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1、2024年新东方初中数学初二年级寒假第10讲 中位线和多边形内角和（难）含答案第9讲 中位线和多边形内角和目标层级图课前检测1.如图：在中，点，分别是，的中点，连接，如果，那么的周长是 2.已知：如图，求图形中的的值3.如图，的周长为36，对角线，相交于点，点是的中点，求的周长课中讲解一 中位线1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.3.中位线逆定理：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段，是三角形的中位线.在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线.例1.如
2、图所示，为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为m. 例2.（2019锦江区期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，延长至，使，若，则线段的长为 例3.如图，在中，是上一点，且，垂足是，是的中点求证：例4.已知：四边形中，、分别是，的中点，则线段的取值范围是ABCD例5.如图，在四边形中，是对角线的中点，分别是，的中点，则与的等量关系为_，的度数是 度例6.如图，四边形中，点、分别是边、的中点，顺次连接、，得到的四边形叫中点四边形求证：四边形是平行四边形例7.几何证明（1）已知：如图1，、分别是的外角平
3、分线，过点作，垂足分别是、，连接，延长、，与直线相交求证：（2）若、分别是的内角平分线，其余条件不变（如图，线段与的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明例8.如图，在四边形中，分别是的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，则（不必证明）提示：在图（1）中，连接，取的中点，连接，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线的性质，可证明（1）如图（2），在四边形中，与相交于点，分别是的中点，连接，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论（2）如图（3）中，在中，点在上，分别是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断形状并证明过关检测1.(2019实外期末）如图，是的边
4、的中点，平分，于点，延长交于点，已知，求的周长_2.（2018青羊区期末）如图，在中，、分别是边、的中点，则四边形的周长是A18B16C14D123.如图，四边形中，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为 4.（2018锦江区期末）如图，是四边形的对角线，点为的中点，连接交于点，若，则长为5.如图，在四边形中，分别为，的中点，连接，（1）求证：；（2），平分，求的长6.（2018锦江区期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）若，求四边形的面积二 多边形内角和1.
5、多边形的对角线定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.多边形的对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，n边形共有条对角线.2.多边形的内角和定理：n边形的内角和等于.3.多边形的外角和：与边数无关，始终等于.例1. 基本公式使用1.（2018青羊区期末）若正边形的每个内角都是，则的值是A3B4C6D82.（2019金牛区期末）外周边缘为正八边形的木花窗挂件的每个内角为ABCD3.（2018锦江区期末）一个多边形的边数由原来的3增加到时，且为正整数），它的外角和A增加B减小C增加D没有改变例2.1.若经过边形的一个顶点的所有对角线可以将该边形分成7个三角形，则为
6、A7B8C9D102.从边形的一个顶点出发可以连接2018条对角线，则A2018B2019C2020D2021例3.如图，已知中，若沿图中虚线剪去，则等于ABCD例4.如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点，且，则A BCD例5.如图，五边形是正五边形若，则 例6.如图的七边形中，、的延长线相交于点若图中、的外角的角度和为，则的度数为何？ABCD学习任务1. （2019青羊区期末）一个正多边形的每个内角等于，则它的边数是 2如图，在中，分别是，的中点，若，则的长是A1B2C3D3.如图，等边的边长是2，、分别为、的中点，延长至点，使，连接和（1）求证：；（2）求的长4.如图，在中，
