《湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考试卷(八)数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考试卷(八)数学试题含答案.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、炎德炎德英才大联考雅礼中学英才大联考雅礼中学 2024 届高三月考试卷（八）届高三月考试卷（八）数学数学命题人命题人注意事顶：注意事顶：1答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时回答选择题时、选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效。
2、本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分、在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的。是符合题目要求的。1定义差集MNx xMxN且，已知集合2,3,5,3,5,8AB，则AAB（）AB 2C 8D3,52已知一组数据12345,x xx xx的平均数为 2，方差为12，则另一组数据1234532,32,32,32,32xxxxx的平均数、标准差分别为（）A12,2B2,1C3 24,2D94,23设复数z满足i2,
3、zz 这在复平面内对应的点为,P x y，则（）A2214xyB2212xyC2212xyD2214xy4向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，2214a bADBC ，我们称为极化恒等式、已知在ABC中，M是BC中点，3,10AMBC，则AB AC （）A16B16C8D85南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小，某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔攻瑰图（如图所示）、根据
4、此图，以下说法错误的是（）A2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加B2015 年至 2022 年，知识付费用户数量的逐年增加量在 2018 年最多C2015 年至 2022 年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍6已知函数 sin 2(0)f xx的图像关于点2,03中心对称，则（）A直线76x是函数 f x图象的对称轴B f x在区间11,1212上有两个极值点C f x在区间50,12上单调递减D函数 f x的图象可由cos2yx向左平移6个单位长度得到7已知点O为坐标原点，椭圆22195xy的左
5、、右焦点分别为12,F F，点P在椭圆上，设线段1PF的中点为M，且2OFOM，则12PFF的面积为（）A15B152C3 7D4 158中国古建筑闻名于世，源远流长如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，,24,EFAB ABEFADE与BCF都是边长为 2 的等边三角形，若点,A B C D E F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A22B11C112D114二二、选择题选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分，在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题有多
6、项符合题目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得分，部分选对的得部部分分，有选错的得分分，有选错的得 0 分分。9 已知直线21120mxm ymmR与圆：2240 xyx，则下列结论正确的是（）A对mR，直线恒过一定点Bm R，使得直线与圆相切C对mR，直线与圆一定相交D直线与元相交且直线被圆所截得的最短弦长为2 210已知ABC满足sin:sin:sin2:3:7ABC，且ABC的面积6 3ABCS，则下列命题正确的是（）AABC的周长为57BABC的三个内角ABC、满足关系2ABCCABC的外接圆半径为2 213DABC的中线CD的长为19211已知 e,lnxf
7、xxg xx x若存在21,0,xxR，使得 12f xg xt成立，则下列结论正确的是（）A函数 yg x在11,eeg处的切线与函数 yf x在1,1f处的切线吻合B当0t 时，12x xtC当0t 时，12elntx xD若 f xg xmx恒成立，则2m三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分126(1 3)x的展开式中3x的系数为_。13若23tan35，则cossin3cos_。14已知数列 nb的通项公式为22cos,3nnnbnT是数列 nb的前n项和，则3nT_。四四、解答题解答题：本题共本题共 5 小题小题，共共 77
8、 分分请在答题卡指定请在答题卡指定区域区域内作答内作答、解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）已知函数 1 exf xxkkR（1）当1k 时，求 f x在0,2处的切线方程（2）讨论 f x在区间0,3上的最小值16（本小题满分 15 分）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t20172018201920202021年份代码2016x xt 12315销量y
