数2t，存在tB数列使得结论不成立，设这样的t的最小值为0t，即存在0tB数列012:,tA a aa，对任意实数，存在01,2,kt
24、，使得kak 根据假设，数列A的前01t 项0211,ta aa组成的数列是一个01tB数列，从而存在实数，使得0)1,(1,2,kakkt=所以01,2,1(1)kkakkat=+，即0(1,2,11)kkakkkat+=令00112011201max,min1,22,111ttaaaaLaUatt+=+，则LU 令00*001max,min,ttaaLLUUtt+=，则*,LL UU（1）若0*0taLt=，根据U的定义，存在01,21,ut，使得1uaUu+=，又001tuuaaLUtuu+=，则000*0001(1)1()tututuuuaaaaaaLUtttuuu+=+，且00*001ttaaLtt+=，所以*LU（2）若*LL=，根据L的定义，存在01,21,lt，使得laLl=，又001tlllaaLUlt+=，则000*000)(1)11(llltttllaaaaaaLLllttlt+=+，且*LLU=，所以*LU 所以*LLUU 令*2LU=+，则*LLUU，即002201101max,mi,n11,22ttaaaaaatt+，所以0()1,2,1kkaaktkk=+所以01()1,2,kkatkak=+，即01,2,()kaktk=，与假设矛盾 第13页/共13页 综上，结论成立.15 分