7、平分，于点，点是的中点（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；（2）如图2，请直接写出线段、的数量关系第9讲 中位线和多边形内角和目标层级图本节内容1新课，主要定位平行四边形章节中，中位线和多边形内角和部分。必考6-10分（A卷选填中）2本节课的主要目标：1能够识别和使用中位线；2会计算多边形内角和；3多见识常考中低难度题型。中位线部分，综合题目中，难度会比较大，涉及构造和转化使用。这部分将在后期的中点综合中讲解，此讲义不会涉及。3建议在授课过程中，中位线部分，定理和逆定理的使用需要关注。知道中位线怎么使用，还需要能够逆向判断是中位线，简单构造中位线。多边形内角和部分，比较简单，有两种方式
8、算边或者角。一是直接使用公式，二是利用外角360始终不变计算。两种方法都需要讲解。另外，注意多边形对应的规律题部分。在授课内容中，可提前复习，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、垂直平分线和角平分线考点使用。课前检测1.如图：在中，点，分别是，的中点，连接，如果，那么的周长是18【考点】：三角形中位线定理【分析】根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可【解答】解：，分别是，的中点，又是的中点，直线是线段的垂直平分线，的周长，故答案为：182.已知：如图，求图形中的的值【分析】根据平行线的性质先求的度数，再根据五边形的内角
9、和公式求的值【解答】解：，3.如图，的周长为36，对角线，相交于点，点是的中点，求的周长【考点】：三角形中位线定理；：平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，又因为点是的中点，可得是的中位线，可得，所以易求的周长【解答】解：的周长为36，则四边形是平行四边形，对角线，相交于点，又点是的中点，是的中位线，的周长，即的周长为15声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布课中讲解三 中位线1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.3.中位线逆定理：在三角形内，与三角形的两边相
10、交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线.在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线.性质证明学生版没有放置，需要老师证明为什么中位线平行且等于第三边一半性质证明：已知：如图，DE是ABC的中位线.求证：DE/BC，DE=BC.证明：如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF.在ADE和CFE中，AE=CE，AED=CEF，DE=FE，ADECFE.A=ECF，AD=CF.CF/ABBD=ADCF=BD.四边形DBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）DF/BC（平行四边形的定义） DF=BC（平行四边形对边相等）DE/BC，DE=
11、BC.中位线的直接使用例1.如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为m. 【解答】40中位线定平行四边形+直角三角形斜边中线例2.（2019锦江区期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，延长至，使，若，则线段的长为26【分析】先证平行四边形再用斜边中线【解答】解：点，分别是边，的中点，又，四边形为平行四边形，点是边的中点，故答案为：26等腰三角形三线合一可以定E点为中点例3.如图，在中，是上一点，且，垂足是，是的中点求证：【解答】证明：在中，因为 且，等腰三角形三线合一，所以为的中点又因为
12、是的中点，所以，且为的中位线，因此，即例4在于中位线的构造，转化使用已知的AB、CD长，结合三角形三边关系写取值范围。（初一二线段取值范围的求取一般为三点共线、三角形三边关系）连接四边形的对角线AC或者BD，取中点。则结合中点可以围绕MN构造一个三角形。三边关系满足即可例4.已知：四边形中，、分别是，的中点，则线段的取值范围是ABCD【考点】：三角形三边关系；：三角形中位线定理【分析】当时，最短，利用中位线定理可得的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得的其他取值范围【解答】解：连接，过作，连接是边的中点，是的中位线，；是的中点，是的中位线，在中，由三角形三边关系可知，即，当，即时
13、，四边形是梯形，故线段长的取值范围是故选：对边相等四边形+中位线构等腰三角形例5.如图，在四边形中，是对角线的中点，分别是，的中点，则与的等量关系为_，的度数是18度【分析】根据中位线定理和已知，易证明是等腰三角形【解答】解：在四边形中，是对角线的中点，分别是，的中点，分别是与的中位线，故是等腰三角形，故答案为：18中点四边形，一定是平行四边形（同一个对角线的中位线，平行且相等）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的在本节课中，因为只学习了平行四边形，所以矩形、菱形等中点四边形未作拓展。教师版有保留这部分内容，可结合自己情况拓展例6.观察探究，完成证明和填空如图，四边形中，点、分别是