9、/万辆1012172026（1）统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破 50 万辆；（2）某新能源汽车品牌销售商为了促销，采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子内装有编号为 1，2，3 的三个相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同编号的享受七折优惠，三次中仅有两次摸到相同编号的享受八折优惠，其余情况均享受九折优惠，已知此款新能源汽车一台标价为 100000 元，设小李购买此款新能源汽车的价格为X，求X的分布列与均值附：ybxa为经验回归方程，1221,niiiniix ynxybaybxxnx17（本小题
10、满分 15 分）如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是矩形，SAD是正三角形，且平面SAD 平面,1,ABCD ABP为梭AD的中点，四棱锥SABCD的体积为2 33（1）若E为棱SB的中点，求证：PE平面SCD；（2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成夹角的余弦值为2 35?若存在求出线段AM的长度；若不存在，请说明理由18（本小题满分 17 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点1,0E，它的一条渐近线的倾斜角为120（1）求双曲线C的方程；（2）过点（2,0)作直线l交双曲线C于,M N两点（不与点E重合），求证：EMEN；（3）若过双曲线C
11、上一点P作直线与两条渐近线相交，交点为,A B，且分别在第一象限和第四象限，若1,23APPB ，求AOB面积的取值范围19（本小题满分 17 分）已知数列12:,nA a aa为有穷正整数数列若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：12naaam；对于1ijn，使得ijaa的正整数对,i j有k个（1）写出所有 4 的 1 减数列；（2）若存在m的 6 减数列，证明：6m；（3）若存在 2024 的k减数列，求k的最大值炎德炎德英才大联考雅礼中学英才大联考雅礼中学 2024 届高三月考试卷（八）届高三月考试卷（八）数学参考答案数学参考答案一、二、选择题一、二、选择题题号12345
12、67891011答案BCDACCAAACDBCABC1B【解析】因为2,3,5,3,5,8AB，所以3,5AB，所以 2AAB故选 B2 C【解析】因为一组数据12345,x xx xx的平均数为 2，方差为12，所以另一组数据12332,32,32xxx，4532,32xx的平均数为3 224，方差为219322平均数、标准差分别为3 24,2故选 C3D4A【解析】由题设，22113,10,4|36 1001644AMBCAB ACAMBC 故选A5C【解析】对于 A，由图可知，2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加，故 A 说法正确；对于 B 和 C，知识付费用户数量的逐
13、年增加量分别为：2016 年，0.960.480.48；2017 年，1.880.960.92;2018年，2.95 1.881.07;2019 年，3.562.950.61;2020年，4.15 3.560.59；2021 年，4.774.150.62;2022年，5.274.770.5；则知识付费用户数量逐年增加量 2018 年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故 B 说法正确，C 说法错误；对于 D，由5.2710 0.48，则 2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍，故 D说法正确综上，说法错误的选项为 C故选 C6C【解析】因为函数
14、f x的图象关于点2,03中心对称，所以2sin 203，可得43kkZ，结合0，得23，所以 2sin 23fxx对于 A，772sin 2sin30663f，所以直线76x不是函数 f x图象的对称轴，故 A不正确；对于 B，当11,1212x 时，252,322x，所以函数 f x在区间11,1212上只有一个极值点，故 B 不正确；对于 C 当50,12x时，2232,332x，所以函数 f x在区间50,12上单调递减，故 C 正确；对于 D，cos2yx左移6个单位长度后得到cos 23yx，故 D 错误故选 C7A【解析】由题意可得3,5,952abc如图，因为,O M分别是12
15、FF和1PF的中点，所以222224PFOMOFc，根据椭圆定义，可得1222PFac，又因为1224FFc，所以22221212121216 1647cos22 4 48PFFFPFPF FPFFF，所以2212115sin1 cos8PF FPF F，故12PFF的面积为212211sin152PFFFPF F故选 A另法：此题用等腰三角形求高或海伦公式更快捷8A【解析】如图，根据球的性质可得1OO 平面ABCD，根据中位线的性质和勾股定理可得1MOPQ且12MO，分类讨论当O在线段1O M上和O在线段1MO的延长线上时，由球的性质可得球半径的平方为2112R，再用球的表面积公式计算即可如
