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1、2024高中数学教学论文-对一道“切变变换”题的错解分析-苏教版对一道“切变变换”题的错解分析题目： 如图所示，四边形和四边形分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为,求将四边形变成的变换矩阵.错解(一)：由题意可知，该变换为切变变换，设矩阵矩阵将变换为，解得错解(二)：设矩阵矩阵将变换为， 则有 解得错解分析：以上是我们解决变换问题的常用的方法，但不难发现，我们将点做矩阵变换，显然变换后的点并不在处.同样也是如此.可见矩阵并不能实现将四边形变成.为什么会有这样的结果？让我们来回顾课本选修4-2第29页有关切变变换的概念.矩阵把平面上点沿轴方向平移个单位，当时，沿轴正方向移动；当时，原地不动
2、，在此变换作用下，轴上的点为不动点。在此，该变换称之为水平方向上的切变变换.同理：竖直方向上的切变变换，在的作用下，轴上的点为不动点。下面我们来证明水平方向上的切变变换，不动点一定在轴上.设的不动点为，则即即点为轴上的点.所以水平方向上的切变变换，不动点一定在轴上.同理，我们也能证明竖直方向上的切变变换，不动点一定在轴上.由此，切变变换都存在不动点，且不动点在轴或轴上.现在，我们再来看本题，显然题中的不动点在线段，上并不符合课本中定义的切变变换，那么如何求解此变换呢？其实我们可以通过将图形整体平移使得不动点都在轴或轴上，再进行求解.解：设在四边形上任取一点，向右移个单位得点四边形上与相对应点为
3、，也向右平移个单位得点，因此平移之后，可看成竖直方向的切变变换，设则将代入左式得 该变换为所以若此类变换是不动点在直线上的竖直方向上的切变变换，设变换前任意一点为，变换后对应点为，有同理不动点在直线上的水平方向上的切变变换有 因此，我们在求解切变变换类型的问题时应分清不动点的位置，然后运用相应的变换.以上是我们对切变变换的一点思考，不足之处恳请指正！二项分布及其应用二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有着重要的地位：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生K次的概率为P(X=k)
4、=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,n，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n,p)，并称p为成功概率。二项分布是一种常见的重要离散型随机变量分布列，其识别特点主要有两点：其一是概率的不变性；其二是试验的可重复性，下面加以例谈。例题1 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的。现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦电力，这10台机床能够不因电力不足而无法工作的概率为多大？在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约是多少？解析：设10台机床中实际开动的机床数为随机变量，由题意知满
5、足二项分布，即B（10，p），其中p是每台机床开动的概率，p= ,从而 ，50千瓦电力可同时供5台机床同时开动，因而10台中同时开动数不超过5台都可以正常工作，这一事件的概率。由以上知，在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅为0.006，从而一个工作班的8小时内不能正常工作的时间大约为8600.006=2.88（分钟），这说明，10台机床的工作基本不受电力供应紧张的影响。例题2 有两袋相同的球，每袋中各有n个，一个人随意从任一袋中一个一个地取球，经过一段时间以后，他发现有一袋球空了，求这时另一袋中还剩r (r=0,1,2, ,n)个球的概率。 解析：将每次取出一个球看作一次独立
6、试验，每次试验有两个可能的结果：取的是第一袋的球或者是第二袋的球，它们出现的概率均是。由于两袋球共有2n个，当第一袋的球被取空、第二袋里还剩r个时，共取了2n-r个 ，概率应为点评：公式，是n次独立试验中某事件A恰好发生k次的概率，其中n是重复试验的次数，p是在一次试验中该事件A发生的概率，k是n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数。弄清公式中这些量的意义，才能正确使用这一公式求解。同步测试：1、 下面关于XB(n,p)的叙述： p表示一次试验事件发生的概率； n表示独立重复试验的总次数； n=1时，二项分布退化为两点分布； 随机变量X的取值是小于等于n的所有正整数。正确的项数为（ ）A1 B
7、.2 C.3 D.42、将一枚骰子连掷5次，出现k次偶数点的概率等于出现k+1次偶数点的概率，那么k的值为（ ）A0 B.1 C.2 D.33、如果XB(n,p)，其中0p1,那么使P（X=k）取得最大值的k有（ ）A只有一个 B.有两个 C.n为奇数时有两个 D当(n+1)p为正整数时有两个4、有一袋玉米种子，因放置时间较长，发芽率只有80%，播种时每穴中放4粒种子，求每穴有两棵以上苗的概率。答案与提示：1、 答案C。由定义易知；2、 答案C。代入公式即可求得；3、 答案D。由，因此，当当当故（n+1）p为整数时，有两个最大值；（n+1）p不为整数时，有一个最大值。4、 间接求解：P=P（X