14、边、的中点，顺次连接、，得到的四边形叫中点四边形（1）求证：四边形是平行四边形；（学生只保留一问）当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形；当四边形变成矩形时，它的中点四边形是 ；当四边形变成菱形时，它的中点四边形是 ；当四边形变成正方形时，它的中点四边形是 ；（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？【考点】：三角形中位线定理【分析】（1）连接利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；（2）连接、根据三角形的中位线定理，可以得到所得四边形的两组对边分别和原四边形的对角线平行，且分别等于原四边形的对角线的一半若顺次连接对角线相等
15、的四边形各边中点，则所得的四边形的四条边都相等，故所得四边形为菱形；若顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，则所得的四边形的四个角都是直角，故所得四边形为矩形；若顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，则综合上述两种情况，故所得的四边形为正方形；（3）由以上法则可知，中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的【解答】（1）证明：连接、分别是、的中点，是的中位线，同理得，四边形是平行四边形（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的故答案为平行四边形、菱形、矩形、正方形识别问题和构造中位线例7难度上稍微拔高一些，主要目的依然
16、是学生见识题型，能够进行简单的问题转化。需要从问题FG（ABBCAC）中去识别和转化线段，能够联想中位线。能够从三线合一中确定中点（可在此处复习等腰三角形三线合一、垂直平分线性质、角平分线性质）例7.几何证明（1）已知：如图1，、分别是的外角平分线，过点作，垂足分别是、，连接，延长、，与直线相交求证：（2）若、分别是的内角平分线，其余条件不变（如图，线段与的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明【分析】（1）利用全等三角形的判定定理证得，然后由全等三角形的对应边相等进一步推出，同理，由此可以证明为的中位线，然后利用中位线定理求得；【解答】解：（1）如图1，在和中，同理：，是的中位线，
17、（2）图2中，理由如下：如图2，延长、，与直线相交于、，由（1）中证明过程类似证，同理，答：线段与三边的数量关系是中位线的综合使用例主要考察中位线的构造、使用和转化，能够对同时出现两个中点（考虑中位线）有一定的敏感度和联想。三角形的形状，考虑特殊情况。等边、等腰、直角、等腰直角。（可以从角的角度证明，也可从边的角度）例8.如图，在四边形中，分别是的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，则（不必证明）（温馨提示：在图（1）中，连接，取的中点，连接，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线的性质，可证明（1）如图（2），在四边形中，与相交于点，分别是的中点，连接，分别交于点，判断的形状，
18、请直接写出结论（2）如图（3）中，在中，点在上，分别是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断形状并证明【分析】（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形是等边三角形，再进一步确定，进而求出，故的形状可证【解答】解：（1）取中点，连接，可知，同理，又，为等腰三角形（2）判断出是直角三角形证明：如图连接，取的中点，连接、，是的中点，同理，是等边三角形，是等边三角形，即是直角三角形过关检测过关检测以常考题型为住，主要在于见识题型和简单的使用1.(2019实外期末）如图，是的边的中点，平分，于点，延长交
19、于点，已知，求的周长_【解答】（1）证明：平分（三线合一）又点是中点，是的中位线，故的周长勾股和中位线2.（2018青羊区期末）如图，在中，、分别是边、的中点，则四边形的周长是BA18B16C14D12【解答】解：，、分别是边、的中点，四边形的周长故选：3.如图，四边形中，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为3 考虑放第三节-考虑【考点】：三角形中位线定理；：勾股定理【分析】根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为与重合时最大，此时根据勾股定理求得，从而求得的最大值为3【解答】解：，最大时，最大，与重合时最大，此时，的最大值为3
20、故答案为3中位线+直角三角形斜边中线4.（2018锦江区期末）如图，是四边形的对角线，点为的中点，连接交于点，若，则长为18【分析】利用三角形中位线定理求出，再根据，求出，利用直角三角形斜边中线定理求出即可；【解答】解：，故答案为185.如图，在四边形中，分别为，的中点，连接，（1）求证：；（2），平分，求的长【考点】：直角三角形斜边上的中线；：三角形中位线定理；：勾股定理【分析】（1）根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明（2）首先证明，根据即可解决问题【解答】（1）证明：在中，、分别是、的中点，在中，是中点，（2）解：，平分，由（1）可知，由（1）可知，6.（2