16、图，连接,AC BD，设1ACBDO，因为四边形ABCD为矩形，所以1O为矩形ABCD外接圆的圆心 连接1OO，则1OO 平面ABCD，分别取,EF AD BC的中点,M P Q，根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线1OO交EF于点M连接PQ，则PQAB，且1O为PQ的中点，因为EFAB，所以PQEF，连接,EP FQ，在ADE与BCF，易知22213EPFQ，所以梯形EFQP为等腰梯形，所以1MOPQ，且22142(3)22MO设1OOm，球O的半径为R，连接,OE OA，当O在线段1O M上时，由球的性质可知222ROEOA，易得221215O A，则2222(2)1(5)mm，此时无
17、解当O在线段1MO的延长线上时，由球的性质可知，2222(5)(2)1mm，解得22m，所以22112ROE，所以球O的表面积2422SR故选 A9ACD【解析】由题设2120mxyxy，令210,1,201,xyxxyy 所以直线21120mxm ymmR恒过定点1,1，A 对；又2240 xyx的标准方程为22(2)4xy，显然22(1 2)124，所以点1,1在圆2240 xyx内，故直线与圆必相交，B 错，C 对；要使直线与圆相交弦长最短，只需定点1,1与圆心2,0的连线与已知直线垂直，此时定点与直线距离为22(12)(1 0)2，又圆的半径为 2，则最短相交弦长为2222(2)2 2
18、，D 对故选 ACD10BC【解析】因为ABC满足sin:sin:sin2:3:7ABC 所以:2:3:7a b c，设2,3,7,0at bt ct t，利用余弦定理22222224971cos2122abctttCabt，由于0,C，所以3C对于 A，因为6 3ABCS，所以113sin236 3222abCtt，解得2t 所以4,6,2 7abc，所以ABC的周长为102 7，故 A 不正确；对于 B，因为3C，所以23AB，故2ABC，故 B 正确；对于 C，由正弦定理得外接圆半径为72 21sin603，故 C 正确；对于 D，如图所示，在ABC中，利用正弦定理72sin32A，解得
19、21sin7A，又ac，所以2 7cos7A，在ACD中，利用余弦定理2222cos19CDACADAC ADA，解得19CD，故 D 不正确 故选 BC11ABC【解析】选项 A，由 e1,ln10 xfxxgxx，得110efg，又验证知111eefg，切线方程都为1ye，故 A 正确；选项 B，12ln121222,elnlne0rxf xg xttxxxx ，则1220,0,ln0 xxx，且12ln0tf xfx，由 exf xx，得 e1xfxx，当0 x 时，0fx，则 f x在0,上递增，所以当0t 时，f xt有唯一解，故12lnxx，1222lnx xxxt，故 B 正确；
20、选项 C，由 B 正确，得12lnln(0)tttx xt，设 lnttt，则 21 lnttt，令 0t，解得et，易知 t在0,e上单调递增，在e,上单调递减，12121ln1e,elneetttx xx x，故 C 正确；选项 D，由 0,xf xg xmx恒成立，即elnxxm恒成立，令 elnxr xx，则 1exrxx，由 rx在0,上递增，又 1e20,1e 102rr，存在01,12x，使00rx，r x在00,x上递减，在0,x 上递增（其中0 x满足001exx，即00lnxx）000001eln2xr xr xxxx，要使elnxmx恒成立，0mr x，存在02mr x满
21、足题意，故 D 错误故选 ABC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12540132 33【解析】依题意，2tan33tan3513tan，解得3tan2，故cos12 3.3sin3costan3 142942nn【解析】因为22cos3nnbn，设2223231342(32)cos 2(31)cos 2(3)cos233kkkkcbbbkkkkkk222115(32)(31)(3)9222kkkk 所以3123nTcccc555599 29 392222n 591232nn 215949222nnnnn 四四、解答题解答题：本题共
22、本题共 5 小题小题，共共 77 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤15【解析】（1）当1k 时，2 e1 e,01xxf xxfxxf，所以1k 时，函数 f x在0,2处的切线方程为20 xy（2）1 eexxf xxkfxxk当xk时，0fx，此时 f x单调递增；当xk时，0fx，此时 f x单调递减，当3k 时，函数在0,3上单调递减，故函数的最小值为：3min()32ef xfk；当0k 时，函数在0,3上单调递增，故函数的最小值为：min()01f xfk ；当03k时，函数的最小值为
23、：min()ekf xf k 故min31,0,()e,03,2e,3.kk kf xkkk 16【解析】（1）由题意得1123453,1 102 123 174 205 262955niiixx y ，222222110 12 17202617,12345555niiyx所以12212955 3 174,174 35.5545niiiniix ynx ybayb xxnx 所以y关于x的经验回归方程为45yx，令4550yx，得11.25x，所以最小的整数为12,2016 122028，所以该地区新能源汽车的销量最早在 2028 年能突破 50 万辆（2）有放回地摸球，每次摸到某个编号的概率