8、2） =1- P（X1）=1-C410.80.23 - C400.800.24=0.9728反证法在几何问题中的应用反证法是一种非常重要的数学方法，它在几何的应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何都有应用，本文选择几个有代表性的应用，举例加以介绍。一、证明几何量之间的关系例1：已知：四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，。求证：。证明：假设AB不平行于CD。如图，连结AC，取AC的中点G，连结EG、FG。E、F、G分别是AD、BC、AC的中点，；，。AB不平行于CD，GE和GF不共线，GE、GF、EF组成一个三角形。 但 与矛盾。例2：直线与平面相交于，过点在平面内引直线、，。
9、求证：。证明：假设PO不垂直平面。作并与平面相交于H，此时H、O不重合，连结OH。由P作于E，于F，根据三垂线定理可知，。，PO是公共边，又因此，OH是的平分线。同理可证，OH是的平分线。但是，OB和OC是两条不重合的直线，OH不可能同时是和的平分线，产生矛盾。例3：已知A、B、C、D是空间的四个点，AB、CD是异面直线。求证：AC和BD是异面直线。证明：假设AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内。因此，A、C、B、D四点在同一平面内，这样，AB、CD就分别有两个点在这个平面内，则AB、CD在这个平面内，即AB和CD不是异面直线。这与已知条件产生矛盾。所以，AC和BD是异面直线上面
10、所举的例子，用直接证法证明都比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法。二、证明“唯一性”问题在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题。例3：过平面上的点A的直线，求证：是唯一的。证明：假设不是唯一的，则过A至少还有一条直线，、是相交直线，、可以确定一个平面。设和相交于过点A的直线。，。这样在平面内，过点A就有两条直线垂直于，这与定理产生矛盾。所以，是唯一的。例4：试证明：在平面上所有通过点的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标、均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。证明：先证存在性。因为直线，显然通过点，且直线至少通过两个有理点，例如它通过和。这说
11、明满足条件的直线有一条。再证唯一性。假设除了直线外还存在一条直线（或）通过点，且该直线通过有理点A与B，其中、均为有理数。因为直线通过点，所以，于是，且。又直线通过A与B两点，所以， ，得。 因为A、B是两个不同的点，且，所以，由，得，且是不等于零的有理数。由，得。此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。所以，平面上通过点的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。关于唯一性的问题，在几何中有，在代数、三角等学科中也有。这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法。即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更方便。三、证
12、明不可能问题几何中有一类问题，要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在。它们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难。而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在，因此，这类问题非常适宜用反证法。例5：求证：抛物线没有渐近线。证明：设抛物线的方程是()。假设抛物有渐近线，渐近线的方程是，易知、都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组 的两组解的倒数都是0。将（2）代入（1），得 （3）设、是（3）的两个根，由韦达定理，可知，则， （4）， （5）由（4）、（5），可推得，这于假设矛盾。所以，抛物线没有渐近线。关于不可能问题
13、是几何中最常见也是非常重要的一种类型。由于它的结论是以否定形式出现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明。四、证明“至少存在”或“不多于”问题在几何中存在一类很特殊的问题，就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个。由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少，用直接证法有一定困难。如果采用反证法，添加了否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，容易使命题获证。例6：已知：四边形ABCD中，对角线AC=BD=1。求证：四边形中至少有一条边不小于。证明：假设四边形的边都小于，由于四边形中至少有一个角不是钝角（这一结论也可用反证法证明），不妨设，根据余弦定理，得，即。这与已知四边形BD=1矛盾。所以，四边形中至少有一条边不小于。