21、018锦江区期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）若，求四边形的面积【分析】（1）欲证明，只要证明即可；（2）只要证明，即可；（3）只要证明，求出、即可；【解答】（1）证明：，（2），四边形是平行四边形（3）在中，四 多边形内角和1.多边形的对角线定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.多边形的对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，n边形共有条对角线.2.多边形的内角和定理：n边形的内角和等于.3.多边形的外角和定义：从多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形
22、的外角和.多边形的外角和定理：多边形的外角和等于.用多边形一个顶点出发可以构造（）个三角形，证明内角和公式灵活使用基本公式。直接用公式计算或外角等于计算例2. 基本公式使用(1)（2018青羊区期末）若正边形的每个内角都是，则的值是CA3B4C6D8(2)（2019金牛区期末）外周边缘为正八边形的木花窗挂件的每个内角为DABCD（3）（2018锦江区期末）一个多边形的边数由原来的3增加到时，且为正整数），它的外角和DA增加B减小C增加D没有改变【解答】一问为例1先算出外角，用外角360来算解：正边形的每个内角都是，每一个外角都是，多边形外角和为，多边形的边数为，故选：2直接利用内角和公式，设边
23、数为n(n-2)180=120n（2）边数为8 ，直接带入公式（3）多边形的外角和等于，与边数无关，例2.简单，需要有这样的题型见识（1）若经过边形的一个顶点的所有对角线可以将该边形分成7个三角形，则为A7B8C9D10【解答】解：依题意有，解得：故选：（2）从边形的一个顶点出发可以连接2018条对角线，则A2018B2019C2020D2021【解答】解：由题意得：，解得，故选：三角形内角和及平角；也可看为多边形内角和例3.如图，已知中，若沿图中虚线剪去，则等于ABCD【考点】：三角形内角和定理；：多边形内角与外角【解答】解：，故选：技巧：等角用、标记，更容易找等量关系例4.如图，在四边形中
24、，的角平分线与的外角平分线相交于点，且，则ABCD【分析】利用四边形内角和是可以求得然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可【解答】解：如图，又的角平分线与的外角平分线相交于点，故选：多边形内角和平行线例5.如图，五边形是正五边形若，则72【分析】过点作，根据正五边形的性质可得的度数，再根据平行线的性质以及等量关系可得的度数【解答】解：过点作，五边形是正五边形，故答案为：72见识题型，利用多边形外角和解题。需要判断，选取哪一个多边形进行计算例6.如图的七边形中，、的延长线相交于点若图中、的外角的角度和为，则的度数为何？ABCD【分析】在延长线上找一点，根
25、据多边形的外角和为可得出，再根据邻补角互补即可得出结论【解答】解：在延长线上找一点，如图所示多边形的外角和为，故选：学习任务1.（2019青羊区期末）一个正多边形的每个内角等于，则它的边数是5【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为，再用外角和除以，计算即可得解【解答】解：正多边形的每个内角等于，每一个外角的度数为，边数，这个正多边形是正五边形故答案为：52.如图，在中，分别是，的中点，若，则的长是A1B2C3D【解答】解：，是的中点，分别是，的中点，故选：3.如图，等边的边长是2，、分别为、的中点，延长至点，使，连接和（1）求证：；（2）求的长【解答】（1）证明：、分别为
26、、的中点，为的中位线，延长至点，使，；（2）解：，四边形是平行四边形，为的中点，等边的边长是2，4如图，在中，平分，于点，点是的中点（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；（2）如图2，请直接写出线段、的数量关系【考点】：三角形中位线定理；：等腰三角形的判定与性质【分析】（1）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题（2）结论：，先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题【解答】（1）证明：如图1中，（2）结论：，理由：如图2中，延长交的延长线于，第11讲 几何综合目标层级图课前检测1在四边形中，对角线平分（1）如图，当，时
27、，求证：（2）如图，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明（3）如图，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明课中讲解一.中点问题例1已知：如图，中，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点（1）求证：； （2）求证：；（3）与的大小关系如何？试证明你的结论过关检测1如图所示，在中，（1）点在边上，垂足为，垂足为，求证：（2）如图2，点在边上，点关于直线的对称点恰落在边上，垂足为，求的值例2已知中，（1）如图1，点为的中点，连并延长到点，使得，直接写出和的关系；（2）如图2，若，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连，若，求证：
