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1、2024一招搞定三视图考题（小A）相信看完了，你一定知道这招是什么了吧？一题弄懂极值点偏移5大套路已知，若有两个极值点，且，求证：（为自然对数的底数）解法一：齐次构造通解偏移套路证法1：欲证，需证若有两个极值点，即函数有两个零点又，所以，是方程的两个不同实根于是，有，解得另一方面，由，得，从而可得，于是，又，设，则因此，要证，即证：，即：当时，有设函数，则，所以，为上的增函数注意到，因此，于是，当时，有所以，有成立，解法二 变换函数能妙解证法2：欲证，需证若有两个极值点，即函数有两个零点又，所以，是方程的两个不同实根显然，否则，函数为单调函数，不符合题意由，即只需证明即可即只需证明设，故在，即
2、，故由于，故在，设，令，则，又因为，在，故有，即原命题得证解法三 构造函数现实力证法3：由，是方程的两个不同实根得，令，由于，因此，在，设，需证明，只需证明，只需证明，即，即即，故在，故，即令，则，因为，在，所以，即解法四 巧引变量（一）证法4：设，则由得，设，则，欲证，需证即只需证明，即设，故在，故，故在，因此，命题得证解法五 巧引变量（二）证法5：设，则由得，设，则，欲证，需证，即只需证明，即，设，故在，因此，命题得证一类对称或循环不等式的配方法证明_- 纵观国内外数学奥林匹克中的不等式试题，有不少试题是关于a,b,c的对称或轮换对称的不等式，直接利用均值不等式、柯西不等式或者重要不等式有
3、时很难达到目的，而利用它们的对称性，直接利用比较法进行适当的配方，就可以使得问题得到完美的解决。本文从历年的国内外数学奥林匹克试题中精心选择若干优秀试题，进行详细的分析与解答，供参赛选手和数学奥林匹克教练员参考。例1设a,b,c是三角形的三边,求证：a2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc)3abc.(第6届IMO试题)证法一 注意到a3+b3+c33abc =(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca ),得3abca2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc)=a3+b3+c33abc+a(b2+c22bc)+b(c2+a22ca)+c(a2+b22ab)=(a+b+c)
4、(a2+b2+c2abbcca ) +a(b2+c22bc)+b(c2+a22ca)+c(a2+b22ab)= ( a+b+c)(ab)2+(bc)2+(ca)2+a(bc)2+b(ca)2+c(ab)2=(a+bc)(ab)2+( b+ca)(bc)2+(a+cb)(ca)2.a,b,c是三角形的三边,a+bc 0, b+ca 0, a+cb 0.而(ab)20,(bc)20,(ca)20,故原不等式成立,当且仅当a=b=c,即ABC是正三角形时等号成立. 例2 已知a,b,c是正数, 证明：(1)+. (1963年莫斯科数学奥林匹克试题)(2) +. (第2届世界友谊杯数学竞赛试题)证明
5、(1)+ += = = 0, + +.(2)不难证明+=(a+b+c)(+ +)(a+b+c),利用这个恒等式得到不等式+ +和+等价.例3 设x, y, z是正数, 则+0. (W.Janous猜想)证明 设 u = +, v= +,则uv = + = zx+xy+yz = 0,又u+v = (x2y2)()+(y2z2)()+(z2x2)()= (x2y2) + (y2z2) + (z2x2)= + + 0,所以,u=v0. 从而+0.例4正实数x,y,z满足xyz1,证明：+0. (第46届IMO试题) 证明因为xyz1,所以=,类似地,可得, .令a=x2,b=y2,c=z2,原不等式
6、化为证明+0+0(a-b)(-)0(a-b)2()0.例5设x、y、z是正实数,求证：(xy+yz+zx)+.(1996年伊朗数学奥林匹克试题)证明不妨设xyz0,(xy+yz+zx)+=+=+=+=(xy)2+(yz)2+(zx)2=Sz(xy)2+Sx(yz)2+Sy(zx)2,其中Sz =, Sx =, Sy =.因为xyz0,所以2(x+y)2(x+y)2(y+z)(z+x),即Sz0.又2(z+x)2(x+y)(y+z)=(x2xy)+(x2yz)+2z2+3zx0, 所以 Sy0.若Sx0,的右端0,不等式得证.若Sx0,因为xyz0,所以0,于是, (yz)2()2(xz)2.S
7、x(yz)2+Sy(zx)2Sx()2(xz)2+Sy(zx)2=(zx)2. 下面证明y2Sx+x2Sy0,事实上,y2Sx+x2Sy0y22(y+z)2(z+x)(x+y)(z+x)2+x22(y+z)(z+x)2(x+y)(y+z)2=y2(2y2z+xy2+3yz2+2xyz+2z3+xz22zx2x3)+x2(2yz2+x2y+3xz2+2xyz+2z3+x2z2zy2y3)=2xyz(x2+y22xy)+xy(x3+y3x2yxy2)+y2(2y2z+3yz2+2z3+xz2)+x2(2yz2+3xz2+z3+x2z)=2xyz(xy)2+xy(x+y)(xy)2+y2(2y2z+