24、为13，则三次摸到相同编号的概率为311339；三次中仅有两次摸到相同编号的概率为11223 35525；X700008000090000P192329故1227300007000080000900009399E X 17【解析】（1）取SC中点F，连接,EF FDE F分别为,SB SC的中点，1,2EFBC EFBC底面四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点，1,2PDBC PDBC,EFPD EFPD，故四边形PEFD是平行四边形，PEFD又FD 平面,SCD PE 平面SCD，PE平面SCD（2）假设在梭SA上存在点M满足题意，在等边SAD中，P为AD的中点，所以SPAD，又平面SAD
25、 平面ABCD，平面SAD平面,ABCDAD SP平面SAD，SP平面ABCD，则SP是四棱锥SABCD的高设(0)ADm m，则3,2ABCDSPm Sm矩形，1132 33323SABCDABCDVSSPmm四棱锥矩形，所以2m以点P为原点，,PA AB PS 的方向分别为,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,3PABS，故1,0,0,1,1,0,1,0,3PAPBAS 设,0,301AMAS ，1,0,3PMPAAM 设平面PMB的一个法向量为1,nx y z，则11130,0,nPMxznPBxy 取13,3,1n 易知平面
26、SAD的一个法向量为20,1,0n，121221232 3cos,5721n nn nn n 201,3 故存在点4,3M AM 满足题意18【解析】（1）易知21,tan1203,3,3bakba ，故双曲线C的方程为2213yx（2）由已知可得，直线MN的方程为2xmy，联立222222,314430330,xmymxxmxy，其中2310m ，且0时，则21212122224349,313131mxxx xy ymmm，112212121212121,1,1110EM ENxyxyxxy yx xxxy y ，EMEN（3）由题意可知，若直线AB有斜率则斜率不为 0，故设直线AB方程为：
27、xmyn，设334455,P x yA xyB x y，34345353,APPBxxyyxxyy 45334533453453,1,1xxxxxxxyyyyyyy点P在双曲线C上，2452451113yyxx，222454533(1)xxyy，2222224455454533233(1)xyxyx xy y又2222445530,30 xyxy22454545453(1)233(1),32x xy yx xy y联立2222230,31630,xymymnynxmyn，22222310,3,33612310,mmm nnm 452631mnyym，2152331ny ym，,A B分别在第一
28、象限和第四象限，2450,310y ym，由式得：245453(1)32mynmyny y，22245453(1)31332my ymn yyn将代入得：222222363(1)313331312nmnmmnnmm，22263(1),312nm4513 2 32 3sin2433AOBSOA OBAOByy224522333333 3131nny ymm 213(1)31222 34 3令 11,23h由对勾函数性质可得 h在1,13上单调递减，在1,2上单调递增 104 32,3,.33AOBhS19【解析】（1）由题意得124naaa，则1 124 或1 34，故所有 4 的 1 减数列有
29、数列1,2,1和数列 3，1（2）因为对于1ijn，使得ijaa的正整数对,i j有k个，且存在m的 6 减数列，所以2C6n，得4n当4n 时，因为存在m的 6 减数列，所以数列中各项均不相同，所以1 234106m 当5n 时，因为存在m的 6 减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m若6m，满足要求的数列中有四项为 1，一项为 2，所以4k，不符合题意，所以6m 当6n时，因为存在m的 6 减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m 综上所述，若存在m的 6 减数列，则6m（3）若数列中的每一项都相等，则0k，若0k，所以数列A存在大于 1 的项，若末项1na，将na拆分成na个
30、1 后k变大，所以此时k不是最大值，所以1na 当1,2,1in时，若1iiaa，交换1,iia a的顺序后k变为1k，所以此时k不是最大值，所以1iiaa若10,1iiaa，所以12iiaa，所以将ia改为1ia，并在数列末尾添加一项 1，所以k变大，所以此时k不是最大值，所以10,1iiaa若数列A中存在相邻的两项13,2iiaa，设此时A中有x项为 2，将ia改为 2，并在数列末尾添加一项 1 后，k的值至少变为11kxxk，所以此时k不是最大值，所以数列A的各项只能为 2 或 1，所以数列A为2,2,2,1,1,1的形式设其中有x项为 2，有y项为 1，因为存在 2024 的k减数列，所以22024xy，所以2220242220242(506)512072kxyx xxxx ，所以，当且仅当506,1012xy时，k取最大值为 512072