28、；（3）如图3，点在内部，且满足，点在的延长线上，连交的延长线于点，若点为的中点，求证：过关检测1如图3，已知和都为等腰直角三角形，。是的中点，连接并延长至点，求证：二.对角互补模型例3如图，平分将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与（或的延长线）交于点，另一条直角边与交于点（1）如图1，当与边垂直时，证明：；（2）如图2，把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交，于点，在旋转过程中，与相等吗？请直接写出结论：（填，（3）如图3，三角尺绕点继续旋转，三角尺的一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点在旋转过程中，与相等吗？若相等，请给出证明；若不相
29、等，请说明理由例4四边形被对角线分为等腰直角和直角，其中和都是直角，另一条对角线的长度为2，求四边形的面积过关检测1【感知】如图，平分于点，于点，可知（不要求证明）【拓展】在图中，作，分别交射线，于，两点，求证：【应用】如图，与均为直角三角形，平分，两点在的异侧已知，求线段的长2如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是例5如图，平分，与射线相交于点，与直线相交于点把绕着点旋转（1）如图1，当点在射线上时，求证：；（2）如图2，当点在射线的反向延长线上时，与，之间的数量关系是 （直接写出结论，不必证明）过关检测1如图，一伞状图形，已知，点是角平
30、分线上一点，且，与交与点，与交于点（1）如图一，当与重合时，探索，的数量关系（2）如图二，将在（1）的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积例6如图，在中，点是的中点，、分别是、上的点，且和互补（1）当，如图1，线段、之间的数量关系是 ；（2）当，如图 2 ，求证：；（3）在（2）的条件下，若，设线段交直线于点，求的长过关检测1在中，分别交直线、于点、（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当时，问线段、之间有何数量关系，并证明；（3）如图3，当时，旋转，问线段之间、有何数量关系？并证明例7如图所示，平分，点是射线上的一个定点，点在直线上运动，连接，将的两边射线和分别
31、绕点顺时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点（1）如图1所示，当点在射线上时，请判断线段与的数量关系，直接写出结论；请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2所示，当点在射线的反向延长线上时，交射线于点，若，请直接写出线段的长三.手拉手模型例8（2019秋青羊区校级期末）在等腰与等腰中，且点、三点在同一条直线上，连接（1）如图1，求证：（2）如图2，当时，试猜想线段，之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当时，请直接写出线段，之间的数量关系式为： （不写证明过程）例9【问题背景】如图1，是正三角形外一点，则小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请帮助小明完成他的
32、作图；【迁移应用】如图2，在等腰中，点在外部，使得，若，求；【拓展创新】如图3，在四边形中，点在四边形内部，且，直接写出的长过关检测1如图，和均为等腰三角形，点，在同一直线上，连接（1）如图1，若求证：；求的度数（2）如图2，若，为中边上的高，为中 边上的高，试证明：2（1）方法探索如图1，在等边中，点在内，且，求的长小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解请在此思路提示下，求出的长解：把绕着点顺时针旋转得到，连接接着写下去：（2）方法应用请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：如图2，点在等边外，且，若，求度数如图3，在
33、中，是外一点，连接、已如，请直接写出的长四.半角模型例10如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法（1）在图1中，连接，为了证明结论“ “，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？（3）如图3，如果四边形中，且，求的长过关检测1探究：如图，点、分别在正方形的边、上，连结，求证：应用：如图，在四边形中，点、分别在、上，若，则 学习任务1如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于