8、3yz2+2z3+xz2)+x2(2yz2+3xz2+z3+x2z)0,所以,式右端0,所以Sz(xy)2+Sx(yz)2+Sy(zx)20.综上,不等式得证.例6 设a,b,c是一个三角形的三边长,求证a2b(ab)+b2c(bc)+c2a(ca)0. 并指出等号成立的条件.(第24届IMO试题)证明 a2b(ab)+b2c(bc)+c2a(ca)= (a+bc)(b+ca)(ab)2+(b+ca)(a+cb)(bc)2+(a+cb)(a+bc)(ca)20.例7已知a,b,c0,证明：+3.(2006年罗马尼亚数学奥林匹克试题)证明 = =+=(bc)2+(ca)2+(ab)2=(bc)2
9、+(ca)2+(ab)20.例8 在ABC中,证明:a2(1)+b2(1)+c2(1)0.(2006年摩尔多瓦数学奥林匹克试题)证明 不等式两边同时乘以2abc,不等式化为证明2a3b(bc)+2b3c(ca)+2c3a(ab)0.2a3b(bc)+2b3c(ca)+2c3a(ab)=a3(b+c)+(bc)(bc)+ b3(c+a)+(ca)(ca)+c3(a+b)+(ab)(ab)= a3(bc)2+b3(ca)2+c3(ab)2+a3(b2c2)+b3(c2a2)+c3(a2b2)=a3(bc)2+b3(ca)2+c3(ab)2+a2(c3b3)+b2(a3c3)+c2(b3a3)=a3
10、(bc)2+b3(ca)2+c3(ab)2+a2(cb)3+3cb(cb)+b2(ac)3+3ca(ca)+c2(b3a3) +3ba(ba)=a3(bc)2+b3(ca)2+c3(ab)2a2(bc)3b2(ca)3c2(ab)3+3abca(cb)+b(ca)+c(ba) =a3(bc)2+b3(ca)2+c3(ab)2a2(bc)3b2(ca)3c2(ab)3= a2(bc)2(c+ab)+b2(ca)2(a+bc)+c2(ab)2(b+ca). 在ABC中, c+ab, a+bc, b+ca都是正数，而(bc)20, (ca)20, (ab)20,所以不等式得证.例9 在ABC中,a,
11、b,c是它的三条边,p是半周长,证明不等式：a+b+cp.(2006年摩尔多瓦数学奥林匹克试题)证明 令x=pa,y=pb,z=pc,则a=y+z,b=z+x,c=x+y.a+b+cp(y+z)+(z+x)+(x+y)x+y+z2(y+z)+2(z+x)+2(x+y)2(x+y+z)+(y+z)(2+(z+x)(2+(x+y)(22(x+y+z) 2(+)(x+y+z)(y+z)(2+(z+x)(2+(x+y)(2+(y+z) + (z+x)+(x+y). 下面证明(x+y) 1 (x+y+z)(x+y)22xy.因为z是正数,这是显然的.同理可证其余两个不等式.于是不等式成立.例10 已知a
12、,b,c0,且abc=1,证明：2().(2004年匈牙利数学奥林匹克试题)证明 因为abc=1,所以2()等价于2().注意到(a3+b3)(a2b+ab2)=(a2b2)(ab)=(a+b)(ab)2有2() = = = = = 0.所以,原不等式成立.例11 已知x,y,z1,2,证明：(x+y+z)()6(+).(2006年越南数学奥林匹克试题)证明 不妨设2xyz1, 因为(x+y+z)()9=,又因为+=+,所以(x+y+z)()6(+)=()(xy)2+()(yz)2+()(zx)20z(x+y)(z2+zx+zy2xy)(xy)2+x(y+z)(x2+xy+xz2yz)(yz)
13、2+y(z+x)(y2+yz+yx2zx)(zx)2=Sz(xy)2+Sx(yz)2+Sy(zx)20. 由2xyz1,易知(x+y)(z+x)3yz2y2z3yz0, 所以Sx0,又Sy0(y+z)(x+y)3zx0xy+yz+y22zx0. 由2xyz1,易知,y+z2x,所以y(y+z)zx, xyzx,相加得.所以Sy0.如果Sz0,则式右边0,不等式得证.如果Sz0,则(xy)2=(xz)(yz)2=(zx)2+(yz)22(xz)(yz),Sz(xy)2+Sx(yz)2+Sy(zx)2=(Sy+Sz)(zx)2+(Sx+Sz)(yz)22Sz (xz)(yz)(Sy+Sz)(zx)2+(Sx+Sz)(yz)2.下面证明Sy+Sz0, Sx+Sz0.Sx+Sz=x(y+z)(x2+xy+xz2yz)+z(x+y)(z2+zx+zy2xy)z(x+y)(x2+xy+xz2yz)+(z2+zx+zy2xy)= z(x+y)(x+2z )(xy)+z20,Sy+Sz=y(z+x)(y2+yz+yx2zx)+z(x+y)(z2+zx+zy2xy)z(x+y)(y2+yz+yx2zx)+(z2+zx+zy2xy)= z(x+y)xy+(y+zx)(y+z)0,所以Sz0时,不等式也成立.于是，只要x, y, z1,2, 就有(x+y+z)()6(+).