34、、两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的结论有 2（2018秋成都期末）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半如图1，等腰中，作于点，则为的中点，在直角三角形中，且；迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，、三点在同一条直线上，连接（1）求证：；（2）请直接写出线段，之间的等量关系式；（3）如图2，若，求线段的长3如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点（1）如图，点与点重合时，点，分别在线段，上，求证：；（2）如图，当点在的延长线
35、上时，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出，三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点在线段上，若，当时，请直接写出的长第11讲 几何综合目标层级图本节内容主要讲解几何综合部分，课程目标为带领学生回顾常见几何模型和辅助线做法，加深对模型和对几何知识点（比如三线合一）的理解，提升学生的几何思维和解决综合类几何问题的能力。本节内容一共分为4个板块，分别为中点问题的处理策略（本节主例题主要中点所引发的三线合一与倍长中线），对角互补模型，手拉手模型和半角模型，其中对角互补模型定位为新课，其余3个板块在前面学员都有学习，定位为复习内容。几何综合部分一直属于学生得分率较低的部分，建议授课中多加强模
36、型关键点的梳理，增加对学生思路的引导，确保学生切实掌握每种模型。本讲义容量偏大，教师可根据实际情况删减例题，半角模型和手拉手模型学生相对熟悉，如果学生掌握的不错，这两个板块可以所见例题和练习量。注：具体的例题设计逻辑在每个例题处会有标注说明。课前检测1在四边形中，对角线平分（1）如图，当，时，求证：（2）如图，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明（3）如图，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明【分析】（1）由平分，可得，又由，即可得，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可得；（2）首先过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、，由平
37、分，可得，又由与互补，可证得，则可得，又由，则可得线段、有怎样的数量关系为；（3）首先过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别是、，与（2）同理可得，则可得，即可求得线段、有怎样的数量关系为【解答】证明：（1）在四边形中，平分，又，即（2）证明如下：如图，过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、平分，又，为角平分线，（3）证明如下：如图，过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别是、平分，又延长至，使，连接，课中讲解一.中点问题（例1考查三线合一，第（3）问的辅助线也是常见的中垂线辅助线作法，最后一问的结论也可写成是）例1已知：如图，中，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点（1）求证：
38、；（2）求证：；（3）与的大小关系如何？试证明你的结论【分析】（1）利用判定，从而得出（2）利用判定，得出，又因为，所以（3）利用等腰三角形“三线合一”和勾股定理即可求解【解答】（1）证明：，是等腰直角三角形，且，在和中，；（2）证明：平分，在和中，又由（1），知，；（3）证明：，垂直于，则为中点，则（等腰三角形“三线合一” 连接，则，又垂直，是直角三角形，垂直平分，；即，方法2，证明：，垂直于，则为中点，则（等腰三角形“三线合一” 连接，则，又垂直，过关检测（第（2）问核心突破点为B关于AQ的对称点恰落在AC上，说明AQ平分BAC，又CNAQ，因此想到三线合一，才有了答案中的辅助线作法）1如
39、图所示，在中，（1）点在边上，垂足为，垂足为，求证：（2）如图2，点在边上，点关于直线的对称点恰落在边上，垂足为，求的值【分析】（1）利用证明，可得；（2）如图2，延长、，交于，先证明，可得，再证明，则，可得结论【解答】证明：（1）如图1，在和中，；（2）如图2，延长、，交于，点关于直线的对称点恰落在边上，平分，在和中，在和中，（例2第（3）考查倍长中线，辅助线还涉及截取法，难度较大，答案给出的辅助线是过点作交的延长线于，建议改成延长BN至点T，使得NT=BN,连接MT，有意识地让学生知道是在利用倍长中线）例2已知中，（1）如图1，点为的中点，连并延长到点，使得，直接写出和的关系；（2）如图2，若，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连，若，求证：；（3）如图3，点在内部，且满足，点在的延长线上，连交的延长线于点，若点为的中点，求证：【分析】（1）结论：，证明，可得结论；（2）如图2中，过点作于，过点作交的延长线于利用全等三角